Chuyên đề Ứng dụng của Tích phân - Nguyễn Thị Tuyết Hạnh

ai đường thẵng x = a ,x = b 
được tính bằng công thức: 
S = ∫
b
a
dxxf )( 
 O 
y 
a 
a b 
 D 
x 
y=f(x) 
CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG Â À Ù ÏÂ À Ù ÏÂ À Ù Ï CỦA TÍCH PHÂNÛ ÂÛ ÂÛ Â 
GV NGUYỄN THỊ TUYẾT HẠNHÃ Á ÏÃ Á ÏÃ Á Ï - THPT PHÚ XUYÊN Á ÂÙ ÂÙ Â 
5 
Ví dụ 4ïïï . Tính diện tích hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường : 
 a) x = -1 , x = 2 , y = 0 , y = x2 - 2x 
b) x = 1 , x = e , y = 0 , y = 
x
x
2
ln 
Bài làm:ø øø øø ø 
( )
( ) ( )
− − −
−
= − = − + − = − − −
   
= − − − =   
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 0 2 0 2
2 2 2 2 2
1 1 0 1 0
0 23 3
2 2
1 0
a) Diện tích hình phẳng D là :
S x 2 x dx x 2 x dx x 2 x dx x 2 x dx x 2 x dx
x x 8x x (đvdt ).
3 3 3
( Do ta có dấu của biểu thức x2 - 2x như sau: 
x -∞ -1 0 2 +∞ 
 x2 - 2x + + - + 
( )
−
=
≥
∈ ⇒ ⇒ ≥
>
= =
= 
= 
⇒ 
= 
= 
 ⇒ = − = − = − = − 
 
∫
∫ ∫
∫ ∫
e
1
e e
1 1
e e
e e e e1
2
1 1 1 1
1 1
ln xb) Diện tích hình phẳng D là : S dx.
2 x
ln x 0 ln xKhi x [1; e] 0.
2 x2 x 0
ln x ln xVậy S dx dx.
2 x 2 x
1u ln x du
xĐặt 1dv
v x2 x
xS x . ln x dx x . ln x x dx x . ln x 2 x 2 e .
x
Nhận xét:ä ùä ùä ù Nếu miền (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành Ox mà chưa cho hai đường x= a, 
x=b hoặc chỉ cho một trong hai đường x=a, x= b thì ta làm như sau: 
Bước 1: ùùù Giải phương trình f(x)= 0 tìm hoành độ giao điểm với trục hoành. 
Bước 2:ùùù Vẽ hình (trong trường hợp dễ không phải vẽ hình) và chỉ ra miền (D) được giới hạn như dạng 1. 
Bước 3. ùùù Áp dụng công thức của dạng 1 để tính diện tích hình phẳng (D). 
Ví dụ 5. ïïï Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y= ln(x-1), y=0, x=3. 
Ba øi øøø làm:øøø Xét phương trình: 
O O
O 
y 
 x 
 a 
 b c 
y=f(x) 
 D 
 D 
O 
y 
x 
b a 
y=f(x) 
 D 
x=b 
CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG Â À Ù ÏÂ À Ù ÏÂ À Ù Ï CỦA TÍCH PHÂNÛ ÂÛ ÂÛ Â 
GV NGUYỄN THỊ TUYẾT HẠNHÃ Á ÏÃ Á ÏÃ Á Ï - THPT PHÚ XUYÊN Á ÂÙ ÂÙ Â 
6 
 − = ⇔ − = ⇔ =ln(x 1) 0 x 1 1 x 2. 
Vậy hình phẳng đã cho được giới hạn bởi các đường : y= ln(x-1), y=0, x=2, x=3 
( )( )
⇒ − = − ∈ − ≥ ⇒ − ≥ =

= 
⇒
− 
  =
⇒ = − −
−
 
= − + 
− 
= − + − = −
∫ ∫
∫
∫
3 3
2 2
3
2
3
2
3
2
Diện tích hình phẳng là: S= ln(x 1) dx ln(x 1)dx (Do x [2; 3] nên x 1 1 ln(x 1) ln 1 0).
1u=ln(x-1) du dx
Đặt x 1
dv=dx v x
xS x ln(x 1) dx
x 1
13 ln 2 1 dx
x 1
3 ln 2 x ln x 1 2 ln 2 1.
Chu ù ýù ùù ùù ù: Để tính diện tích hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), trục 0y và hai đường thẳng y = a , 
y = b ta cũng có công thức tương tự: 
Ví dụ 6.ïïï Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 x=y2 +5y+6, x=0. 
Ba øi làmø øø øø ø : 
Xét phương trình: 
( )
−
−

⇔ 

⇒
= −
+
∫ ∫
2
2
-2 2
2 2
-3 3
3
y=-2
y +5y+6=0
y=-3
Vậy hình phẳng đã cho được giới hạn bởi các đường:
 x=y +5y+6, x= 0, y=-3, y=-2.
Diện tích hình phẳng là:
 S= y +5y+6 dy y +5y+6 dy
y = -
3
−
−
 
+ = 
 
22
3
5y 16 y (đvdt ).
2 6
2.2. Dạng 2ïïï . Diện tích hình phẳng (D) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) hai đường thẵng x = a, x= b 
được tính theo công thức: 
Ví dụ 7.ïïï Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 
 y=x2-3x+2, y= x-1 , x=0, x= 2. 
Ba øi øøø làm:øøø 
 ( ) ( )− + − − = − +∫ ∫
2 2
2 2
0 0
 Diện tích hình phẳng là:
S= x 3x 2 x 1 dx x 4 x 3 dx
D 
 O 
y 
x 
 a 
 b 
x=f(y) 
D 
 O 
 y 
 x a b 
 y=f(x) 
 y=g(x) 
1 2 3 4
1
2
3
4
y
y = ln (x - 1 )
S = ∫
b
a
dyyf )( 
S = ∫ −
b
a
dxxgxf )()( 
CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG Â À Ù ÏÂ À Ù ÏÂ À Ù Ï CỦA TÍCH PHÂNÛ ÂÛ ÂÛ Â 
GV NGUYỄN THỊ TUYẾT HẠNHÃ Á ÏÃ Á ÏÃ Á Ï - THPT PHÚ XUYÊN Á ÂÙ ÂÙ Â 
7 
( ) ( )= − + − + − + − − +
   
= − + − − + =   
   
∫ ∫ ∫ ∫
1 2 1 2
2 2 2 2
0 1 0 1
1 2
3 3
2 2
0 1
x 4 x 3 dx x 4 x 3 dx = x 4 x 3 dx x 4 x 3 dx
x x2 x 3x 2 x 3x 2(đvdt ).
3 3
Nhận xét:ä ùä ùä ù Nếu miền (D) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x), y= g(x) mà chưa cho hai đường x= a, x=b 
hoặc chỉ cho một trong hai đường x=a, x= b thì ta làm như sau: 
Bước 1: ùùù Giải phương trình f(x)= g(x) tìm hoành độ giao điểm hai đồ thị . 
Bước 2:ùùù Vẽ hình (trong trường hợp dễ không phải vẽ hình) và chỉ ra miền (D) được giới hạn như dạng 2. 
Bước 3. ùùù Áp dụng công thức của dạng 2 để tính diện tích hình phẳng (D). 
Ví dụ 8ïïï . (Khối A-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 = − + = +2y x 4 x 3 , y x 3. 
Ba øi làm: ø øø øø ø Xét phương trình : 
+ ≥ ≥ −
 
 = =− + = + ⇔ ⇔− + = + 
  
− + =
− + = − −  
2 2
22
x 3 0 x 3
x 0(t / m ), x 5(t / m )x 4 x 3 x 3 x 4 x 3 x 3
x 3x 6 0(VN )x 4 x 3 x 3
Vậy hình phẳng được giới hạn bởi các đường: = − + = +2y x 4 x 3 , y x 3 , x= 0, x= 5 nên có diện tích bằng: 
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= − + − + = + − − +
− +
+ − − + + + − − + + + − − +
+ − + − + + + − +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
5 5
2 2
0 0
2
1 3 5
2 2 2
0 1 3
1
2 2
0
S x 4 x 3 x 3 dx x 3 x 4 x 3 dx 
Do đồ thị hàm số y= x 4 x 3 nằm dưới đồ thị hàm số y = x+3 trên [0; 5]
 = x 3 x 4 x 3 dx x 3 x 4 x 3 dx x 3 x 4 x 3 dx
 = x 3 x 4 x 3 dx x 3 x 4 x 3 ( )
( ) ( ) ( )
+ + − + −
− + ≥ ∀ ∈ −∞ ∪ + ∞ − + ≤ ∀ ∈
= − + + − + + − +
     
= − + + − + + − + =     
     
∫ ∫
∫ ∫ ∫
3 5
2
1 3
2 2
1 3 5
2 2 2
0 1 3
1 3 53 2 3 2 3 2
0 1 3
dx x 3 x 4 x 3 dx
 (Do x 4 x 3 0 x ( ;1] [3; ) và x 4 x 3 0 x [1; 3] )
x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx
x 5x x 3x x 5x 1096 x (đvdt ).
3 2 3 2 3 2 6
 O 
 y 
 x a b 
 y=f(x) 
 y=g(x) 
 D 
D 
 O 
 y 
 x a b 
 y=f(x) 
 y=g(x) 
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
2
4
6
8
x
y
2 4 3y x x= − +
y = x+ 3
D 
CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG Â À Ù ÏÂ À Ù ÏÂ À Ù Ï CỦA TÍCH PHÂNÛ ÂÛ ÂÛ Â 
GV NGUYỄN THỊ TUYẾT HẠNHÃ Á ÏÃ Á ÏÃ Á Ï - THPT PHÚ XUYÊN Á ÂÙ ÂÙ Â 
8 
 Chú ýù ùù ùù ù : Để tính diện tích hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), x=g(y) và hai đường thẳng y = a, y = b ta 
cũng có công thức tương tự: 
 Ví dụ 9:ïïï Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 
 22,22 −== xyxy 
Ba øi làm:ø øø øø ø 
= ⇔ =
⇔
= −+
= ⇔ 
=
= = − =
=
2
2
2
2
2
yTa có: y 2 x x .
2
y+2 y=2x-2 x= .
2
y 1y y 2Xét phương trình: .
y 22 2
y y+2Vậy hình phẳng được giới hạn bởi các đường: x , x= , y 1, y 2 nên có diện tích là :
2 2
yS -
2
( )
− −
−
−
  +
= = 
 
 
= − − = − − = 
 
∫ ∫
∫
2 2 2 2
1 1
22 3 2
2
11
y+2 y y+2 y y 2dy - dy (Do không có nghiệm trong khoảng (-1; 2))
2 2 2 2 2
1 1 y y 9y y 2 dy 2 y (đvdt ).
2 2 3 2 4
2.3. Dạng 3. ïïï Tính diện tích hình phẳng (D) giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số: y = f1(x), y = f2(x),  
Phương pháp:ùùù Ta thực hiện như sau: 
Bước 1: ùùù Giải các phương trình f1(x)= f2(x), tìm hoành độ giao điểm của các đồ thị . 
Bước 2:ùùù Vẽ hình và xác định miền (D) trên hình vẽ. Phân tích miền D thành tổng các miền D1, D2, với D1, 
D2, là các hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai cận . 
Bước 3:ùùù Khi đó 
 với S, S1, S2, lần lượt là diện tích của các hình phẳng D1, D2, 
Ví dụ 10:ïïï Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
a)
x
yxyxy 27;
27
;
2
2
=== . 
b) Parabol y = -x2+4x-3 và hai tiếp tuyến tại các điểm A(0,-3) và B(3,0). 
Ba øi làm:ø øø øø ø 
= ⇔ =
= ⇔ = ⇔ =
= ⇔ = ⇔ =
2
2
2 3
2
3 3
2
1
xa)Ta có : x x 0.
27
27 x x 27 x 3.
x
x 27 x 9 x 9.
27 x
Từ đồ thị ta thấy hình phẳng đã cho là hợp của các hình phẳng:
 - Hình phẳng (D ) giới hạn bởi : y=x = = =
= = =
2
2
2
x, y , x 0, x 3.
27
x 27 - Hình phẳng (D ) giới hạn bởi : y= , y , x 3, x 9.
27 x
Vậy diện tích hình phẳng là :
S = ∫ −
b
a
dyygyf )()( 
D 
 O 
y 
x 
 a 
 b 
x=f(y) 
x=g(y) 
S= S1+ S2+... 
-2 2 4 6 8 10
-2
2
4
6
8
x
y
2
27
xy =
2y x=
27y
x
=
3 9O
D1 
D2 
CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG Â À Ù ÏÂ À Ù ÏÂ À Ù Ï CỦA TÍCH PHÂNÛ ÂÛ ÂÛ Â 
GV NGUYỄN THỊ TUYẾT HẠNHÃ Á ÏÃ Á ÏÃ Á Ï - THPT PHÚ XUYÊN Á ÂÙ ÂÙ Â 
9 
       
+ = − + − = + − =       
       ∫ ∫
3 93 92 2 3 3
2
1 2
0 30 3
x 27 x 26 x x S= S S x dx dx 27 ln x 27 ln 3 (đvdt ).
27 x 27 81 81
(Chú ý là hai hàm số 
2
2 ;
27
xy x y= = có đ ồ thị là parabol, còn hàm số 27y
x
= có đồ thị là hypebol) 
+ − ⇒ = − +
= = −
⇔
2b) Xét hàm số: y=-x 4 x 3 y ' 2 x 4.
y '(0) 4, y '(3) 2.
 Phương trình tiếp tuyến tại A(0; -3) là : y= 4x-3.
 Phương trình tiếp tuyến tại B(3; 0) là : y=-2(x-3) y=-2x+6.
Vậy ta cần tính diện tích
+ −
+ − = − ⇔ =
+ − = − + ⇔ =
− = − + ⇔ =
2
2
2
 hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường:
 y=-x 4 x 3, y= 4x-3, y=-2x+6
Xét các phương trình: 
 -x 4 x 3 4 x 3 x 0.
-x 4 x 3 2 x 6 x 3.
34 x 3 2 x 6 x .
2
= − + − = =
+ − = =
⇒
2
1
2
2
Vậy hình phẳng (D) là hợp của hai hình phẳng :
3- Hình phẳng (D ) giới hạn bởi: y 4 x 3, y=-x 4 x 3, x 0, x .
2
3- Hình phẳng (D ) giới hạn bởi : y=-2x+6, y=-x 4 x 3, x , x 3.
2
Diện tích hình phẳng
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
   = + = − − + − + − + − + −
   
−
= + − = + =
∫ ∫
∫ ∫
3 32
2 2
1 2
30
2
3 333 32 3 2
22
0 330
22
(D) là :
S S S 4 x 3 -x 4 x 3 dx 2 x 6 -x 4 x 3 dx
x 3x 9x dx x 3 dx (đvdt ).
3 3 4
Chu ù ý:ù ùù ùù ù : Để tính diện tích hình phẳng (D) giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số x = f1(y), x=f2(y), ta cũng có cách làm 
tương tự. 
Ví dụïïï 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x= y-1, x= 2y-1, x=-y +2. 
Ba øi làm:ø øø øø ø 
⇔
⇔
− = − + ⇔ =
1
Xét các phương trình: y-1=2y-1 y=0.
3 y-1=-y+2 y= .
2
2 y 1 y 2 y 1.
Từ đồ thị ta thấy hình phẳng được hợp bởi các hình phẳng:
- Hình phẳng (D ) g