Đại số tổ hợp - Chương I: Quy tắc cơ bản của phép đếm

 
Vậy có : 4 + 6 + 6 = 16 số m′ . 
Suy ra có : 100 – 16 = 84 số n. 
Chú ý : Qua ví dụ trên, ta thấy nếu số cách chọn thỏa tính chất p nào đó quá 
nhiều, ta có thể làm như sau : 
Số cách chọn thỏa p bằng số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn không thỏa p. 
Người ta còn gọi cách làm này là dùng “phần bù”. 
Bài 1. Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B. Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C. Hỏi : 
a) Có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B ? 
b) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B ? 
c) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B sao cho mỗi tuyến xe 
buýt không đi quá một lần ? 
Giải 
a) Có 4 cách đi từ A đến B, có 3 cách đi từ B đến C. Do đó, theo quy tắc nhân, có 
4 x 3 = 12 cách đi từ A đến C, qua B. 
b) Có 12 cách đi từ A đến C, qua B và có 12 cách quay về. Vậy, có : 
 12 × 12 = 144 cách đi rồi về từ A đến C, qua B. 
c) Có 4 cách đi từ A đến B, có 3 cách đi từ B đến C; để tránh đi lại đường cũ, chỉ 
có 2 cách từ C quay về B và 3 cách từ B quay về A. 
 Vậy có : 4 x 3 x 2 x 3 = 72 cách. 
Bài 2. Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày. Có 4 loại nhật báo. 
Hỏi có mấy cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc ? 
Giải 
 Có 4 cách chọn cho mỗi ngày. Vậy, số cách chọn cho 6 ngày trong tuần là : 46 
= 4096 cách. 
Bài 3. Trong một tuần, Bảo định mỗi tối đi thăm 1 người bạn trong 12 người bạn của 
mình. Hỏi Bảo có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu : 
a) Có thể thăm 1 bạn nhiều lần ? 
b) Không đến thăm 1 bạn quá 1 lần ? 
Giải 
a) Đêm thứ nhất, chọn 1 trong 12 bạn để đến thăm : có 12 cách. Tương tự, cho 
đêm thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy. 
 Vậy, có : 127 = 35831808 cách. 
b) Đêm thứ nhất, chọn 1 trong 12 bạn để đến thăm : có 12 cách. Đêm thứ hai, 
chọn 1 trong 11 bạn còn lại để đến thăm : có 11 cách. Đêm thứ ba : 10 cách. 
Đêm thứ tư : 9 cách. Đêm thứ năm : 8 cách. Đêm thứ sáu : 7 cách. Đêm thứ bảy 
: 6 cách. 
 Vậy có : 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 cách. 
Bài 4. Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuộc 
hành trình bắt đầu ở 1 nhà ga và chấm dứt ở 1 nhà ga khác, biết rằng từ nhà ga 
nào cũng có thể đi tới bất kì nhà ga khác? 
Giải 
 Nhà ga đi : có 10 cách chọn. Nhà ga đến : có 9 cách chọn. 
 Vậy có : 10.9 = 90 cách chọn. 
Bài 5. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao 
cho : 
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? 
b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề 
nhau ? 
c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi 
kề nhau ? 
Giải 
a) Có 6 cách chọn một người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ nhất. Tiếp đến, có 3 cách 
chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 2. Lại có 2 cách chọn một người 
khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có 2 cách chọn vào chỗ thứ 4, có 1 cách chọn vào 
chỗ thứ 5, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 6. 
 Vậy có : 6.3.2.2.1.1 = 72 cách. 
b) Cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ nhất và chỗ thứ hai, có 2 cách. Tiếp 
đến, chỗ thứ ba có 2 cách chọn, chỗ thứ tư có 2 cách chọn, chỗ thứ năm có 1 
cách chọn, chỗ thứ sáu có 1 cách chọn. 
 Bây giờ, cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ hai và chỗ thứ ba. Khi đó, 
chỗ thứ nhất có 2 cách chọn, chỗ thứ tư có 2 cách chọn, chỗ thứ năm có 1 cách 
chọn, chỗ thứ sáu có 1 cách chọn. 
 Tương tự khi cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ ba và thứ tư, thứ tư và thứ 
năm, thứ năm và thứ sáu. 
 Vậy có : 5 ( 2 × 2 × 2 × 1 × 1) = 40 cách. 
c) Số cách chọn để cặp nam nữ đó không ngồi kề nhau bằng số cách chọn tuỳ ý 
trừ số cách chọn để cặp nam nữ đó ngồi kề nhau. 
 Vậy có : 72 – 40 = 32 cách. 
Bài 6. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn 
xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. 
Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau : 
a) Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau. 
b) Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau. 
Đại học Quốc gia TP. HCM 1999 
Giải 
 Đánh số các ghế theo hình vẽ 
a) 
V
V
Vậy số cách xếp 2 học sinh ngồi cạnh hoặc đối diện phải khác trường là : 
12 × 6 × 52 × 42 × 32 × 22 × 12 = 1036800. 
b) 
Ghế 1 12 2 11 3 10 4 9 5 8 6 7 
Số cách xếp chỗ ngồi 12 6 10 5 8 4 6 3 4 2 2 1 
 Vậy số cách xếp 2 học sinh ngồi đối diện phải khác là : 
12 × 6 × 10 × 5 × 8 × 4 × 6 × 3 × 4 × 2 × 2 = 33177600. 
Bài 7. Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy số đôi một 
khác nhau và : 
a) gồm 3 chữ số ? 
b) gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400 ? 
c) gồm 3 chữ số và chẵn ? 
d) gồm 3 chữ số và chia hết cho 5 ? 
Giải 
 Đặt n = abc 
a) Có 6 cách chọn a, 5 cách chọn b (b ≠ a), 4 cách chọn c (c ≠ a, c b). ≠
 Vậy có : 6 5 × 4 = 120 số. ×
b) Chọn a = 2 hay a = 3, có 2 cách. Sau đó, có 5 cách chọn b (b a), 4 cách chọn 
c (c a, c b). 
≠
≠ ≠
 Vậy có : 2.5.4 = 40 số nhỏ hơn 400. 
c) Vì n chẵn, có 2 cách chọn c (c = 2 hay c = 6). Sau đó, có 5 cách chọn a (a ≠ c), 
có 4 cách chọn b (b a, b ≠ ≠ c). 
 Vậy có : 2.5.4 = 40 số chẵn. 
Ghế 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Số cách xếp chỗ ngồi 12 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 
21 53 64
11 12 9 8 7 10 
d) Vì n chia hết cho 5, có 1 cách chọn c (c = 5). Sau đó, có 5 cách chọn a (a ≠ c), 
có 4 cách chọn b (b a, ≠ ≠ c). 
 Vậy có : 1.5.4 = 20 số chia hết cho 5. 
Bài 8. Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác 
nhau. 
Đại học Quốc gia Hà Nội Khối G 1997 
Giải 
 Gọn n = 1 2 3 4 5a a a a a là số in trên mỗi vé. 
 Số cách chọn a1 là 10 (a1 có thể là 0). 
 Số cách chọn a2 là 9. 
 Số cách chọn a3 là 8. 
 Số cách chọn a4 là 7. 
 Số cách chọn a5 là 6. 
 Vậy số vé gồm 5 chữ số khác nhau : 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30240. 
Bài 9. Xét dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, ., 8, 9) thỏa chữ số 
vị trí số 3 là số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, các chữ số 4, 5, 6 đôi 
một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 
Đại học Quốc gia TP.HCM 1997 
 Gọi số cần tìm là n = 1 2 7a a ...a . 
 Số cách chọn a3 là 5 (do a3 chẵn). 
 Số cách chọn a7 là 8 (do a7≠ 0 và ≠ 5). 
4
5
6
Số cách chọn a là 10
Số cách chọn a là 9
Số cách chọn a là 8
⎫⎪⎬⎪⎭
 (do a4, a5, a6 đôi một khác nhau). 
 Số cách chọn a1 là 10 (do n là dãy số nên a1 có thể là 0). 
 Số cách chọn a2 là 10. 
 Vậy số cách chọn là : 5 × 8 × 10 × 9 × 8 × 10 × 10 = 2880000. 
Bài 10. Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , 7, 8, 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác 
nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ các chữ số trên. 
Đại học Y Hà Nội 1997 
Giải 
 Gọi số cần tìm n = 1 2 6a a ...a với 1≤ a1 ≤ 5 và a6 lẻ. 
 Đặt X = { }0, 1, ..., 8, 9 
• Trường hợp 1 : a1 lẻ 
 a1 ∈ { }1, 3, 5 có 3 cách chọn 
 a6 ∈ { }1, 3, 5, 7, 9 \ { }1a có 4 cách chọn 
 a2 ∈ X\{ }1 6a , a có 8 cách chọn 
 a3 ∈ X\{ }1 6 2a , a , a có 7 cách chọn 
 a4 ∈ X\{ }1 6 2 3a , a , a , a có 6 cách chọn 
 a5 ∈ X\{ }1 6 2 3 4a , a , a , a , a có 5 cách chọn. 
• Trường hợp 2 : a1 chẵn 
 a1 ∈ { }2, 4 có 2 cách chọn 
 a6 ∈ { }1, 3, 5, 7, 9 có 5 cách chọn. 
 Tương tự a2, a3, a4, a5 có 8 × 7 × 6 × 5 cách chọn. 
 Do đó số các số n thỏa yêu cầu bài toán : 
 (4 × 3 + 2 × 5) x 8 × 7 × 6 × 5 = 36960. 
Bài 11. Cho X = { }0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số từ X 
mà chữ số 1 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần. 
Giải 
 Xét 1 hộc có 8 ô trống. 
 Có 7 cách lấy chữ số 0 bỏ vào hộc (do a1≠ 0) 
 Có 7 cách lấy chữ số 2 bỏ vào hộc do còn 7 hộc trống 
 Có 6 cách lấy chữ số 3 bỏ vào hộc do còn 6 hộc trống 
 Có 5 cách lấy chữ số 4 bỏ vào hộc do còn 5 hộc trống 
 Có 4 cách lấy chữ số 5 bỏ vào hộc do còn 4 hộc trống 
Có 1 cách lấy 3 chữ số 1 bỏ vào hộc do còn 3 hộc trống và 3 chữ số 1 như nhau. 
Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán : 7 × 7 × 6 × 5 × 4 = 5880. 
Bài 12. Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau 
đó xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng. 
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành. 
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành. 
Đại học Huế 1999 
Giải 
 Gọi X = { }0, 1, 2, 3, 4, 5 . 
 Số cần tìm n = 1 2 3 4 5 6a a a a a a . 
a) a6 ∈ { }1, 3, 5 có 3 cách chọn 
 a1 ∈ X\{ }60, a có 4 cách chọn 
 a2 ∈ X\{ }6 1a , a có 4 cách chọn 
 a3 ∈ X\{ }6 1 2a , a , a có 3 cách chọn 
 a4 ∈ X\{ }6 1 2 3a , a , a , a có 2 cách chọn 
 a5 ∈ X\{ }6 1 2 3 4a , a , a , a , a có 1 cách chọn 
 Số các số lẻ cần tìm : 3 × 4 × 4 × 3 × 2 = 288. 
b) Số các số gồm 6 chữ số bất kì (a1 có thể bằng 0) là : 
 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 
 Số các số gồm 6 chữ số mà a1 = 0 là : 
 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 
 Vậy số các số gồm 6 chữ số (a1≠ 0) lấy từ X 
 720 – 120 = 600 
 Mà số các số lẻ là 288. Vậy số các số chẵn là : 
 600 – 288 = 312. 
Cách khác 
Có 5! Số chẵn với a6 = 0. 
Có 2.4.4! số chẵn với a6 = 2 hay a6 = 4. 
Vậy số các số chẵ