Chuyên đề Tứ giác nội tiếp

FE là các tứ giác nội tiếp 
DCGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau
Bài tập 37
Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đờng kính BA; trên tia đói của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H.
a. Chứng minh: = , từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp.
b. Chứng minh: HK // CD.
c. Chứng minh: OK.OS = R2.
Bài tập 38
Cho đờng tròn (O), một đờng kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN, sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
b. Chứng minh AME đồng dạng với ACM và AM2 = AE.AC.
c. Chứng minh AE.AC AI.IB = AI2.
d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài tập 39
Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng d vuông góc với AC tại A. Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt đờng thẳng d tại D; Tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P.
Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc.
Chứng minh: Tích CM. CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
Tứ giác APND là hình gì? Tại sao?
Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên một đờng tròn cố định.
Bài tập 40
 Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Các tiếp tuyến với đờng tròn kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn ở B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn (M khác B và C). Gọi H; K; I lần lợt là chân các đờng vuông góc kẻ từ M xuống BC; CA; AB.
a/ Chứng minh: Tứ giác MHBI, MHCK nội tiếp.
b/ Chứng minh:.
c/ Chứng minh: MH2 = MI.MK.
Bài tập 41
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M≠A, M≠Q, Q≠A. Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng minh:
Tích BN.BM không đổi.
Tứ giác MNPQ nội tiếp.
Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R
Bài tập 42
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O và P là trung điểm của cung AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I, các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
a. Góc CID bằng góc CKD.
b. Tứ giác CDFE nội tiếp đợc một dờng tròn.
c. IK // AB.
Bài tập 43
Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B). AM cắt BE tại C; AE cắt BM tại D.
a. Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB.
b. Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh BE.BC = BH.BA.
c. Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đờng thẳng CD.
d. Cho biết và . Tính diện tích tam giác ABC theo R.
Bài tập 44
Cho đường tròn (O) đờng kính AB. Một cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H của OB. Giọi I là trung điểm của MN. Từ A kẻ Ax vuông góc với MN tại K. Gọi C là giao điểm của Ax với tia BI.
a/ Chứng minh rằng: BN// MC
b/ Chứng minh rằng: Tứ giác OIKC là hình chữ nhật
c/ Tiếp tuyến Bt với đờng tròn (O) cắt tia AM ở E, cắt tia Ax ở F. Gọi D là giao điểm thứ hai của tia Ax với (O). Chứng minh rằng: tứ giác DMEF nội tiếp
Bài tập 45
 Cho D ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ hơn 600; trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.
Tam giác BCD là tam giác gì? tại sao?
Kéo dài đờng cao CH của D ABC cắt BD tại E. Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với CD tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến CG của đờng tròn này. Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc một đờng tròn. 
Các đờng thẳng AB và CG cắt nhau tại M, tứ giác AFGM là hình gì? Tại sao?
Chứng minh: D MBG cân.
Bài tập 46
Cho đờng tròn (O) bán kính R, đờng thẳng d không qua O và cắt đờng tròn tại hai điểm A, B . Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đờng tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đờng thẳng OH cắt tia CN tại K.
a. Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đờng tròn.
b. Chứng minh KN.KC = KH.KO.
c. Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và MN.
d. Một đờng thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lợt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất.
Bài tập 47
Cho BC là dây cung cố định của đờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R). A là một điểm di động trên cung lớn BC sao cho ABC nhọn. Các đờng cao AD; BE; CF cắt nhau tại H (DBC; ECA; FAB)
Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp. Từ đó suy ra AE.AC = AF.AB
Gọi A' là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AH = 2OA'
Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích ABC, 2p là chu vi DEF. Chứng minh:
d // EF
S = p.R
Bài tập 48
Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đờng tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O tại B và D cắt nhau tại điểm K.
a. Chứng minh các tứ giác OBID và OBKD là các tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh IK song song với BC.
c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là hình bình hành.
Bài tập 49
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm trên đường tròn. Một góc xAy = 900 quay quanh A và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đờng tròn (O). Gọi các giao điểm thứ hai của Ax, Ay với (O) tơng ứng là B, C. Đờng tròn đờng kính AO cắt AB, AC tại các điểm thứ hai tơng ứng là M, N. Tia OM cắt đờng tròn tại P. Gọi H là trực tâm tam giác AOP. Chứng minh rằng
AMON là hình chữ nhật
MN//BC
Tứ giác PHOB nội tiếp
Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất.
Bài tập 50
 Cho đường tròn (O) đờng kính AB. điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N khác B). Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh:
a) Tứ giác IECB nội tiếp.
b) AM2 = AE.AC
c) AE.AC – AI.IB = AI2
Bài tập 51
Cho nửa đường tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn sao cho cung AC nhỏ hơn 900 và góc COD = 900. Gọi M là một điểm trên nửa đờng tròn sao cho C là điểm chính giữa cung AM. Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lợt tại E, F
a) Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh: D là điểm chính giữa cung MB.
c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờngtròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lợt tại I, K. Chứng minh các tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp đợc.
d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Hãy xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M, O, B, K, S cùng thuộc một đờng tròn.
Bài tập 52
 Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đường thẳng AB không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây cung AB. Các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF với các đờng thẳng OM và OH.
a) Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh: OH.OI = OK. OM
c) Chứng minh: IA, IB là các tiếp tuyến của đờng tròn (O)
Bài tập 53
Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. CD cắt đường tròn đường kính BC tại I. 
Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp .
Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.
Chứng minh BI // AD.
Chứng minh I, B, E thẳng hàng.
Chứng minh MI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Bài tập 54
Cho đường tròn (0) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn và AM < AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với đờng tròn.
Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc một đờng tròn.
Chứng minh: góc AOC bằng góc BIC
Chứng minh: BI // MN
Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Bài tập 55
Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn O tại A lấy điểm M (M không trùng với A). Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D; tia MC nằm giữa tia MA và tia MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I là tiếp điểm) với đờng tròn (O). Đờng thẳng BC và BD cắt đờng thẳng OM lần lợt tai E và F. Chứng minh:
a. Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đờng tròn.
b. .
c. O là trung điểm của FE
Bài tập 56
Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vuông góc với AB .Đờng thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By tại P và Q .AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F.
a/ Chứng minh : Tứ giác APMC, EMFC nội tiếp 
b/ Chứng minh : EF//AB
c/ Tìm vị trí của điểm C để tứ giác AEFC là hình bình hành
Bài tập 57
Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng xy ngoài đờng tròn. Đờng thẳng đi qua O vuông góc với xy tại H cắt đờng tròn (O) tại A và B. M là điểm trên (O), đờng thẳng AM cắt xy tại E, đờng thẳng BM cắt xy tại F, tiếp tuyến tại M cắt xy tại I, đờng thẳng AF cắt (O) tại K. Nối E với K.
Chứng minh: IM = IF
Chứng minh: 4 điểm E, M, K, F cùng thuộc một đờng tròn.
Chứng minh: IK là tiếp tuyến của (O).
Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp AMH khi M di động trên (O)
Bài tập 58 
 Cho đờng tròn (O; R) có đờng kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O. Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB tại I, đờng thẳng này cắt đờng tròn (O; R) tại M và N. Gọi S là giao điểm BM và AN. Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng AB và AM lần lợt ở K và H. Hãy chứng minh:
1) Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK=HA.HM.
2) KM là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R)
3) Ba điểm H; N; B thẳng hàng
Bài tập 59
Cho đờng tròn (0; R), một dây CD có trung điểm M. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn. Đờng thẳng AB cắt các đờng thẳng SO ; OM tại P và Q.
Chứng minh tứ giác SPMQ, tứ giác ABOM nội tiếp.
Chứng minh SA2 = SD. SC. 
Chứng minh