Chuyên đề về Số Phức

Số Phức
I. Kiến thức cơ sở
• Số phức là 1 biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b ∈ R và số i thỏa mãn i2 = −1. Kí
hiệu z = a+bi, trong đó i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực (Re(z) = a),
b được gọi là phần ảo (Im(z) = b).
Tập các số phức được kí hiệu là C, z = a = bi là dạng đại số của số phức.
• Số phức liên hợp của số phức z = a+ bi là z = a− bi
Các tính chất
1. z = z; z = z ⇔ z ∈ R; z = −z ⇔ z ∈ iR
2. z+ z = 2Re(z) = 2a; z− z = 2Im(z) = 2b; z.z = Re2(z) + Im2(z) = a2 + b2
3. z1 + z2 = z1 + z2; z1.z2 = z1z2;
z1
z2
=
z1
z2
(z2 6= 0)
• Môđun của số phức z = a+ bi là số thực không âm |z| = √a2 + b2
Các tính chất
1. |z|2 = z.z; |z| = |z|; |z| ≥ 0; |z| = 0⇔ z = 0
2. |z1.z2| = |z1|.|z2|; |z1
z2
| = |z1||z2| ;∀z2 6= 0
3. |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|; ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
• Tính chất của số phức và các phép toán trên C : Cho z = a + ib; z1 = a1 + b1i; z2 =
a2 + b2i. Khi đó
1. z1 = z2 ⇔ a1 = a2; b1 = b2
2. Re(z1 + z2) = Re(z1) +Re(z2); Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2)
3. Re(kz) = kRe(z)(k ∈ R); Im(kz) = kIm(z)(k ∈ R)
4. z1± z2 = (a1± a2) + (b1± b2)i (phép cộng trên trường số phức có các tính chất
tương tự như phép cộng trên trường số thực )
5. z1z2 = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i
1
6.
z1
z2
=
z1.z2
|z2|2 (∀z2 6= 0)
• Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai.
1. Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = w(w ∈ C) được gọi là 1 căn bậc hai của w
Nếu w ∈ R, w > 0 thì w có 2 căn bậc hai là √w,−√w
Nếu w ∈ R, w < 0 thì w có 2 căn bậc hai là √−wi,−√−wi
Nếu w ∈ C, để tìm căn bậc hai của w, ta cần tìm số phức z = x + yi sao cho
z2 = w, tức (x + yi)2 = a + bi, giải hệ phương trình
 x
2 − y2 = a
2xy = b
ta được
số phức z cần tìm.
2. Xét phương trình bậc hai Az2 +Bz + C = 0 với A,B,C ∈ C
Cách giải : xét ∆ = B2 − 4AC
Nếu ∆ 6= 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt z1;2 = −B ± δ
2A
(với δ là 1
căn bậc hai của ∆)
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép z1 = z2 =
−B
2A
• Dạng lượng giác của số phức : Với z = a+ bi 6= 0, kí hiệu r = |z| = √a2 + b2
1. Cho số phức z 6= 0, M là 1 điểm biểu diễn số z trong mặt phẳng phức. Số
đo (radian) của mỗi góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là 1
argument của z.
KH Arg(z) = ϕ
Mọi Arg(z) đều có dạng ϕ+ k2pi(k ∈ Z) (hay Arg(z) sai khác k2pi)
2. Dạng z = r(cosϕ+ i sinϕ) trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số
phức z 6= 0
Để tìm dạng lượng giác của số phức z = a+ bi ta cần tìm :
r =
√
a2 + b2;ϕ là số thực sao cho cosϕ =
a
r
; sinϕ =
b
r
3. Nếu z1 = r1(cosϕ1+i sinϕ1); z2 = r2(cosϕ2+i sinϕ2) thì z1.z2 = r2.r2[cos(ϕ1+
ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)];
z1
z2
=
r1
r2
[cos(ϕ2 − ϕ1) + i sin(ϕ2 − ϕ1)]
4. Công thức Moivre [r(cosϕ+ i sinϕ)]n = rn(cosnϕ+ i sinnϕ)
Từ công thức trên ta có ngay [(cosϕ+ i sinϕ)]n = (cosnϕ+ i sinnϕ)
Căn bậc hai của số phức z = r(cosϕ + i sinϕ) là
√
r(cos
ϕ
2
+ i sin
ϕ
2
) và
−√r(cos ϕ
2
+ i sin
ϕ
2
) =
√
r(cos(
ϕ
2
+ pi) + i sin(
ϕ
2
+ pi))
II: Các dạng bài tập
2
Bài tập 1 Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau
1.
(1 + i)50
(
√
3 + i)49
2. (cos
pi
3
− i sin pi
3
)i5(1 +
√
3i)7
3. z10 +
1
z10
nếu z +
1
z
= 1
4. z = (2− 2i)(3 + 2i)(5− 4i)− (2 + 3i)3
Bài tập 2 Tìm số phức z thỏa mãn (
z + i
z − i)
4 = 1
Bài tập 3 Chứng minh rằng
1. |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2)
2. |z1z2 + 1|2 + |z1 − z2|2 = (1 + |z1|2)(1 + |z2|2)
3. |z1z2 − 1|2 − |z1 − z2|2 = (1− |z1|2)(1− |z2|2)
Bài tập 4 Viết các số sau dưới dạng lượng giác
1. (1− i√3)(1 + i)
2.
1− i√3
1 + i
3.
1
2 + 2i
4. sinϕ+ i cosϕ
5.
1− cosϕ− i sinϕ
1 + cosϕ+ i sinϕ
6. (1− cosϕ− i sinϕ)(1 + cosϕ+ i sinϕ)
Bài tập 5 Tìm argument của các số phức sau
1. −5 + 5√3i
2. 1− sinϕ+ i cosϕ(0 < ϕ < pi
2
)
3. (cosϕ+ i sinϕ)2 + (cosϕ+ i sinϕ)
Bài tập 6 Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
1. |z + z + 3| = 5
3
2. |z − z + 1− i| = 2
3. 2|z − i| = |z − z + 2i|
4. |z2 − (z)2| = 4
Bài tập 7 Giải phương trình sau trên tập số phức (z2 + 9)(z4 + 2z2 − 4) = 0
Bài tập 8 Trên C cho phương trình z2 + az + i = 0. Tìm a để phương trình trên có tổng
các bình phương của 2 nghiệm bằng −4i
Bài tập 9 Gọi z1; z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z
2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của
biểu thức A = |z1|2 + |z2|2
Bài tập 10 Tìm các số thực m để phương trình z3− 5z2 + (m− 6)z +m = 0 có 3 nghiệm
phức phân biệt z1, z2, z3 thỏa mãn |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 = 21
Bài tập 11 Tìm các căn bậc hai của các số phức sau −11 + 4√3i;
√
2
2
(1− i)
Bài tập 12 Giải các phương trình sau
1. z2 + (1− 3i)z − 2(1 + i) = 0
2. z4 − z+1
2
z2 + z + 1 = 0
3. z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0
4.
 z1 + z2 = 4 + iz21 + z22 = 5− 2i
Một số bài tập về số phức trong các đề thi các năm gần đây
Bài tập 13 (B-09)
Tìm số phức z thỏa mãn |z − (2 + i)| = √10; zz = 25
Bài tập 14 (D-09)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
|z − (3− 4i)| = 2
Bài tập 15 (A-10)
Tìm phần ảo của số phức z biết z = (
√
2 + i)2(1−√2i)
Cho số phức z thỏa mãn z =
(1−√3i)3
1− i . Tìm môđun của số phức z + iz
4
Bài tập 16 (A-CĐ-10)
Giải phương trình z2 − (1 + i)z + 6 + 3i = 0 trên C
Bài tập 17 (B-10)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn |z− i| =
|(1 + i)z|
Bài tập 18 (B-CĐ-10)
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2− 3i)z + (4 + i)z = −(1 + 3i)2
5