Cực trị hàm đa thức bậc 3 và bậc 4

CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 VÀ BẬC 4
A. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 3
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hàm số: y = f (x) 	
2. Đạo hàm: 
3. Điều kiện tồn tại cực trị
y = f (x) có cực trị Û y = f (x) có cực đại và cực tiểu
 Û có 2 nghiệm phân biệt Û D¢ = b2 - 3ac > 0
4. Kỹ năng tính nhanh cực trị 
Giả sử D¢ = b2 - 3ac > 0, khi đó có 2 nghiệm phân biệt với
 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2. 
Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là: 
Trong trường hợp x1, x2 là số vô tỉ thì các cực trị f (x1), f (x2) nếu tính theo định nghĩa sẽ phức tạp hơn so với cách tính theo thuật toán sau đây:
Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: 
 hay với bậc 
Bước 2: Do 
Hệ quả: 
Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y = r(x) 
Đối với hàm số tổng quát : y = f (x) thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình: 
II. BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Tìm m để hàm số: 
	đạt cực tiểu tại x = -2.
Giải: Þ 
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì 
Tìm a để các hàm số ; . có các điểm cực trị nằm xen kẽ nhau.
Giải: . Ta cần tìm a sao cho g¢(x) có 2 nghiệm phân biệt và f ¢(x) có 2 nghiệm phân biệt sao cho (*)
Ta có: 
Tìm m để có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường thẳng y = ax + b.
Giải: Û 
Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û 
Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có: 
Với m ¹ 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số 
y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên suy ra
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): 
Ta có (D) song song với đường thẳng y = ax + b 
Û 
Vậy nếu a < 0 thì ; nếu a ³ 0 thì không tồn tại m thoả mãn.
Tìm m để có CĐ, CT nằm trên đường thẳng (d): y = -4x.
Giải: Ta có: 
	Û 
Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt 
Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có: 
Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số 
y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên suy ra 
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): . 
Để cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y = -4x thì (D) º (d) 
Û 
Tìm m để có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với y = 3x - 7.
Giải: Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: 
Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: suy ra
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): 
Ta có (D) ^ y = 3x - 7 Û 
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua (D): 
Giải: Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt 
Û . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: 
Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên 
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (d): . 
Các điểm cực trị đối xứng nhau qua 
Û (d) ^ (D) tại trung điểm I của AB (*) . Ta có suy ra 
(*) Û 
Bài 7. Cho 
1. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT. 	
2. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1, x2. CMR: 
Giải: 1. Xét phương trình: 
Ta có: 
Nếu (vô lý)
Vậy D¢ > 0 "a Þ f ¢(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số có CĐ, CT. 
2. Theo Viet ta có: 
Cho hàm số 
 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1.
 2. Gọi các điểm cực trị là x1, x2. Tìm Max của 
Giải: Ta có: 
1. Hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1 có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn: 
2. Do Þ 
 (do ) 
Þ . Với thì 
Tìm m để hàm số có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.
Giải: Do có nên f ¢(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là ; . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: 
. Do nên 
Ta có: 
Þ . Vậy xảy ra Û m = 0.
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn .
Giải: Ÿ Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û Û (*)
Với điều kiện (*) thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có: 
Ta có: 
Cả 2 giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*). Vậy 
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn điều kiện .
Giải: HS có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt 
Û (*)
Với điều kiện này thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có: suy ra: (thoả mãn (*) )
Vậy để thì 
B. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 4
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hàm số: y = f (x) 	
2. Đạo hàm: 
3. Cực trị: Xét 
4. Kỹ năng tính nhanh cực trị
Giả sử f ¢(x) triệt tiêu và đổi dấu tại x = x0, khi đó f (x) đạt cực trị tại x0 với số cực trị là . Trong trường hợp x0 là số vô tỉ thì cực trị f (x0) được tính theo thuật toán:
Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: 
Bước 2: Do f ¢(x0) = 0 nên f (x0) = r(x0)
Hệ quả: Các điểm cực trị của hàm bậc 4: y = f (x) nằm trên y = r(x)
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Tìm cực trị của hàm số .
Giải: Ta có: ; 
Do phương trình có 1 nghiệm đơn x = 2 và 1 nghiệm kép x = -1 
nên hàm số có đúng 1 cực trị tại x = 2. Mặt khác suy ra . Vậy hàm số có cực tiểu và không có cực đại.
Cho . Tìm m để ¦(x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải: ; 
. Xét các khả năng sau đây: 
a) Nếu thì 
 Û g(x) ³ 0 . 
Suy ra f ¢(x) triệt tiêu và đổi dấu tại x = 0 mà f ¢¢(0) = 6(m + 1) > 0 "mÎI 
Þ , tức là hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
x
-¥
0
3
+¥
f ¢
 - 
0
 - 
0
+
f
+¥
CT
+¥
b) Nếu thì 
 Û x = 0 nghiệm kép, x = 3. 
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
Hàm số y = f (x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
x
-¥
x1
x2
x3
+¥
f ¢
-
0
+
0
-
0
+
f
+¥
CT
CĐ
CT
+¥
c) Nếu thì f ¢(x) có 3 nghiệm phân biệt 
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
Hàm số y = f (x) có cực đại nên không thoả mãn yêu cầu bài toán.
Kết luận: 
Cho hàm số 
Chứng minh rằng: "m ¹ -1 hàm số luôn có cực đại đồng thời 
Ta có: nên g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
x
-¥
x1
0
x2
+¥
f ¢
-
0
+
0
-
0
+
f
+¥
CT
CĐ
CT
+¥
Theo định lý Viet ta có: 
Þ PT có 3 nghiệm phân biệt
 0, x1, x2. Xét 2 khả năng sau:
a) Nếu m < -1 thì 
Þ Þ Bảng biến thiên
Nhìn BBT suy ra 
x
-¥
x1
x2
0
+¥
f ¢
-
0
+
0
-
0
+
f
+¥
CT
CĐ
CT
+¥
b) Nếu m > -1 thì 
và Þ 
Þ Bảng biến thiên. 
Nhìn BBT suy ra 
Kết luận: 
Vậy "m ¹ -1 hàm số luôn có 
Bài 4. (Đề thi TSĐH khối B 2002)
 Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị
Giải. Yêu cầu bài toán có 3 nghiệm phân biệt 
Bài 5. Tìm m để có CĐ, CT lập thành tam giác đều. 
Giải. . Ta có: . 
Để hàm số có CĐ, CT Û có 3 nghiệm phân biệt Û m > 0 
Þ 3 nghiệm là: Þ 3 điểm CĐ, CT là: 
x
-¥
x1
0
x3 
+¥
f ¢
-
0
+
0
-
0
+
f
+¥
A
CT
B CĐ
C CT
+¥
Þ . 
Để A, B, C lập thành tam giác đều 
thì Û 
Bài 6. Chứng minh rằng: Hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT 
Giải. Xét 
Û . Xét hàm số có TXĐ: 
x
-¥
x2
+¥
f ¢
-
0
-
f
+¥
-¥
 ; 
Nghiệm của phương trình 
cũng là hoành độ giao điểm của 
đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x).
Nhìn bảng biến thiên suy ra đường thẳng y = m cắt y = g(x) tại đúng 1 điểm 
Þ có đúng 1 nghiệm.
Vậy hàm số y = f (x) không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu.
Bài 7. Chứng minh rằng: Û 
Giải. Ta có: Û và nghiệm kép x = 0
Do f ¢(x) cùng dấu với (4x + 3p) nên lập bảng biến thiên ta có:
f (x) ³ 0 "xÎR Û Û 
Bài 8. (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004) 
Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
Giải. Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt , khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là . Do là hàm chẵn nên YCBT 
Bài 9. Chứng minh rằng: luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 cực trị
Bài 10. Chứng minh rằng: Û 
Bài 11. Cho . Tìm m để ¦(x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.