Đại số 10 - Chương 1: Mệnh Đề - Tập Hợp

ông . 
 c) Cả a và b đều đúng d) Cả a và b đều sai . 
1.9. Chọn câu đúng: Phủ định của mệnh đề “ ∀ x ∈ Z , x2 – x – 1 ≠ 0 ” là : 
a) “ ∀ x ∈ Z , x2 – x – 1 = 0 ” b) “ ∃ x ∈ Z , x2 – x – 1 ≠ 0 ” 
b) “ x ∈ Z , x∃ 2 – x – 1 > 0 ” d) “ ∃ x ∈ Z , x2 – x – 1 = 0 ” 
1. 10 . Chọn câu đúng : 
a) “ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì chữ số tận cùng của nó là 5 hay 0 ” 
 b) “ Nếu hai số dương có tích nhỏ hơn 1 thì có ít nhất một số nhỏ hơn 1 ” 
 c) Cả a và b đều đúng d) Cả a và b đều sai . 
D.Hứơng dẫn – Đáp số . 
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp 
www.saosangsong.com.vn 
7
7
1.1. a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng 
1.2 . a) x = - 2 , - 1 , 0 , 1, 2 . 
 b) x = 4 
 c) n chia hết cho 15 , vậy n = 15 , 30 , 45 . 
d) Mệnh đề p => q chỉ sai khi p đúngvà q sai . Vậy mệnh đề cho là sai khi 
x < 3 và x2 9 , tức khi – 3 ≤ ≤ x < 3 . Vậy mệnh đề đúng khi x < - 3 
hay x 3 . ≥
 e) x nguyên , x > 5/2 và x < 7 , vậy x = 3 , 4, 5,6 . 
1.3. a) Vì x2 – x = x(x – 1) 0 với mọi x là số tự nhiên nên mệnh đề cho là 
đúng. Phủ định là mệnh đề : “ 
≥
∃ x ∈ N , x2 < x ” 
b) Ta có n2 + n = n(n + 1) . Vì n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên 
trong hai số có một số lẻ , một số chẵn , do đó n(n + 1) luôn là chẵn . Vậy 
mệnh đề cho là đúng và phủ định là : “ ∃ n ∈ Z , n2 + n là số lẻ ” 
c) Mệnh đề này sai vì chọn n = 3 thì 2n2 + 1 = 19 không chia hết cho 3 . 
Phủ định là : “ ∃ n ∈ N , 2n2 + 1 không chia hết cho 3 ” 
 d) Sai , chẳng hạn tam giác đều có ba góc đều không nhỏ hơn 600 . Mệnh 
đề đảo là : “ Tồn tại một tam giác không có góc nào nhỏ hơn 600 ” 
 e) Mệnh đề này sai vì hình thang có các cặp góc bù nhau . Phủ định là : 
“ Mọi hình thang đều không có 3 góc tù ” 
1.4. Các độc giả tự phát biểu điều kiện cần . 
a) Để tam giác ABC vuông điều kiện đủ là AB2 + BC2 = AC2 . Ta không có 
tương đương v ì tam giác ABC c ó th ể vuông tại A , khi đó ta không có 
AB2 + BC2 = AC2 . 
 b) Để b cắt c , điều kiện đủ là a // b và a cắt c . 
 c) Để a + b > 2 , điều kiện đủ là a > 1 và b > 1 . 
 d) Để a chia hết cho 3 và cho 6 , điều kiện đủ là a chia hết cho 18 . 
1.5. a) Giả sửi n là số chẵn , thế thì ; n = 2k . Suy ra : n2 = 4k2 => n2 là số 
chẵn : vô lí . Vậy mệnh đề cho là đúng . 
b) Nếu n không chia hết cho 3 tức n = 3k ± 1 . Thế thì : 
 n2 = 9k2 6k + 1 = 3(3k± 2 ± 2k) + 1 . 
Vậy n2 không chia hết cho 3 : vô lí , do đó mệnh đề cho là đúng . 
c) Nếu b và c không chia hết cho 3 , thế thì : b = 3m ± 1 , c = 3n ± 1 
Suy ra : b2 + c2 = 9(m2 + n2 ) ± 6m ± 6n + 2 . Số này chia cho 3 thì dư 
2 . 
Trong khi : 
• Nếu a = 3k => a2 chia hết cho 3 . 
• Nếu a = 3k 1 => a± 2 = 3(3k2 ± 2k) + 1 => a2 chia 3 dư 1 . 
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp 
www.saosangsong.com.vn 
8
8
Do đó a2 luôn khác 3k + 2 , do đó mệnh đề : a2 = b2 + c2 là sai . 
Vậy mệnh đề cho là đúng . 
d) Giả sử không có hai điểm nào cách nhau dưới 1 m , tức mọi cặp điểm 
đều cách nhau 1m trở lên . Thế thì chu vi đường tròn sẽ lớn 630 dây cung 
, mỗi dây cung đều dài hơn 1m trở lên . Do đó chu vi đường tròn lớn hơn 
630m . Nhưng đường tròn có bán kính là 100m , theo công thức chu vi 
đường tròn là 2∏R = 200. 3, 1415.< 630m : vô lí . Vậy mệnh đề cho là 
đúng . 
1.6. (c) 
1.7. (b) 
1.8. (a) 
1.9. (d) 
1. 10 . (c) 
§ 2. Tập hợp 
A. Tóm tắt giáo khoa . 
 1.a ∈ X : a là phần tử của tập hợp X . 
a ∉ X Ù a không là phần tử của tập hợp X . 
Có thể xác định một tập hợp bằng 2 cách : 
 * Liệt kê các phần tử giữa hai dấu móc . 
 * Chỉ rõ tính chất cho các phần tử của tập hợp . 
 là tập hợp không chứa phần tử nào cả . ∅
 2. A là tập con của B ( A B , B A ) Ù⊂ ⊃ ∀ x ∈ A, x ∈ B . 
 3.a. A ∪ B = {x hoặc x ∈ B } / x A ∈
/ x A ∈
⊂ EC
 b. A B = {x và x ∈ B } ∩
 c. Khi A E : A = {x ∈/ x ∉A} 
B. Giải toán . 
Dạng toán 1 : Xác định tập hợp bằng cách liệt kê hay bằng tính chất đặc trưng 
A
B
A B 
A
B
AUB 
E
A
C AE
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp 
www.saosangsong.com.vn 
9
9
 Ví du 1 : Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp : 
3 a) A = {x b) B = {x Q / x 3x 0}∈Z / 3 x 2}∈ − < < − =
Z / 4x 8x 3 0}∈ − + =
 c) C = {x 2
 Giải a) Ta tìm số nguyên x sao cho – 3 < x < 2 , vậy : A = { - 2 , - 1 , 0 , 1 } 
b) Ta giải phương trình : x3 – 3x = 0 Ù x(x2 – 3) = 0 
 Ù x = 0 hoặc x2 = 3 
3 hoặc x = - 3 Ù x = 0 hoặc x = 
Vì x là số hữu tỉ do đó x = 0 . Vậy B = { 0 } 
c) Ta giải phương trình: 4x2 – 8x + 3 = 0 , được nghiệm : x = 3/2 hoặc x = ½ 
Vì x là số nguyên nên cả hai nghiệm đều bị loại và C = ∅ . 
 Ví dụ 2 : Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng : 
 a) A = { 2 , 3, 5 , 7 } b) B = { 0 , 5 , 10 , 15 , 20 } 
 c) C = { N , A , V , E , M , I , T } 
 d) D = { - 5 , - 2 , - 3 , - 2 , - 1, 0 , 1 , 2 3 , 2 , 5 } 
 Giải a) x ∈ A Ù x là số nguyên tố nhỏ hơn 8 . Do đó ta viết : 
 A = {x là số nguyên tố nhỏ hơn 8 } / x
 b) x ∈ B Ù x là số tự nhiên chia hết cho 5 và không lớn hơn 20 . Do đó ta viết : B = {x∈N / x 
chia hết cho 5 và x 20 } ≤
 c) x ∈ C Ù x là các mẫu tự trong chữ VIETNAM . Do đó ta viết : 
 C = { x / x là các mẫu tự trong chữ VIETNAM } 
d) x ∈ D Ù x2 là số nguyên và x2 ≤ 5 . Do đó ta viết : 
 D = { x / x2 ∈ N và x2 5 } ≤
 Ví dụ 3 : Cho E = { x ∈ Z / 3x 8
x 1
+
+ ∈ Z } 
a) Tìm tất cả các phần tử của E . 
b) Tìm các tập con của E có chứa đúng 3 phần tử . 
c) Tìm các tập con của E có chứa phần tử 0 , và không chứa các ước số của 12 . 
 Giải a) Ta có : 3x 8 3(x 1) 5 53
x 1 x 1 x 1
+ + += = ++ + + ∈ Z Ù x + 1 chia hết 5 Ù x + 1 = 1 hay ± ± 5 . 
Suy ra : x ∈ { 0 , - 2 ; - 6 ; 4 } . 
b) Các tập con của (E) chứa đúng 3 phần tử là : { 0 ; - 2 ; - 6 } , { 0 ; - 2 ; 4}; { 0 ; - 6 ; 4 } và { 
- 2 ; – 6 , 4 }. 
c) Vì những số - 2 ; - 6 , 4 đều là ước số của 12 , do đó tập con cần tìm là {0}. 
Dạng toán 2 : Xác định hợp , giao và phân bù của hai tập hợp 
 Ví dụ 1 : Cho E = { x ∈ Z / x2 ≤ 9 } , B = { x / x3 – 4x = 0 } , C = { x ∈ Z / | x – 1| < 3 . 
a) Hãy xác định các tập hợp E , A, B bằng cách liệt kê . 
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp 
www.saosangsong.com.vn 
10
10
b) Tìm A B , A ∪ B , C A , B . E EC∩
 c) Tìm , . Biểu diễn các tập hợp này bằng biểu đồ Ven . A(A B)C ∩ E E(A B) , ( A) BC C∪ ∪
 Giải a) Ta có : x2 9 Ù - 3 x ≤ 3 . Vì x nguyên nên : E = { - 3 , - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3} ≤ ≤
 Ta có : x3 – 4x = 0 Ù x( x2 – 4) = 0 Ù x = 0 , ± 2 . A = { - 2 ; 0 ; 2}. 
 Ta có : | x - 1| < 3 Ù - 3 < x – 1 < 3 Ù - 2 < x < 4 . Vì x nguyên nên B = { - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 } 
 b) Ta có : A B = { 0 ; 2 } , A B = { - 2 ; - 1; 0 ; 1 ; 2 ; 3 } . A là tập con của E nện A 
= { - 3 ; - 1; 1 ; 3 } . 
∩ ∪ EC
 Vì B là tập con của E nên B = { - 3 ; - 2 } EC
 c) Vì A B là tập con của A nên ta có : ∩ A
B
A B 
 (A B) = { - 2 } AC ∩
Vì A B là con của E nên ta có : ∪
C
A
(A B) 
 (A B ) = { - 3 } EC ∪
Ta có : A B = { - 3 ; - 1; 0 ; 1 ; 2 ; 3 } EC ∪
A
B
AUB 
C
E
AUB 
E
A
B
C
E
( A )UB 
E
 Ví dụ 2 : Một lớp có 44 học sinh trong đó có 28 học sinh không dự thi môn điền kinh nào trong hội 
 khỏe Phù Đổng , có 6 học sinh thi môn chạy 1000m , có 7 học sinh thi môn chạy 100m và 7 học 
 sinh thi bơi lội . Biết rằng các học sinh có thể thi hai môn nhưng học sinh thi bơi thì không thi chạy 
. Hỏi có bao nhiêu học sinh : 
a) thi cả hai môn chạy . 
b) chỉ thi môn chạy 1000m hoặc môn chạy 100m . 
 Giải a) Biểu diễn biểu đồ Ven , E là tập hợp các học sinh của lớp , A , B , C lần lượt là tập hợp 
các học sinh thi chạy 1000 m , chạy 100m và bơi . 
A
 B
C 7
E
28
42
3
Tổng số các phần tử của A, B và C là : 44 – 28 = 16 
Vì C và A B cách biệt nên số phần tử của tập hợp A ∪ B là : 
16 – 7 = 9 . 
∪
 Số học sinh thi cà hai môn chay là số phần tử của tập hợp A ∩ 
B . Nếu gọi n(X) là số phần tử của tập hợp X , thì ta có : n(A) + 
n(B) = n( A∪B) + n(A ∩ B) . Suy ra số học sinh thi cả hai môn 
chạy là : n(A B) = 6 + 7 – 9 = 4 ∩
Số học sinh chỉ thi môn chạy 1000 m là : n(A) – n(A ∩ B) = 6 – 4 = 2 . 
Số học sinh chỉ thi môn chạy 100 m là : n(B) – n(A ∩ B) = 7 – 4 = 3 . 
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp 
www.saosangsong.com.vn 
11
11
C. Bài tập rèn luyện . 
1.11. Xác định bằng cách liệt kê các tập hợp sau : 
a) A = {x ∈ N / x là ước số của 12} 
 b) B = { x ∈ Q / (x2 – x – 1)(2x2 – 5x + 2) = 0 } 
 c) C = {x ∈ Z / x2 ≤ 225 và x chia hết cho 3 } 
 d) D = { x ∈ N/ x là 6 chữ số thập phân đầu tiên của giá trị gần đúng của số π } 
1.12. Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng của tập hợp : 
a) A = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 } b) B = { 12 ; 23 ; 34 ; 45 ; 56 ; 67 ; 78 ; 89 } 
c) C = { 15 ; 24 ; 33 ; 42 ; 51 ; 60 } d) D = { P; R ; A ; O ; T ; E ; H ; Y } 
1.13 . Trong các tập hợp sau , tập hợp nào là tập con của tập hợp nào ? 
 a) A = { 1 ; 0 ; 5 }, B = {x ∈ N / | x – 1 | < 6 }, C = { x / x2 – 6x + 5 = 0 } 
b) N = tập hợp các hình chữ nhật , T = tập hợp các hình thoi , B = tập hợp 
các hình bình hành ; V = tập hợp các hình vuông . 
1. 14. Cho A = { x ∈ Z / 1 ≤ x2 18 } , B = { x ≤ ∈ N / x là ước số của 16 } , C = { x ∈ R / x3 
– 9x2 + 8x = 0 } 
 a) Liệt kệ các phần tử của A, B, C . 
 b) Tìm A B , B ∩ ∩ C , A ∪ ( B ∩ C ) , B ∩ (A C ) , A ∪ ∩ B C ∩
 c) Tìm các tập con của C mà không phải là tập con của A. 
d) Tìm các tập con của A đồng thời là tập con của B và không có phần tử 
chung với C . 
1. 15. Một lớp có 47 học sinh trong đó có 14 học sinh thi môn chuyên Toán , 10 học sinh 
thi môn chuyên Lí và 11 học sinh thi môn chuyên Hóa . Biết rằng có 25 học sinh không dự 
thi môn nào cả và mỗi học sinh chỉ dự thi không quá hai môn . Hỏi có bao nhiêu học sinh 
thi cả hai môn . 
1. 16 . Chọn các câu đúng : Trong các tập hợp sau , tập hợp nào là tập hợp rỗng ? 
 A = { x ∈ Q / x2 – 2x – 2 = 0 }; B = { x ∈ Z / 1
2x 1+ ∈ Z } 
 a) Chỉ A b) Chỉ B c) Cả A và B d) Không tập hợp nào 
1.17. Cho A B , mệnh đề nào sau đây là đúng ? ⊄
a) ∀ x ∈ A , x ∉ B b) ∃ x ∈ A , x ∉ B 
 c) Cả a và b đều đúng d) Cả a và b đều sai 
1.18. Cho hai tập hợp A và B không rỗng sao cho A ∩ B = ∅ , mệnh