Đại số & giải tích 11: Phương trình lượng giác

2 1 coscos
2 2
x x
 , 4 4 21 1sin cos cos
2 2 2 2
x x x   , 
 6 6 21 3sin cos cos
2 2 4 4
x x x   , 1tan cot 1
2 cos
xx
x
  . 
B. CÁC VÍ DỤ 
Ví dụ 1. Giải các phương trình 
 24 
a) 22cos sin 2x x  . 
b)   23 sin 1 2cosx x  . 
c) 2 29cos 5sin 5cos 4 0x x x    . 
Giải. 
a) Ta có 
 2 2
sin 0
2 1 sin sin 2 2sin sin 0 21 6sin
2 5 2
6
x k
x
PT x x x x x k
x
x k






 
 
           
 
 
  

. ( k  ). 
b) Ta có 
   2 23 sin 1 2 1 sin 2sin 3sin 1 0
2
2sin 1
2 (1 6sin
2 7
)
2
6
.
PT x x x x
x k
x
x k
x
x k
k






       
   
  
    
  

  



c) Ta có 
 2 2 2
1 2cos 32 (
11 arcsin 2cos
9
77
cos 5 1 cos 5cos 4 0 14cos 5cosx 1 0
).
PT
x kx
x kx
x x x x
k




    
 
        
        
 



Ví dụ 2. Giải các phương trình: 
a) [ĐHD06] cos3 cos 2 cos 1 0x x x    . 
b) [ĐHD02] cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x    ,  0;14x . 
c) 12cos 2 8cos 7
cos
x x
x
   . 
Giải. 
a) Ta có 
 25 
   3 2 3 2
3 2
4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0 4cos 2cos 4cos 2 0
cos 1
2cos cos 2cos 1 0 (21 cos 2cos
32
).
PT x x x x x x x
x kx
x x x k
x kx



           
  
       
    
 

b) Ta có 
   
 
3 2 3 2
3 2 2
4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0 4cos 8cos 0
cos 2cos 0 cos cos 2 0
PT x x x x x x
x x x x
         
     
 cos 0x  (do cos 2 1 0x x     ) 
2
x k    ( k  ). 
Ta có  0;14
2
k     0;1;2;3k  . 
Vậy các nghiệm thuộc đoạn  0;14 là 
2
 , 3
2
 , 5
2
 , 7
2
 . 
c) Điều kiện: cos 0x   
2
x k   . 
Ta có 
 cos 2cos 2 8cos 7 1PT x x x    ( cos 0x  ) 
  2cos 2 2cos 1 8cos 7 1x x x       
   23 24cos 8cos 5cos 1 0 cos 1 2cos 1 0x x x x x         
2cos 1
1 2cos
32
x kx
x kx



 
 
   
 
 ( k  ). 
Ta thấy trong các ví dụ trên, việc phát hiện ẩn phụ khá đơn giản. Sau đây là các ví dụ mà ở đó, ta 
phải thực hiện một vài phép biến đổi trước khi phát hiện ra ẩn phụ. 
Ví dụ 3. Giải các phương trình 
a)  222sin 2 sin cosx x x  . 
 26 
b) 2
1 tan 1
cos 3
x
x
  . 
c)  22cos 4 4 3 sin cos 5 4 3x x x    . 
Giải. 
a) Ta có  2 2 2sin cos sin 2sin cos 1 sin 2x x x cos x x x x      . Do đó: 
2
sin 2 1
2sin 2 sin 2 1 0 1sin 2
2
2 2
2 4
2 2 (
6 12
772 2
1
).
26
x
PT x x
x
x k x k
x k x k
x kx k
k
 
 
 
 



    
  

     
 
        
 
 
    
  

b) Ta có 
2
2
1 tan tan 11 0 tan 0 tan tan 0
cos 3 3 3
tan 0
( ).1tan
3 6
PT
x x k
x x k
x xx x x
x
k





             

 
  
   
 
  

c) Ta có 2cos 4 1 2sin 2x x  ,  2 2 2sin cos sin cos 2sin cos 1 sin 2x x x x x x x      . 
Do đó 
   
 
2 2
2
2 1 2sin 2 4 3 1 sin 2 5 4 3 4sin 2 4 3 sin 2 3 0
2 2
3 3 62sin 2 3 0 sin 2 (
22 2 2
3 3
).
PT x x x
k
x
x k x k
x x
x k x k
 
 
 
 
         
     
       
    




Ví dụ 4. Giải các phương trình 
a) 
22sin sin 1 0
2cos 3
x x
x
 


. 
b)  21 5sin 2cos cos 0x x x   
Giải. 
 27 
a) Điều kiện: 2cos 3 2
2 6
0 3cos xx x k       . Ta có 
2
2
2sin 1
2sin sin 1 0 21 6sin
2 7 2
6
x k
x
PT x x x k
x
x k






  
 
        
  

  

 ( k  ). 
Kết hợp điều kiện suy ra các họ nghiệm của phương trình là 2
6
k   , 7 2
6
k  ( k  ). 
b) Điều kiện: cos 0x  . Ta có 
21 5sin 2cos 0 (1)
cos 0 (2)
x x
PT
x
   
 

. 
Ta thấy 
 
 
2 2(1) 1 5sin 2 1 sin 0 2sin 5sin 3 0
sin 3 1 2
6 .1 7sin 22 6
x x x x
x x k
x x k




        
              
voâ nghieäm 
(2) cos 0
2
xx k    . 
Kết hợp điều kiện, ta được các họ nghiệm của phương trình là 
2
k  , 2
6
k   ( k  ). 
Ví dụ 5. Giải các phương trình 
a) [ĐHA10] 
 1 sin cos 2 sin 14 cos
1 tan 2
x x x
x
x
    
  

. 
b) 2cos 2 4cos 3tan cot 2 0
2
xx x x    
Giải. 
 28 
a) ĐK: 
cos 0 2
sin cos 0
4
x kx
x x x k




   
 
    

. 
Ta thấy sin cos1 tan
cos
x xx
x

  , sin cossin
4 2
x xx     
 
. Do đó 
 2
2
1 sin cos 2 1 sin cos 2 0 sin 1 2sin 0
2
2sin 1
2sin sin 1 0 2 .1 6sin
2 7 2
6
PT x x x x x x
x k
x
x x x k
x
x k






          
  
 
        
  

  

Kết hợp điều kiện, ta có các họ nghiệm là 2
6
x k    và 7 2
6
x k   ( k  ). 
b) Điều kiện: 
cos 0
2 2
sin 0 22 2
x x k x k
x x x kk

 

       
   
    
( k  ). 
Ta có 2cos 2 2cos 1x x  , 
2cos 2cossin 1 cos 12 2tan cot 1
2 cos cos cos cossin
2
x x
x x xx xx x x x

     . Do đó 
 2 2
2
3 2
1 32 2cos 1 4cos 3 1 2 0 4cos 4cos 3 0
cos cos
3cos (1)
4cos 4cos 3cos 3 0 4
cos 1 (2)
PT x x x x
x x
x
x x x
x
             
 
       
  
 1 cos 2 3 1(1) cos 2 2 2
2 4 2 3 6
x x x k x k              (thỏa mãn). 
 (2) 2x k    (thỏa mãn). 
 29 
Vậy các họ nghiệm của phương trình là 
6
x k    và 2x k   ( k  ). 
C. BÀI TẬP 
Bài 1. Giải các phương trình sau 
a) [ĐHD13] sin3 cos2 sin 0x x x   . ĐS: 
4 2
k 
 , 2
6
k   , 7 2
6
k  . 
b) 2tan cos cos sin 1 tan . tan
2
xx x x x x     
 
. ĐS: 2k . 
c) [ĐHA06] 
 6 62 sin cos sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
 


. ĐS: 5 2
4
k  . 
d) sin 2 cos 2 tan cot
cos sin
x x x x
x x
   . ĐS: 2
3
k   . 
e)  3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x    . ĐS: 
3
k   . 
f) [ĐHB04]   25sin 2 3 1 sin tanx x x   . ĐS: 2
6
k  , 5 2
6
k  . 
g) 38cos cos3
3
x x   
 
. ĐS: 
6
k  , k , 
3
k  . 
h) [ĐHD05] 4 4 3sin cos sin 3 cos 0
4 4 2
x x x x            
   
. 
ĐS: 
4
k  . 
i) 
4 4sin cos 1 1cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x x
x x

  . ĐS: 
6
k   . 
j) 6 23cos 4 8cos 2cos 3 0x x x    . ĐS: 
4 2
k 
 , k . 
k) [ĐHB03] 2cot tan x 4sin 2
sin 2
x x
x
   . ĐS: 
3
k   . 
l)  2cos 2 cos 2 tan 1 2x x x   . ĐS: 2
3
k   , 2k  . 
m) [ĐHA05] 2 2cos 3 cos 2 cos 0x x x  . ĐS: 
2
k . 
n)  2 2 3sin cos 2 cos tan 1 2sin 0x x x x x    . ĐS: 2
6
k  , 5 2
6
k  . 
o) [ĐHA02] cos3 sin 35 sin cos 2 3
1 2sin 2
x xx x
x
     
,  0;2x  . ĐS: 
3
 , 5
3
 . 
Bài 2. Tính tổng các nghiệm thuộc đoạn  1;70 của phương trình 
 30 
3 2
2
2
cos cos 1cos 2 tan
cos
x xx x
x
 
  . 
ĐS: 374 . 
Bài 3. Tìm m để phương trình  4 42 sin cos cos 4 2sin 2 0x x x x m     có ít nhất một 
nghiệm thuộc đoạn 0;
2
 
  
. 
ĐS: 
102
3
 m . 
 31 
§2. Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos 
A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP 
Đối với các phương trình lượng giác chỉ chứa các biểu thức: 
 tổng và tích của sin và cos (phương trình đối xứng đối với sin và cos ); 
 hiệu và tích của sin và cos (phương trình gần đối xứng đối với sin và cos ), 
ta có các quy tắc đại số hóa cụ thể như sau: 
 Dạng 1: Xét phương trình dạng 
 sin cos ;sin .cos 0f x x x x  . (1) 
Đặt 2
2; 2
sin cos 2 sin
4 1sin cos
2
t
t x x x tx x

    

      
   

. 
Phương trình (1) trở thành 
2 1; 0
2
f t t
 
 
 
. 
 Dạng 2: Xét phương trình dạng 
 sin cos ;sin .cos 0f x x x x  . (2) 
Đặt 2
2; 2
sin cos 2 sin 14 sin cos
2
t
t x x x tx x

               

. 
Phương trình (2) trở thành 
2
2
;1 0f t t
 
 
 
 . 
 Dạng 3: Xét phương trình dạng 
 sin cos ;sin .cos 0f x x x x  . (3) 
Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x      
 
  2
0; 2
sin cos
2
1
t
tx x
   



 

. 
 32 
Phương trình (3) trở thành 
2 1; 0
2
f t t
 
 
 
. 
 Dạng 4: Xét phương trình dạng 
 sin cos ;sin .cos 0f x x x x  . (4) 
Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x      
 
  2
0; 2
sin co 1s
2
t
tx x 
    

 

. 
Phương trình (4) trở thành 
2
2
1; 0f t t
 
 
 
 . 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ 
Ví dụ 1. Giải các phương trình 
a)  3 sin cos 2sin cos 3 0x x x x    . 
b)  sin 2 4 cos sin 4x x x   . 
c) sin cos 4sin 2 1x x x   . 
Giải. 
a) Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x      
 
  2
2; 2
1sin cos
2
t
tx x
    
 
 

. Phương trình trở thành: 
   
 
2 2
1
3 1 3 0 3 2 0
2
thoûa maõn
loaïi
t
t t t t
t

         

. 
22
1 4 41 sin
34 22 2 24 4
x kx k
t x
x kx k
 


  

                     
. 
Vậy các họ nghiệm của phương trình là 2x k và 2
2
x k   ( k  ). 
b) Ta có 
 2sin cos 4 sin cos 4 0PT x x x x     . 
 33 
Đặt 2
2; 2
sin cos 2 sin 14 sin cos
2
t
t x x x tx x

             



 . Phương trình trở thành 
   
 
2 21 4 4 0 4 3
3
1
0
thoûa maõn
loaïi
t t t t
t
t
 
    

   



. 
2 21 4 41 sin 2
34 2 22
4 4
x k x k
t x
x kx k
 
 
 
 
                      
. 
Vậy các họ nghiệm của phương trình là 2
2
x k   , 2x k   ( k  ). 
c) Đặt 
2
0; 2
sin cos 2 sin
4 sin 2 1
t
t x x x
tx
           


  
. Phương trình trở thành 
 24 1 1 1t t t     (thỏa mãn). 
sin 2 0
2
kx x     ( k  ). 
Vậy các nghiệm của phương trình