Chuyên đề Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Nguyễn Phú Khánh

x f x∈ . 
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : 
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I 
• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≥ với mọi x I∈ ; 
• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≤ với mọi x I∈ . 
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : 
Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục 
trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng 
không phải đầu mút của I ) .Khi đó : 
• Nếu ( )' 0f x > với mọi x I∈ thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; 
• Nếu ( )' 0f x < với mọi x I∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ; 
• Nếu ( )' 0f x = với mọi x I∈ thì hàm số f không đổi trên khoảng I . 
Chú ý : 
• Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm ( )' 0f x > trên khoảng 
( );a b thì hàm số f đồng biến trên ;a b   . 
• Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm ( )' 0f x < trên khoảng 
( );a b thì hàm số f nghịch biến trên ;a b   . 
• Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn ;a b   . 
* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng ( );a b thì nó đồng biến trên đoạn 
;a b   . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
6 
* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng ( );a b thì nó nghịch biến trên đoạn 
;a b   . 
* Nếu hàm số f không đổi trên khoảng ( );a b thì không đổi trên đoạn ;a b   . 
4. Định lý mở rộng 
 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . 
• Nếu '( ) 0f x ≥ với x I∀ ∈ và '( ) 0f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc 
I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; 
• Nếu '( ) 0f x ≤ với x I∀ ∈ và '( ) 0f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc 
I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I . 
1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 
Dạng 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số . 
Xét chiều biến thiên của hàm số ( )y f x= ta thực hiện các bước sau: 
• Tìm tập xác định D của hàm số . 
• Tính đạo hàm ( )' 'y f x= . 
• Tìm các giá trị của x thuộc D để ( )' 0f x = hoặc ( )'f x không xác định 
( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ). 
• Xét dấu ( )' 'y f x= trên từng khoảng x thuộc D . 
• Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số. 
Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
2
1.
1
x
y
x
+
=
−
2 2 1
2.
2
x x
y
x
− + −
=
+
Giải: 
2
1.
1
x
y
x
+
=
−
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( );1 1;−∞ ∪ +∞ . 
* Ta có: ( )2
3
' 0, 1
1
y x
x
 -= < ∀ ≠
−
* Bảng biến thiên: 
x −∞ 1 +∞ 
'y − − 
y 
1 
 −∞ 
+∞ 
 1 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
7 
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( );1−∞ và ( )1;+∞ . 
2 2 1
2.
2
x x
y
x
− + −
=
+
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( ); 2 2;−∞ − ∪ − +∞ . 
* Ta có: ( )
2
2
4 5
' , 2
2
x x
y x
x
− − +
= ∀ ≠ −
+
5
' 0
1
x
y
x
 = −
= ⇔ 
=
* Bảng biến thiên : 
x −∞ 5− 2− 1 +∞ 
'y 
 − 0 + + 0 − 
y 
+∞ +∞ 
−∞ −∞ 
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng ( )5; 2− − và ( )2;1− , nghịch biến trên các 
khoảng ( ); 5−∞ − và ( )1;+∞ . 
Nhận xét: 
* Đối với hàm số ( . 0)ax by a c
cx d
+
= ≠
+
 luôn đồng biến hoặc luôn nghịch 
biến trên từng khoảng xác định của nó. 
* Đối với hàm số 
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
 luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu. 
* Cả hai dạng hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên
 . 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
2 1
1.
1
x
y
x
−
=
+
2 4 3
2.
2
x x
y
x
+ +
=
+
1
3.
3
x
y
x
+
= 
2
3
4.
1
x
y
x
=
+
2
2
4 3
5.
2 2 4
x x
y
x x
− +
=
− −
2
2
2 2
6.
2 1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 21. 3 24 26y x x x= − − + + 4 22. 6 8 1y x x x = − + + 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
8 
Giải: 
3 21. 3 24 26y x x x= − − + + 
* Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
* Ta có : 2' 3 6 24y x x= − − + 
2
4
' 0 3 6 24 0
2
x
y x x
x
 = −
= ⇔ − − + = ⇔ 
=
* Bảng xét dấu của 'y : 
x −∞ 4− 2 +∞ 
'y 
 − 0 + 0 − 
+ Trên khoảng ( )4;2− : ' 0y y> ⇒ đồng biến trên khoảng ( )4;2− , 
+ Trên mỗi khoảng ( ) ( ); 4 , 2;−∞ − +∞ : ' 0y y< ⇒ nghịch biến trên các 
khoảng ( ); 4 ,−∞ − ( )2;+∞ . 
Hoặc ta có thể trình bày : 
* Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
* Ta có : 2' 3 6 24y x x= − − + 
2
4
' 0 3 6 24 0
2
x
y x x
x
 = −
= ⇔ − − + = ⇔ 
=
* Bảng biến thiên : 
x −∞ 4− 2 +∞ 
'y 
 − 0 + 0 − 
y 
+∞ 
 −∞ 
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng ( )4;2− , nghịch biến trên các khoảng 
( ); 4−∞ − và ( )2;+∞ . 
4 22. 6 8 1y x x x = − + + 
* Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
* Ta có: 3 2' 4 12 8 4( 1) ( 2)y x x x x= − + = − + 
2
2
' 0 4( 1) ( 2) 0
1
x
y x x
x
 = −
= ⇔ − + = ⇔ 
=
* Bảng xét dấu: 
x −∞ 2− 1 +∞ 
'y 
 − 0 + 0 + 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
9 
Vậy,hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; )− +∞ và nghịch biến trên khoảng 
( ; 2)−∞ − . 
Nhận xét: 
* Ta thấy tại 1x = thì 0y = , nhưng qua đó 'y không đổi dấu. 
* Đối với hàm bậc bốn 4 3 2y ax bx cx dx e= + + + + luôn có ít nhất một 
khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm bậc bốn 
không thể đơn điệu trên 
 . 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 21. 3 2y x x= − + 
3 22. 3 3 2y x x x= + + + 
4 213. 2 1
4
y x x= − + − 
4 24. 2 3y x x= + − 
5 345. 8
5
y x x= − + + 
5 4 21 3 36. 2 2
5 4 2
y x x x x= − + − 
7 6 577. 9 7 12
5
y x x x= − + + 
Ví dụ 3 : Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
21. 2y x x= − 
2 32. 3y x x= − 
23. 1y x x= − 
24. 1 2 3 3y x x x= + − + + 
Giải: 
21. 2y x x= − . 
* Hàm số đã cho xác định trên mỗi nửa khoảng ( );0 2; −∞ ∪ +∞  . 
* Ta có: ( ) ( )
2
1
' , ;0 2;
2
x
y x
x x
−
= ∀ ∈ −∞ ∪ +∞
−
. 
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 0, 2x x= = . 
Cách 1 : 
+ Trên khoảng ( );0−∞ : ' 0y < ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng ( );0−∞ , 
+ Trên khoảng ( )2;+∞ : ' 0y > ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( )2;+∞ . 
Cách 2 : 
Bảng biến thiên : 
x −∞ 0 2 +∞ 
'y − || || + 
y 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
10 
Vậy , hàm số nghịch biến trên khoảng ( );0−∞ và đồng biến trên khoảng ( )2;+∞ 
2 32. 3y x x= − 
* Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng ( ;3]−∞ . 
* Ta có: ( ) ( )2
2 3
3(2 )
' , ;0 0;3
2 3
x x
y x
x x
−
= ∀ ∈ −∞ ∪
−
. 
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 0, 3x x= = . 
Suy ra, trên mỗi khoảng ( );0−∞ và ( )0;3 : ' 0 2y x= ⇔ = 
Bảng biến thiên: 
x −∞ 0 2 3 +∞ 
'y − || + 0 − || 
y 
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) , nghịch biến trên các khoảng ( ;0)−∞ và 
(2;3) . 
23. 1y x x= − 
* Hàm số đã cho xác định trên đoạn 1;1 −  . 
* Ta có: ( )2
2
1 2
' , 1;1
1
x
y x
x
−
= ∀ ∈ −
−
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 1, 1x x= − = . 
Trên khoảng ( )1;1− : 2' 0
2
y x= ⇔ = ± 
Bảng biến thiên: 
x 
−∞ 1− 
2
2
− 
2
2
 1 +∞ 
'y 
 || − 0 + 0 − || 
y 
Hàm số đồng biến trên khoảng 2 2;
2 2
 
 −
 
 
, nghịch biến trên mỗi khoảng 
2
1;
2
 
 − −
 
 
 và 2 ;1
2
 
 
 
 
. 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
11 
24. 1 2 3 3y x x x= + − + + 
* Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
* Ta có: 
2
2 3
' 1
3 3
x
y
x x
+
= −
+ +
( )
2
22
3
2' 0 3 3 2 3 1
3 3 2 3
x
y x x x x
x x x

≥ −
= ⇔ + + = + ⇔ ⇔ = −
 + + = +

Bảng biến thiên : 
x −∞ 1− +∞ 
'y 
 + 0 − 
y 
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 1)−∞ − , nghịch biến trên khoảng ( 1; )− +∞ . 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
21. 2y x x= − 
22. 1 4 3y x x x= + − − + 
33. 3 5y x= − 
3 24. 2y x x= − 
( ) 25. 4 3 6 1y x x= − + 
22 3
6.
3 2
x x
y
x
− +
=
+
2
2
7.
3
x
y
x x
+
=
− +
Ví dụ 4 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 2| 2 3 |y x x= − − 
Giải: 
2
2
2
2 3 khi 1 3
| 2 3 |
2 3 khi 1 3
x x x x
y x x
x x x

− − ≤ − ∨ ≥
= − − = 
− + + − < <
* Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
* Ta có: 
2 2 khi 1 3
'
2 2 khi 1 3
x x x
y
x x

− 
= 
− + − < <
Hàm số không có đạo hàm tại 1x = − và 3x = . 
+ Trên khoảng ( )1;3− : ' 0 1y x= ⇔ = ; 
+ Trên khoảng ( ); 1−∞ − : ' 0y < ; 
+ Trên khoảng ( )3;+∞ : ' 0y > . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
12 
Bảng biến thiên: 
x −∞ 1− 1 3 +∞ 
'y − || + 0 − || + 
y 
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng( 1;1)− và (3; )+∞ , nghịch biến trên mỗi 
khoảng ( ; 1)−∞ − và (1;3) . 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
21. 5 4y x x= − + 
22. 3 7 6 9y x x x= − + + − + 
23. 1 2 5 7y x x x= − + − + − 
2 24. 7 10y x x x= + − + 
Ví dụ 5 : 
Xét chiều biến thiên của hàm số sau: 2 sin cos2y x x= + trên đoạn 0;pi   . 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0;pi   
* Ta có: ( )' 2 cos 1 2 sin , 0;y x x x pi = − ∈   . 
Trên đoạn 0;pi   : 
0;
cos 0' 0
1
sin
2
x
x
y
x
pi  ∈  
 =
= ⇔ ⇔

=
5
2 6 6
x x x
pi pi pi
= ∨ = ∨ = . 
Bảng biến thiên: 
x 
 0 
6
pi
2
pi
5
6
pi
 pi 
'y + 0 − 0 + 0 − 
y 
Dựa vào bảng biến thiên suy ra : hàm số đồng biến trên các khoảng 0;
6
pi 
 
 
và 
5
;
2 6
pi pi 
 
 
, nghịch biến trên các khoảng ;
6 2
pi pi 
 
 
 và 5 ;
6
pi
pi
 
 
 
. 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
13 
1. sin 3y x= trên khoảng 0;
3
pi 
 
 
. 
2. cotxy
x
= trên khoảng ( )0;pi . 
3. ( )1 1sin 4 2 3 cos2
8 4
y x x= − − trên khoảng 0;
2
pi 
 
 
. 
4. 3 sin 3 cos
6 3
y x x
pi pi   
= − + +   
   
 trên đoạn 0;pi   . 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số = +2sin cosy x x đồng biến trên đoạn 
pi 
 
 
0;
3
và nghịch biến trên đoạn pi pi
 
 
 
;
3
. 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0;pi   
* Ta có: ( ) ( )pi= − ∈' sin 2 cos 1 , 0;y x x x 
Vì ( )0; sin 0x xpi∈ ⇒ > nên trên ( ) 10; : ' 0 cos
2 3
y x x
pi
pi = ⇔ = ⇔ = . 
+ Trên khoảng 0;
3
pi 
 
 
: ' 0y > nên hàm số đồng biến trên đoạn pi
 
 
 
0;
3
; 
+ Trên khoảng ;
3
pi
pi
 
 
 
: ' 0y < nên hàm số nghịch biến trên đoạn pi pi
 
 
 
;
3
. 
Bài tập tương tự : 
1