Chuyên đề về Hệ phương trình

 y
⎧ − − + =⎪ − − + =⎨⎪ − − + =⎩
Giải . Viết lại hệ ph−ơng trình d−ới dạng : 
( )
( )
( )
2 3
2 3
2 3
1 3 3
1 3 3
1 3 3
x z z z
y x x x
z y y y
⎧ − = −⎪⎪ − = −⎨⎪ − = −⎪⎩
 (I) 
Từ đó, dễ thấy nếu ( ), ,x y z là nghiệm của hệ đã cho thì phải có x, y, z 1
3
≠ ± . Bởi thế : 
(I) ⇔
3
2
3
2
3
2
3
(1)
1 3
3
(2)
1 3
3
(3)
1 3
z z
x
z
x x
y
x
y y
z
y
⎧ −=⎪ −⎪⎪ −=⎨ −⎪⎪ −=⎪ −⎩
 (II) 
Đặt tgx α= với ;
2 2
π πα ⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠ (4) và sao cho 
1
 tg , tg3 , tg9
3
α α α ≠ ± (5). 
Khi đó từ (2), (3), (1) sẽ có : tg3 , tg9y zα α= = và tg27x α= 
 7
Từ đây dễ dàng suy ra ( ), ,x y z là nghiệm của (II) khi và chỉ khi tg3 , tg9y zα α= = , tgx α= , với 
α đ−ợc xác định bởi (4), (5) và tg tg27α α= (6). 
 Lại có : ( ) ( )6 26 k k Zα π⇔ = ∈ 
Vì thế α thoả mãn đồng thời (4) và (6) khi và chỉ khi 
26
kπα = với k nguyên thoả mãn : 
12 12k− ≤ ≤ . Dễ dàng kiểm tra đ−ợc rằng, tất cả các giá trị α đ−ợc xác định nh− vừa nêu đều thoả 
mãn (5). 
 Vậy tóm lại hệ ph−ơng trình đã cho có tất cả 25 nghiệm, đó là : 
3 9
, , , 0, 1,... 12
26 26 26
k k k
x tg y tg z tg k
π π π⎛ ⎞= = = = ± ±⎜ ⎟⎝ ⎠ 
" 5. Giải hệ ph−ơng trình : 
1 1 1
3 4 5
1
x y z
x y z
xy yz zx
⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = +⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎝ ⎠⎪ + + =⎩
Giải. Nhận xét : 0; , ,xyz x y z≠ cùng dấu . Nếu ( ), ,x y z là một nghiệm của hệ thì 
( ), ,x y z− − − cũng là nghiệm của hệ, nên chúng ta sẽ tìm nghiệm , ,x y z d−ơng . 
 Đặt ( )0tg ; tg ; tg 0 , , 90x y zα β γ α β λ= = = < < . 
Hệ 
( )
( )
1 1 1
3 tg 4 tg 5 tg 1
tg tg tg
tg tg tg tg tg tg 1 2
α β γα β γ
α β β γ γ α
⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = +⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ + + =⎩
(1) 
2 2 21 tg 1 tg 1 tg
3 4 5
tg tg tg
α β γ
α β γ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⇔ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 4 5
sin2 sin2 sin2α β γ⇔ = = 
Từ (2) suy ra : ( )tg tg tg 1 tg tgγ α β β α+ = − ( ) ( )tg tgtg tg
1 tg tg
co
α βγ α ββ α
+⇒ = = +− 
( )tg tg
2 2
π πγ α β α β γ⎛ ⎞⇒ − = + ⇔ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
Do 
⎧ = =⎪⎪⎨⎪ < < + + =⎪⎩
3 4 5
sin2 sin2 sin2
0 , , ;
2 2
α β γ
π πα β γ α β γ
 nên 2 ,2 ,2α β γ là các góc của một tam giác có số đo 3 cạnh 3,4,5. 
Do tam giác có 3 cạnh 3,4,5 là tam giác vuông nên 0 02 90 45 z tg 1γ = ⇒ γ = ⇒ = γ = 
2 2
2tg 3 2x 3 1
tg2 x
1 tg 4 1 x 4 3
αα = = ⇔ = ⇒ =− α − 
2 2
2tg 4 2y 4 1
tg2 y
1 tg 3 1 y 3 2
ββ = = ⇔ = ⇒ =− β − 
 8
Tuyển tập các bμi toán hay 
 II . Hệ ph−ơng trình 2 ẩn. 
" 1. Giải hệ ph−ơng trình : 
4 2
2 2
698
 (1)
81
3 4 4 0 (2) 
x y
x y xy x y
⎧ + =⎪⎨⎪ + + − − + =⎩
 Giải : Giả sử hệ ph−ơng trình có nghiệm . Ta thấy (2) t−ơng đ−ơng với : 
 ( ) ( )22 3 2 0x y x y+ − + − = 
 Để ph−ơng trình này có nghiệm đối với x ta phải có : 
 ( ) ( )2 2 73 4 2 0 1
3
y y yΔ = − − − ≥ ⇔ ≤ ≤ (3) 
Mặt khác ph−ơng trình (2) cũng t−ơng đ−ơng với : ( )2 24 3 4 0y x y x x+ − + − + = 
 Để ph−ơng trình này có nghiệm đối với y ta phải có : 
 ( ) ( )2 2 44 4 3 4 0 0
3
x x x xΔ = − − − + ≥ ⇔ ≤ ≤ (4) 
 Từ (3) và (4) ta có : 4 2
256 49 697 698
81 9 81 81
x y+ ≤ + = < , không thoả mãn (1). 
Vậy hệ ph−ơng trình đã cho vô nghiệm . 
) 2. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996.Bảng A ) 
Giải hệ ph−ơng trình : 
1
3 1 2
1
7 1 4 2
x
x y
y
x y
⎧ ⎛ ⎞+ =⎪ ⎜ ⎟+⎪ ⎝ ⎠⎨ ⎛ ⎞⎪ − =⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩
" 3. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996.Bảng A ) 
Hãy biện luận số nghiệm thực của hệ ph−ơng trình với ẩn x, y : 
3 4 2
2 2 3 22
x y y a
x y xy y b
⎧ − =⎨ + + =⎩
Giải . Điều kiện có nghĩa của hệ : x, y R∈ . 
 Viết lại hệ d−ới dạng : 
( ) ( )
( ) ( )
3 3 2
2 2
 1
 2
y x y a
y x y b
⎧ − =⎪⎨ + =⎪⎩
Xét các tr−ờng hợp sau : 
 è Tr−ờng hợp 1 : 0b = . Khi đó : 
 ( ) 02 y
y x
=⎧⇔ ⎨ = −⎩ và do vậy : Hệ đã cho 
⎡⇔ ⎢⎣
( ) ( )
( ) ( )
3 3 2
3 3 2
0y
I
y x y a
y x
II
y x y a
=⎧⎪⎨ − =⎪⎩
= −⎧⎪⎨ − =⎪⎩
 9
Có (II) 
4 22
y x
x a
= −⎧⇔ ⎨− =⎩ 
Từ đó : + Nếu 0a ≠ thì (I) và (II) cùng vô nghiệm, dẫn đến hệ vô nghiệm . 
 + Nếu 0a = thì (I) có vô số nghiệm dạng ( ), 0x R y∈ = , còn (II) có duy nhất nghiệm 
( )0, 0x y= = . Vì thế hệ đã cho có vô số nghiệm . 
è Tr−ờng hợp 2 : 0b ≠ . Khi đó, từ (1) và (2) dễ thấy , nếu ( ),x y là nghiệm của hệ đã cho thì 
phải có x, y >0 . Vì thế ( ) ( )2 3bx y
y
⇔ = − . 
Thế (3) vào (1) ta đ−ợc : 
3
3 2by y y a
y
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Đặt 0y t= > . Từ (4) ta có ph−ơng trình sau : 
 ( ) ( )3 32 2 6 2 9 3 2 0 5bt t t a t b t a t
t
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− − = ⇔ − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Xét hàm số : ( ) ( )39 3 2 f t t b t a t= − − + xác định trên [ )0;+∞ có : 
( ) ( ) [ )28 3 2 2 f' 9 9 0, 0;t t b t t a t= + − + ≥ ∀ ∈ +∞ . 
Suy ra hàm số ( )f t đồng biến trên [ )0; +∞ , và vì thế ph−ơng trình (5) có tối đa 1 nghiệm trong 
[ )0; +∞ . Mà ( ) 3 f 0 0b= − , nên ph−ơng trình (5) có duy nhất 
nghiệm, kí hiệu là 0t trong ( )0; +∞ . Suy ra hệ có duy nhất nghiệm 2 20 0
0
,
b
x t y t
t
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
 . 
Vậy tóm lại : + Nếu 0a b= = thì hệ đã cho có vô số nghiệm . 
 ` + Nếu a tuỳ ý , 0b ≠ thì hệ đã cho có duy nhất nghiệm . 
 + Nếu 0, 0a b≠ = thì hệ đã cho vô nghiệm . 
" 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ ph−ơng trình : 
2 2
2 2
2 1x xy y
x xy y m
⎧ + − =⎨ + + =⎩
 (1) có nghiệm . 
Giải . + Với 0y = hệ trở thành 
2
2
2 1x
x m
⎧ =⎨ =⎩
 . Hệ có nghiệm khi 
1
2
m = 
+ Với 0y ≠ , đặt x t
y
= , hệ trở thành 
2
2
2
2
1
2 1
1
t t
y
m
t t
y
⎧ + − =⎪⎪⎨⎪ + + =⎪⎩
⇔ ( )
2
2
2 2
1
2 1
(2)
1 2 1
t t
y
t t m t t
⎧ + − =⎪⎨⎪ + + = + −⎩
Vậy hệ PT (1) có nghiệm ( ),x y khi và chỉ khi hệ PT (2) có nghiệm ( ),t y . 
 10
Xét hệ (2), từ 2
2
1
2 1t t
y
+ − = suy ra 2
1
2 1 0 1
2
t
t t
t
 ⇔ ⎢ >⎢⎣
. Do đó hệ (2) có nghiệm ( ),t y 
2
2
1
2 1
t t
m
t t
+ +⇔ = + − có nghiệm ( )
1
, 1 ,
2
t ⎛ ⎞∈ −∞ − ∪ +∞⎜ ⎟⎝ ⎠ . Xét hàm số ( )
2
2
1
 f
2 1
t t
t
t t
+ += + − trên khoảng 
( ) 1, 1 ,
2
⎛ ⎞−∞ − ∪ +∞⎜ ⎟⎝ ⎠ . Ta có : ( ) ( )
2
22
6 2
 f'
2 1
t t
t
t t
+ += −
+ −
, ( ) 3 7 f' 0
3 7
t
t
t
⎡ = − −= ⇔ ⎢ = − +⎢⎣
Lập bảng biến thiên : 
t 
−∞ 3 7− − 3 7− − −∞ 
f’(t) - 0 + + 0 - 
f(t) 
1
2
 +∞
14 5 7
28 11 7
+
+ 
−∞ −∞ 
+∞ 
1
2
 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để hệ có nghiệm : 
14 5 7
28 11 7
m
+≥ + . 
" 5. Giải hệ ph−ơng trình : ( ) ( )( ) ( )
3
3
2 3 1 1
2 3 2
x y
x y
⎧ + =⎪⎨ − =⎪⎩
Giải . Rõ ràng nếu 3 2y = hệ vô nghiệm. 
 Với 3 2y ≠ , từ (2) suy ra 
3
3
2
x
y
= − , thay vào (1) ta có : 
( )
( )33
27 2 3
1
2
y
y
+ =
−
 (3) . Xét hàm số : ( ) ( )( )33
27 2 3
f 1
2
y
y
y
+= −
−
, ta có : ( ) ( )( )
3 2
33
81 8 6 2
 f'
2
y y
y
y
+ += −
−
 Suy ra : ( ) f' 0 1y y= ⇔ = − 
Ta có bảng biến thiên : 
y 
−∞ -1 
+∞
f’(y) + 0 - - 
f (y) 
 0 
−∞ −∞
+∞ 
−∞
-1 1
2
3 2 
 11
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra pt(3) không có nghiệm trên các khoảng ( ); 1−∞ − và ( )31; 2− . 
 Ph−ơng trình có 1 nghiệm 1y = − và 1 nghiệm trong khoảng ( )3 2, +∞ 
Dễ thấy 2y = là 1 nghiệm thuộc khoảng ( )3 2, +∞ . 
 Vậy hệ ph−ơng trình đã cho có 2 nghiệm : ( )1; 1− − và 1 ; 2
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
) 6. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2004 –Bảng B ) 
Giải hệ ph−ơng trình sau : 
3 2
2 2
3 49
8 8 17
x xy
x xy y y x
⎧ + = −⎨ − + = −⎩
" 7. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1998-1999 –Bảng A ) 
Giải hệ ph−ơng trình : 
( )
( )
2 1 2 2 1
3 2
1 4 .5 1 2
4 1 ln 2 0
x y x y x y
y x y x
− − + − +⎧ + = +⎪⎨ + + + + =⎪⎩
Giải . ĐK: 2 2 0y x+ > 
 Đặt 2t x y= − thì ph−ơng trình thứ nhất của hệ trở thành : 
 ( ) 11 1 1 4 1 21 4 .5 1 2
5 5
t t
t t t
t
+
− + + ++ = + ⇔ = (1) 
 Vế trái là hàm nghịch biến, vế phải là hàm đồng biến trên nên t=1 là nghiệm 
duy nhất của (1). 
 Vậy 
1
2 1
2
y
x y x
+− = ⇒ = thế vào ph−ơng trình thứ hai của hệ ta đ−ợc : 
 ( ) ( )3 22 3 ln 1 0 2y y y y+ + + + + = 
 Vế trái là hàm đồng biến do đó y =-1 là nghiệm duy nhất của (2). 
 Đáp số : 0, 1x y= = − . 
" 8. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2000-2001 –Bảng B ) 
Giải hệ ph−ơng trình : 
7 2 5
2 2
x y x y
x y x y
⎧ + + + =⎪⎨ + + − =⎪⎩
Giải : ĐK có nghĩa của hệ ph−ơng trình : { }min 7 ,2x x y≥ − 
 Đặt : 7x y a+ = và 2x y b+ = . Từ hệ ph−ơng trình đã cho ta có hệ : 
( )
( )
5 1
2 2
a b
b x y
⎧ + =⎪⎨ + − =⎪⎩
 Nhận thấy : 2 2 5a b x− = . Kết hợp với (1) suy ra : ( )5
2
x
b
−= , thế vào (2) ta đ−ợc : 
 ( )5 2 2 1 3
2
x
x y x y
− + − = ⇔ = − 
Thế (3) vào (2) ta có : 
11 77
5 2 1 2
2
y y y
−− + − = ⇒ = 
Thế vào (3) suy ra nghiệm của hệ là: 10 77,x = − 11 77
2
y
−= . 
 12
) 9. Cho hệ ph−ơng trình 2 ẩn x, y : ( )
( ) ( )
2 4 23 3
8 2 2 4 43 3 3 3
1
1 1 2
k x x x yx
k x x x k x y x
⎧ + + + =⎪⎨⎪ + + + + − =⎩
1. Xác định k để hệ ph−ơng trình có nghiệm . 
2. Giải hệ ph−ơng trình với k = 16. 
" 10. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996 –Bảng A ) 
Giải hệ ph−ơng trình : 
1
3 . 1 2
1
7 . 1 4 2
x
x y
y
x y
⎧ ⎛ ⎞+ =⎪ ⎜ ⎟+⎪ ⎝ ⎠⎨ ⎛ ⎞⎪ − =⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩
Giải . ĐK có nghĩa của hệ : 0, 0x y≥ ≥ và 2 2 0x y+ ≠ . 
 Dễ thấy , nếu ( ),x y là nghiệm của hệ đã cho thì phải có x >0, y>0 . Do đó : 
Hệ đã cho 
1 2
1
3
1 4 2
1
7
x y x
x y y
⎧⎛ ⎞+ =⎪⎜ ⎟+⎝ ⎠⎪⇔ ⎨⎛ ⎞⎪ − =⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩
⇔
( )
( )
1 1 2 2
1
3 7
1 2 2
1 2
3 7
x y x y
x y
⎧ = −⎪ +⎪⎨⎪ = +⎪⎩
Nhân (1) với (2) theo vế ta đ−ợc : 
 ( )( ) ( )( )1 1 8 21 7 3 6 7 4 0 6
3 7
xy x y y x y x y x y x
x y x y
= − ⇔ = + − ⇔ − + = ⇔ =+ ( vì x >0, y>0) 
Thay vào (2) và giải ra ta đ−ợc : 
11 4 7 22 8 7
,
21 7
x y
+ += = .Thử lại ta thấy thoả mãn yêu cầu bt. 
 Iii. Hệ ph−ơng trình 3 ẩn. 
) 1. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ngãi 1995-1996) 
 Giải hệ ph−ơng trình : 
3 2
3 2
3 2
6 12 8 0
6 12 8 0
6 12 8 0
y x x
z y y
x z z
⎧ − + − =⎪ − + − =⎨⎪ − + − =⎩
) 4. Giải hệ ph−ơng trình : 
2 3
2 3
2 3
12 48 64
12 48 64
12 48 64
x x y
y y z
z z x
⎧ − + =⎪ − + =⎨⎪ − + =⎩
" 5. Giải hệ ph−ơng trình : 
19 5 2001
19 5 2001
19 5 2001
1890
1890
1890
x y z z
y z x x
z x y y
⎧ + = +⎪ + = +⎨⎪ + = +⎩
Giải . Chúng ta sẽ chứng minh hệ ph−ơng trình trên có nghiệm duy nhất 0x y z= = = . 
 13
Giả sử ( ), ,x y z là một nghiệm của hệ ph−ơng trình khi đó ( ), ,x y z− − − cũng là một nghiệm của 
h