Đại số & Giải tích 11: Tổ hợp

ó bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 4 bạn nữ thành một hàng ngang sao cho không 
có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau? 
Giải. 
 Bước 1. Xếp 5 bạn nam thành hàng ngang. Ta thấy có 5! cách làm như vậy. 
 Bước 2. Xếp 4 bạn nữ. Ta thấy để việc xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phải xếp 4 bạn 
vào 6 vị trí như hình vẽ. 
(1) Nam (2) Nam (3) Nam (4) Nam (5) Nam (6) 
Như vậy, ứng với mỗi cách xếp 5 bạn nam có 46A cách xếp 4 bạn nữ. 
Tóm lại, số cách xếp là 465! 43200A  (cách). 
Ví dụ 4. [ĐHB02] Cho đa giác đều 1 2... nA A A ( 2n  , n nguyên). Biết số tam giác có các đỉnh là 
3 trong 2n điểm 1A , 2A , ..., nA gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm 
1A , 2A , ..., nA , tìm n . 
Giải. 
 Mỗi cách chọn ra 3 điểm trong 2n điểm rồi nối chúng lại cho ta một hình tam giác. Do 
đó, số tam giác có đỉnh là 3 trong số 2n điểm là 32nC . 
 Giả sử đa giác đều 1 2... nA A A nội tiếp đường tròn  O , ABCD là hình chữ nhật có các 
đỉnh là 4 trong số 2n đỉnh của đa giác. Ta thấy   90ABC BCD    AC và BD đi 
qua  O . Từ đây, ta suy ra cách tạo một hình chữ nhật có 4 đỉnh là bốn đỉnh của tứ giác: 
Chọn ra 2 đường chéo đi qua O từ n đường chéo đi qua O của đa giác. Bước này có 
2
nC cách thực hiện. Từ 2 đường chéo vừa chọn ra, bao giờ ta cũng có đúng một cách nối 
các đầu mút đề được một hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong số 2n 
điểm là 2nC . 
Theo giả thiết thì 
 
   
     3 22
2 ! 2 2 2 1 2!20 20 20 1
3! 2 3 ! 2! 2 ! 3n n
n n n nnC C n n
n n
 
     
 
       
 
 
 
2
0
1 2 1 15 1 1 2 16 0 1
8
loaïi
loaïi
thoûa maõn
n
n n n n n n n n n
n
 

          
 
 . 
Vậy 8n  . 
Ví dụ 5. [ĐHB04] Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 
10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó, có thể lập được bao nhiêu đề kiểm 
 16 
tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi 
(khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ? 
Giải. Thầy giáo có 3 phương án sau đây để lập một đề thi thỏa mãn yêu cầu. 
 Phương án 1. Đề thi có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó. Theo quy tắc nhân, số 
cách thực hiện phương án này là 2 1 215 10 5C C C . 
 Phương án 2. Đề thi có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó. Theo quy tắc nhân, số 
cách thực hiện phương án này là 2 2 115 10 5C C C . 
 Phương án 3. Đề thi có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó. Theo quy tắc nhân, số 
cách thực hiện phương án này là 3 1 115 10 5C C C . 
Vậy, theo quy tắc cộng, số đề kiểm tra lập được theo yêu cầu là 
2 1 2 2 2 1 3 1 1
1 2 3 15 10 5 15 10 5 15 10 5 56875n n n C C C C C C C C C      . 
Ví dụ 6. [ĐHB05] Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có 
bao nhiêu cách phân công đội thanh niên đó về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 
nam và 1 nữ. 
Giải. 
Ta phân công như sau. 
Bước 1. Chọn thanh niên tình nguyện cho tỉnh thứ nhất. Theo quy tắc nhân thì bước này có số 
cách thực hiện là 4 112 3C C . 
Bước 2. Chọn thanh niên tình nguyện cho tỉnh thứ hai. Vì đã chọn 4 nam và 1 nữ ở bước 1 nên 
theo quy tắc nhân, số cách thực hiện bước này là 4 18 2C C . 
Các thanh niên còn lại phân công đi giúp đỡ tỉnh thứ ba. 
Vậy theo quy tắc nhân thì số cách phân công là 4 1 4 112 3 8 2 207900C C C C  . 
Ví dụ 7. [ĐHD06] Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 
học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ 
sao cho 4 học sinh đó thuộc không quá 2 trong 3 lớp nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như 
vậy? 
Giải. Nếu bỏ qua điều kiện 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp thì số cách chọn là 412C . 
Bây giờ ta đếm số cách chọn mà 4 học sinh đó bao gồm học sinh của cả 3 lớp. Để làm như vậy 
ta có sau phương án sau. 
 Phương án 1. Chọn 2 học sinh lớp T, 1 học sinh lớp L, 1 học sinh lớp H. Theo quy tắc 
nhân, số cách thực hiện phương án này là 2 1 12 5 4 4n C C C . 
 17 
 Phương án 2. Chọn 1 học sinh lớp T, 2 học sinh lớp L, 1 học sinh lớp H. Theo quy tắc 
nhân, số cách thực hiện phương án này là 1 2 13 5 4 4n C C C . 
 Phương án 3. Chọn 1 học sinh lớp T, 1 học sinh lớp L, 2 học sinh lớp H. Theo quy tắc 
nhân, số cách thực hiện phương án này là 1 1 23 5 4 4n C C C . 
Vậy, số cách chọn 4 học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
4 2 1 1 1 2 1 1 1 2
12 5 4 4 5 4 4 5 4 4 225C C C C C C C C C C    (cách). 
Ví dụ 8. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 
cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 em học 
sinh A , B , C , D , E , F , mỗi em một cuốn. Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng sách sao cho sau 
khi tặng, mỗi loại sách : văn học, âm nhạc, hội hoạ, thầy vẫn còn ít nhất một cuốn. 
Giải. Ta thấy tổng hai loại sách bất kỳ đều lớn hơn 6 nên không thể chọn sao cho cùng hết 2 
loại sách. 
 Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là 612 665280A  . 
 Số cách chọn sao cho không còn sách văn là 56 .7 5040A  
 Số cách chọn sao cho không còn sách nhạc là 4 26 8. 20160A A  . 
 Số cách chọn sao cho không còn sách hoạ là 3 36 9. 60408A A  . 
Vậy, số cách chọn cần tìm là  665280 – 5040 20160 60480 579600   . 
Ví dụ 9. Hỏi từ 10 chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 
chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1. 
Giải. Giả sử 1 2 3 4 5 6A a a a a a a là số cần lập. Để lập số A , ta lần lượt làm như sau 
 Bước 1. Chọn vị trí cho chữ số 0 . Vì 1 0a  nên bước này có số cách thực hiện là 5 
cách. 
 Bước 2. Chọn vị trí cho chữ số 1. Ta có hai phương án thực hiện bước này. 
 Phương án 1. 1 1a  . Số cách chọn 4 vị trí còn lại là 
4
8A . 
 Phương án 2. 1 1a  . Vì 1 1a  và chữ số 0 đã chiếm một vị trí nên để chọn vị trí 
cho chữ số 1 có 3 4n  cách. Vì  1 0;1a  nên có 4 8n  cách chọn 1a . Số cách 
chọn 3 chữ số cho 3 vị trí còn lại là 35 7n A . Theo quy tắc nhân thì số cách thực 
hiện phương án 2 là 36 3 4 5 732n n n n A  . 
Theo quy tắc cộng, số cách thực hiện bước 2 là 4 38 732A A . 
Theo quy tắc nhân, số cách lập số A là  4 38 75 32 42000A A  (cách). 
 18 
Ví dụ 10. Tính tổng các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2 , 3 , 
4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . 
Giải. 
Giả sử 1 2 3 4 5A a a a a a là số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó để lập số A ta lần lượt làm như 
sau 
 Bước 1: Chọn 5a . A chẵn  5a chia hết cho 2   2;4;6;8a . Như vậy, bước này 
có 4 cách thực hiện. 
 Bước 2: Chọn các chữ số còn lại. Mỗi một cách chọn các chữ số 1a , 2a , 3a , 4a là một 
chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử    51;2;3;4;5;6;7;8;9 \ a nên số cách chọn các chữ số 
này là 48A . 
Theo quy tắc nhân thì số cách lập số A là 484. 6720A  . 
Để tính tổng các số lập được, ta tính tổng từng vị trí. 
 Vì vai trò của các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 là giống nhau nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số 
này ở hàng đơn vị là 1680
4
n
 . Từ đây suy ra tổng các chữ số ở hàng đơn vị là 
 1680 2 4 6 8 33600    . 
 Nếu cố định 4 1a  thì có 4 cách chọn 5a , 
3
7A cách chọn các vị trí còn lại. Như vậy số 
lần chữ số 1 xuất hiện ở vị trí hàng chục là 374. 840A  . Vì vai trò của các chữ số 1, 3 , 5 , 
7 , 9 là như nhau nên số lần xuất hiện mỗi chữ số này ở vị trí hàng chục cũng là 840 . 
Tổng số lần xuất hiện các chữ cố 2 , 4 , 6 , 8 ở vị trí hàng chục là 6720 5.840 2520  . 
Vì vai trò của các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 là như nhau nên số lần xuất hiện mỗi chữ số này ở 
vị trí hàng chục là 2520 630
4
 . 
Như vậy, tổng các chữ số hàng đơn vị là 
   840 1 3 5 7 9 630 2 4 6 8 33600         . 
 Tương tự, tổng các chữ số hàng trăm, hàng nghìn và hàng vạn bằng nhau và bằng 33600 . 
Vậy tổng các số lập được là  33600 1 10 100 1000 10000 33600.11111 373329600      . 
B. BÀI TẬP 
1. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi 
một khác nhau thỏa mãn thêm điều kiện 
a) là số chẵn. 
b) chia hết cho 5 . 
2. Tính tổng các số có 5 chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho 5 được lập 
từ các chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 5 . 
 19 
3. Tính tổng các số có 5 chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho 5 được lập 
từ các chữ số 0, 1, 2 , 3 , 4 , 5 . 
4. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số. Biết 
chữ số 1 xuất hiện đúng hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau. 
5. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số. Biết 
chữ số 1 có thể không xuất hiện hoặc xuất hiện một số chẵn lần, còn các chữ số còn lại đôi một 
khác nhau. 
6. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 4 , 5 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số chia hết cho 2 . 
Biết chữ số 2 xuất hiện hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau. 
7. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 4 , 5 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác 
nhau và trong các chữ số có chữ số 2 và chữ số 4 . 
8. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số biết 
rằng trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng sau nó. 
9. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số thỏa 
mãn một trong hai điều kiện: trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn chữ 
số đứng sau nó hoặc trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước nhỏ hơn chữ số đứng 
sau nó. 
10. Một trường Phổ thông trung học có 280 nam sinh và 325 nữ sinh. 
a) Có bao nhiêu cách chọn ra 11 học sinh. 
b) Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ. 
c) Giả sử trong các học sinh nam có một bạn bạn tên là Long và trong các nữ sinh có một 
bạn tên là Ngọc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ nhưng 
không đồng thời có hai bạn Long và N