Chuyên đề về Lượng giác

 + 2 
 + 
 = 1+ 
PT đã cho tương đương với 
(4) 1+ √ √ 
 √
 ( 
) 
 ( 
) 
 [
Vậy [
’ với k 
VD5: √ √ (5) 
 Giải: Nhận thấy (√ )
 ( √ )
 nên PT đã cho có nghiệm. 
Chia 2 vế của PT cho
2 2a b = √ (√ )
 ta có: 
(5) 
 √
 √
 = √
 = ( 
) 
 (
 ) ( 
) [
’ với k 
 [
 [
 ,với k 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 6 
Vậy[
 ,với k 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN (BTTL) 
1). √ 2). 2 = + √ 
3). √ + = √ 4). (√ ) - (√ ) √ = 0 
5). √ 6). - √ ( - ) 
7). 
√ ( )
 = 8). + = 
2. PT Đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx 
 Dạng PT: (2) 
Cách giải : 
 Cách 1 
 * Xét cosx = 0 
2
x k

    sin2x = 1 
 (2)  a = d (*) 
 + Nếu (*) đúng thì 
2
x k

  là nghiệm của PT (2) 
 + Nếu (*) không đúng thì 
2
x k

  không là nghiệm của PT (2) 
* Xét cosx  0 
 Chia hai vế của PT (2) cho cos2x ta đưa PT (2) về dạng : 
 A.tan2x + B.tanx + C = 0 .Đến đây ta giải pt bậc hai theo tan . 
 Cách 2 
Ta có : a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d (*) 
 Dùng các công thức : 2.sin .cos sin2x x x , 2 2
1 cos2 1 cos2
cos ,sin
2 2
x x
x x
 
  
Đưa PT (*) về dạng : .sin2 os2A x Bc x C  
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 7 
Đến đây ta giải phương trình thuần nhất bậc nhất đối với sin và cos 
Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: 
VD1: - √ (1) 
Vì = 0 không phải là nghiệm nên chia cả 2 vế của PT (1) cho ta được: 
(1) 1- 2√ ( ) 
Đặt t = tan ta có PT: √ [
 √ 
 Với t = 0 , , với k 
 Với t = √ √ 
 , với k 
VD2: (2) 
 Giải: Ta có (1) sin ( ) 
 - sin + = 0 [ ] = 0 
 [
 ( )
 ( )
(2.1) 
 , với k 
(2.2) 
 = 0 (
 ) 
 +2 = 0 (Vì ( ) ) 
Vậy PT có nghiệm là: 
 , với k 
3. PT Đối xứng Gồm 2 dạng sau: 
 ( ) + + = 0 
 ( ) + + = 0 
Bước 1.[
 √ ( 
) √ ( 
) 
 ( ) 
 √ ( 
) √ ( 
) 
 ( )
với t [ √ √ ] 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 8 
Biến đổi đưa về PT bậc 2 ẩn t. 
Bước 2. Giải PT bậc 2 ẩn t. Từ đó suy ra nghiệm . 
  Chú ý: Điều kiện t [ √ √ ] để loại nghiệm 
Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: 
VD1. ( ) - – 3 = 0 (1) 
 Giải: Đặt sin + cos = √ ( 
), với t [ √ √ ] (*) 
 = 1+2 
 ( ) 
PT được viết thành: 
 (1) ( ) – 3 = 0 [
 ( ( ) )
 ( ) 
Với thì: √ ( 
) = 1 ( 
) = 
√ 
 = 
 [
 [ 
, k 
Vậy nghiệm của PT là: , 
 , với k 
VD2. -1 + + = 
.sin2 (2) 
(2) -1 + ( )( ) = 
.sin2 
Đặt sin + cos = √ ( 
), với t [ √ √ ] 
Thì = 1+2 
 ( ) . Vậy PT (2) trở thành: 
(2) -1 + t.( 
) = 
( ) -2 + t.( ) = 3( ) 
 - 3 – 3 – 1 = 0 ( )( ) = 0 
 [
 √ 
 √ ( )
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 9 
Với t = 1 thì √ ( 
) = 1 ( 
) 
√ 
 = 
 [
 [
 , k 
Với t = √ thì √ ( 
) = √ ( 
) 
 √ 
√ 
 = 
 [
 [
, k , với 
 √ 
√ 
 = 
Vậy PT đã cho có 4 họ nghiệm: 
 , 
 , 
 , k , với 
 √ 
√ 
 = 
VD3. √ ( ) = + (3) 
Điều kiện: {
Lúc đó PT (3) tương đương với: 
(3) √ ( ) = 
 + 
 √ ( ) = 
 = 
Đặt sin + cos = √ ( 
), với t [ √ √ ] và 1 ( do mẫu phải ) 
Thì = 1+2 
 ( ) . Vậy PT (3) trở thành: 
(3) √ = 
 √ - √ - 2 = 0 ( hiển nhiên t = 1 không là nghiệm ) 
 ( √ )(√ √ ) = 0 [
 √ 
 √ ( )
Với √ √ ( 
) √ ( 
) 
 , k 
Vậy nghiệm của PT là : 
 , k 
 ( ) ( ) 
Điều kiện: 0 
Lúc đó PT (4) tương đương với : 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 10 
( ) + – 1 = 0 
 ( )( ) - ( )( ) 
 ( )( )( )( ) 
 - ( )( )( )( ) 
 ( )( )[ ( )( ) ( )( ) ] =0 
 [
( )( ) 
( )( ) ( )( ) 
 [
 ( ) 
 ( ) 
 [
 ( ) 
 [
( )( ) ( ) 
 [
 ( ) 
 ( )
 ( )
(4.1) , k 
(4.2) √ ( 
) 
 , k 
Xét PT (4.3): 
Đặt sin + cos = √ ( 
), với t [ √ √ ] và 1 
Thì = 1+2 
 ( ) . Vậy PT (4.3) trở thành: 
 + 
 [
 √ ( ) 
 √ ( )
Vậy √ ( 
) √ ( 
) 
 √ 
√ 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 11 
 , k 
Vậy PT đã cho có các họ nghiệm sau: 
 , với k 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN (BTTL) 
1). sin + cos – 2sin .cos = 1 2). 3(cos + sin ) + 2sin2 + 3 = 0 
3). + = sin2 +sin 4). 2 - sin = 2 cos +cos 
5). 2cos2 + + ( ) 
B. CÁC DẠNG VÀ KỸ THUẬT GIẢI PTLG 
I. DẠNG 1: SỬ DỤNG TRỰC TIẾP PTLG CƠ BẢN 
 Phương pháp: Dùng một số phép biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải 
Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: 
( ) 
( )( )
 √ ( Đề ĐH Khối A 2009 ) 
Giải: Điều kiện: sin và sin 
 (*). 
Với điều kiện trên PT đã cho tương đương: ( ) √ ( )( ) 
 cos √ = sin2x + √ cos2x cos( 
) = cos( 
) 
 x = 
 hoặc x = 
. Với k 
Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm là: x = 
. Với k 
 √ ( Đề ĐH Khối D 2009 ) 
Giải: PT đã cho tương đương: √ ( ) 
 √
 sin(
 ) = sinx 
 hoặc 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 12 
Vậy: x = 
 hoặc x = 
 + k2 .( Với k ) 
 sinx +cosx.sin2x + √ = 2( ). ( Đề ĐH Khối B 2009 ) 
Giải: PT đã cho tương đương với: ( )sinx +cosx.sin2x +√ 
 sinx.cos2x + cosxsin2x + √ 
 sin3x + √ cos( 
) = cos4x 
 4x = 3x-
 hoặc 4x = -3x + 
 . 
Vậy : x = 
 hoặc x = 
.( Với k ) 
 sinx( 
) = 4 ( Đề ĐH Khối B 2006 ) 
Giải: Điều kiện: sin và cos , cos
 (1). 
Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với: 
 + sinx
 = 4 
[
 (Với k ), thỏa điều kiện (1). 
 sinx + cosx = √ 
Giải PT √ cos( 
) = √ cos9x 
 cos9x = cos( 
) [
 ( 
) 
 ( 
) 
 [
, Với k 
 2sin4x = sinx + √ 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 13 
Giải PT sin4x = 
 + √
cosx 
 sin4x = sin( 
) 
 [
 ( 
) 
, k 
 [
, k 
 sin5x + 2 = 1 ( Đề ĐH Khối B 2013 ) 
Giải PT sin5x + cos2x = 0 
 cos( 5x + 
 )= cos2x 
 [
, k 
 [
, k 
 2(cosx + √ ) √ ( Đề ĐH Khối B 2012 ) 
Giải PT cho tương đương với: 2 √ √ 
 2 √ √ 
 cos2x + √ √ 
 cos(2x - 
) = cos(x+ 
) 
 2x - 
 = (x+ 
) + k2 , (k ) 
 x = 
 + k2 hoặc x = k 
 , (k ) 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1). 
√ 
 + 
 (ĐS: x = 
 x = 
 ) 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 14 
2).
 √ (ĐS: x = 
 ; x = 
 ) 
3).cos3x. 
 √ 
 (ĐS: x = 
 ) 
4). 
( √ ) 
 (
)
 = 1 (ĐS: x = 
 kết hợp đk ) 
5). cotx = tanx + 
 (ĐS: x = 
 kết hợp đk) 
II. DẠNG 2: ĐƯA VỀ PT TÍCH (Nhóm thừa số chung) 
 Phương pháp: Dùng các phép biến đổi đế nhóm các thừa số chung lại với nhau tạo thành 1 PT 
tích. 
  Chú ý : Giả sử PT tích số có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) 
 Phương pháp giải: Một tích số bằng 0 thì phải có ít nhất một thừa số bằng 0. Do đó: 
 (*) [ 
 ( ) ( )
 ( ) ( ) 
 ( ) ( )
 Ta lần lươt giải các PT (1), (2),  , (n). Hợp các tập nghiệm của “n” PT này là tập nghiệm 
của PT (*) đã cho. 
Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: 
 sinx + sin2x = sin3x 
Giải: + Nhận xét: các hàm số sin2x và sin3x đều có chứa thừa số sinx. Do đó ta có thể biến đổi 
PT trên thành một PT tích số 
PT sinx +2sinx.cox –(3sinx - 4 ) = 0 
 sinx( ) 
 [
 ( ) 
 ( ) 
- Giải ( ) a có : sinx = 0 k 
- Giải (2): Ta thay để có 1 PT bậc hai theo 
cosx: 2( ) + cosx – 1 = 0 
 2 - cosx – 1 = 0 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 15 
 [
 [
, k 
Vậy nghiệm của PT là: 
[
 , k 
Nhưng tập nghiệm thứ hai ( ) chứa trong tập nghiệm thứ nhất ( ). Nên PT 
chỉ có 3 họ nghiệm: 
[
, k 
 1 + tanx = 2√ ( 
) ( Đề ĐH Khối A 2013 ) 
Giải: Điều kiện: cosx . Phương trình đã cho tương đương với: 1 + 
 = 2(sinx + cosx) 
 cosx + sinx = 2cosx(sinx+cosx) = 0 
 (sinx + cosx)(2cosx - 1) = 0 
 [
 ( ) 
 ( ) 
PT (1) √ ( 
) = 0 
 = k x = - 
 , với k 
PT (2) 
 x = 
 , với k 
Đối chiếu điều kiện a được nghiệm: x = - 
 , hoặc x = 
 , với k 
 √ = 2cosx – 1. ( Đề ĐH Khối A 
2012 ) 
Giải: PT đã cho tương đương với: 2√ 
 2√ cosx(√ ) = 0 
 [√ 
( ) 
 ( ) 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 16 
PT (1) ( 
) 
 [
 , (k ) 
PT (2) x = 
 , (k ) 
Vậy nghiệm của PT đã cho là: x = 
 và 
 , với k 
 – sinx = 0. ( Đề ĐH Khối D 2013 ) 
Giải: PT đã cho tương đương với: – sinx = 0 2cos2x.sinx + cos2x = 0 
 cos2x.(2sinx + 1) = 0 
 [
 ( ) 
 ( ) 
PT (1) 
 x = 
, (k ) 
PT (2) 
 [
 , (k ) 
Vậy nghiệm của PT đã cho là: x = 
, 
 , và 
 , (k ) 
 + sinx + cosx ( Đề ĐH Khối B 2011 ) 
Giải: PT đã cho tương đương với: 
 2 + sinx + cosx 
 (2 ) + sinx + cosx 
 sinx(2 ) + sinx + cosx 
 sinx(cos2x ) + sinx + cosx 
 sinxcos2x + sinx + sinx + cosx 
 sinxcos2x cosx= 0 
 cos2x(sinx ) ( 1) = 0 
 (sinx – 1).(cos2x + cosx) = 0 
 [
 ( )
 ( )
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 17 
 ( ) 
 , (k ) 
 ( ) cos2x = cos( ) x = 
 ( ) 
Vậy PT đã cho có nghiệm là: 
 x = 
 ( ) 
 √ . ( Đề ĐH Khối D 2012 ) 
Giải: PT đã cho tương đương với: √ . 
 2cos2x.sinx + 2cos2x.cosx √ . 
 cos2x.(2sinx + 2cosx - √ ) = 0 
 [
 ( )
 √ ( )
PT (1) 2x = 
 + k x = 
 ( ) 
PT (2) sinx + cosx = 
√ 
 cos(x - 
) 
 [
 ( ) 
Vậy các nghiệm của PT là: x = 
 , 
 ( ) 
 √ ( Đề ĐH Khối A 2011 ) 
Giải: Điều kiện: sinx 0 (*). 
Nhận xét: 
 . 
Do đó PT đã cho tương đương với: (1 + sin2x + cos2x ). = 2√ 
 1 sin2x + cos2x = 2√ cosx ( do sinx ) 2sinx.cosx + 2 = 2√ cosx 
 2cosx( sinx + cosx - √ ) = 0 
 [
 ( ) 
 √ ( ) 
PT (1) 
 thỏa mãn điều kiện (*). 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 18 
PT (2) √ ( 
) = √ ( 
) 
 + , thỏa mãn điều kiện (*). 
Vậy nghiệm của PT đã cho là: 
 + ( ) 
sin2x 2cos x sin x 1
0
tan x 3
  


 . ( Đề ĐH Khối D 2011 ) 
Giải: Điều kiện: , √ (*) 
Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với: sin2x + 2cosx – sinx -1 = 0 
 2sinx.cosx +2cosx – sinx -1 = 0 2cosx(sinx + 1) – (sinx + 1) = 0 
 (sinx + 1)( 2cosx – 1) = 0 
 [
 ( )
 ( )
PT (1) 
 + ( ) 
PT (2) 
 + ( ) 
Đối chiếu điều kiện (*), vậy nghiệm của PT đã cho là: 
 + ( ) 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1). 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 (ĐS: x = 
 x = 
 ) 
2). 
( ) 
 (ĐS: x = 
 x = 
 ) 
3). 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 (ĐS: 
 + ) 
4). 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx (ĐS: 
 + 
 + ) 
5). (
) 
 (ĐS: + 
 + ) 
III. DẠNG 2: ĐƯA VỀ PT BẬC 2, 3 HOẶC TRÙNG PHƯƠNG 
 Phương pháp: Dùng các phép biến đổi để đưa về PT bậc 2, 3 hoặc trùng phương theo ẩn là 1 
hàm số lượng giác. 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 19 
Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: 
 2 + = 2 
Giải: Điều kiện cos x 
Cách 1: PT đã cho tương đương với: 
 2 + 
 = 2 2 . + 
 2(1 - ) + 1 - = + 1 - 
 + – 1 = 0 [
 ( ạ )
 – 1 = 0 
 cos2x = 0 2x = 
 x = 
 ( ) 
 Chú ý : Đối với PT 
 ta không nên giải trực tiếp theo PT bậc hai vì khi giải có 
tới 4 ng