Chuyên đề tự chọn: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chuyên đề tự chọn: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I.Mục tiêu:
Qua chủ đề này HS cần:
1)Về Kiến thức: Làm cho HS hiểu sâu sắc hơn về kiến thức cơ bản về quan hệ vuông góc trong không gian.
2)Về kỹ năng: Tăng cường rèn luyện kỹ năng giải toán về quan hệ vuông góc trong không gian. Thông qua việc rèn luyện giải toán HS được củng cố một số kiến thức đã học trong chương trình.
3)Về tư duy và thái độ:
Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi. Biết quan sát và phán đoán chính xác.
Làm cho HS hứng thú trong học tập môn Toán.
 II. CHUẨN BỊ:
chuẩn bị của học sinh: học bài cũ và nắm chắc các khái niệm, định lí đã được học
chuẩn bị của giáo viên: các ví dụ mang tính khái quát phương pháp.
III. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Ghi bảng
Giáo viên nêu đề và vẽ hình lên bảng cho hs suy nghĩ và sau đó gợi ý học sinh giải.
- Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì ta cần chứng minh gì?
- Từ đó áp dụng chứng minh bài trên.
a)
 Để c/m BC ^ (SAB) ta sẽ c/m BC vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong (SAB) là SA và AB. Gọi hs c/m và tương tự cho những ý sau.
b) Để c/m 2 đường thẳng vuông góc với nhau ta thường c/m 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
- Như để c/m AH ^ SC ta c/m AH ^ (SBC) É SC. Gọi hs lên bảng giải và c/m tương tự cho các ý khác
c) 
Để c/m 1 đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng ta còn cách khác là c/m đường thẳng đó // với 1 đường thẳng khác // với mặt phẳng.
- ở ý c để c/m HK ^ (SAC) ta c/m HK // BD. Gọi hs giải
Chú ý lên bảng và suy nghĩ giải bài toán.
- Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA ^ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD.
 a) CMR: BC ^ (SAB); CD ^ (SAD); BD ^ (SAC).
 b) CMR: AH ^ SC; AK ^ SC. Từ đó suy ra AH, AI, AK đồng phẳng.
 c) CMR: HK ^ (SAC); HK ^ AI
Giải:
a) 
i/ c/m: BC ^ (SAB)
- Vì SA ^ (ABCD) và BC Ì (ABCD) nên SA ^ BC (1)
- Mặt khác có ABCD là hình vuông nên AB ^ BC (2)
- Mà SA, AB Ì (SAC) Và SA Ç AB = A (3)
Từ (1), (2) và (3) Þ BC ^ (SAB)
ii/ CD ^ (SAD)
Tương tự cho các ý khác
CD ^ AD (ABCD là hình vuông)
CD ^ SA (SA ^ (ABCD))
AD, SA Ì (SAD), SA Ç AD = A
Þ CD ^ (SAD)
iii/ BD ^ (SAC)
BD ^ AC (2đường chéo của hình vuông)
BD ^ SA (SA ^ (ABCD))
AC, SA Ì (SAC), SA Ç AC = A
Þ BD ^ (SAC)
b)
- c/m: AH ^ SC
+ Theo câu a) ta có BC ^ (SAB) 
mà AH Ì (SAB) nên BC ^ AH 
+ Theo gt SB ^ AH
+ SB, BC Ì (SBC), SB Ç BC = B
Þ AH ^ (SBC) mà SC Ì (SBC)
Vậy AH ^ SC
- c/m AK ^ SC : 
+ Theo câu a) ta có CD ^ (SAD) 
mà AK Ì (SAD) nên CD ^ AK 
+ Theo gt SD ^ AK
+ SD, CD Ì (SCD), SD Ç CD = D
Þ AK ^ (SCD) mà SC Ì (SCD)
Vậy AH ^ SC
c)
- c/m: HK ^ (SAC) và HK ^ AI
+ Hai tam giác vuông DSAB = DSAD
+ AH, AK là các đường cao của 2 tam giác từ A.
suy ra = Þ HK // BD
Theo c/m ở câu a) BD ^ (SAC)
Vậy HK ^ (SAC)
Vì AI Ì (SAC) nên HK ^ AI
Bài 2: ở bài này phương pháp giải hoàn toàn tương tự bài 1. gv vẽ hình và gợi ý cho hs suy nghĩ tìm ra lời giải.
a) 
- Để c/m CI ^ SB ta sẽ c/m CI vuông góc với một mặt phẳng chứa SB. Gọi hs đứng tại chỗ chỉ ra mặt phẳng đó là mặt phẳng nào?và cho hs đó lên bảng trình bày.
Tương tự cho việc c/m DI ^ SC ta sẽ c/m DI ^ (SAC). Gọi hs bất kì làm tiếp.
c) c/m các mặt bên là các tam giác vuông thực chất của bài toán cũng là c/m 2 đường thẳng vuông góc với nhau. Nhưng khó khăn ở đây là chưa biết 2 đường thẳng nào vuông góc với nhau.
Hs quan sát và tìm lời giải. tìm mặt phẳng chứa đường thẳng cần chứng minh thích hợp
a)
- Ta sẽ c/m CI ^ (SAB)
- Nghe hướng dẫn và lên bảng trình bày. 
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D và SA = a, SA vuông góc (ABCD), AB =2a, AD = DC = a. Gọi I là trung điểm của AB
CMR: CI ^ SB, DI ^ SC
CMR: Các mặt bên của hình chóp SABCD là các tam giác vuông
Giải: 
a) 
- c/m CI ^ SB:
+ theo gt SA ^ (ABCD) mà CI Ì (ABCD)
nên SA ^ CI (1)
+ xét tứ giác ADCI có AI = AD = DC = a và = = 90 nên ADCI là hình vuông. Từ đó suy ra AB ^ CI (2)
+ SA, AB Ì (SAB), SA Ç AB = A (3)
Từ (1), (2) và (3) suyb ra CI ^ (SAB) mà SB Ì (SAB) 
Vậy CI ^ SB (đpcm)
- c/m DI ^ SC:
+ AC ^ DI (vì 2 đường chéo của hình vuông ADCI) (4)
+ theo gt SA ^ (ABCD) mà DI Ì (ABCD)
nên SA ^ DI (5)
+ SA, AC Ì (SAC) SA Ç AC = A (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra DI ^ (SAC)
Mà SC Ì (SAC) nên DI ^ SC (đpcm)
- các mặt bên SAB, SAD vuông tại A theo gt
- SCD vuông tại D 
- SBC vuông tại C (tính độ dài các cạnh)
Bài 3: Đây coi như là bài tập củng cố lại các phương pháp c/m 2 đường thẳng vuông góc và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Gv chỉ nêu đề và cho hs giải quyết bài toán.
Suy nghĩ và giải bài toán bằng các phương pháp vừa được sử dụng ở bài 1 và bài 2
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. DSAB đều; DSCD vuông cân đỉnh S. I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.
 a) Tính các cạnh của DSIJ. 
CMR: SI ^ (SCD); SJ ^ (SAB)
 b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IJ. 
CMR: SH ^ AC
giải: 
- Tính các cạnh của DSIJ 
 + xét DSAI vuông tại I nên SI = 
+ IJ = AD = a
 + = + Mà SC = SD = 
 Suy ra SJ = 
- c/m SI ^ (SCD)
+ Từ trên ta có IJ = SI + SJ nên DSIJ vuông tại S. suy ra SI ^ SJ (1)
+ SI ^ CD (2)
+ SJ, CD Ì (SCD), SJ Ç CD = J (3)
Suy ra SI ^ (SCD)
c/m SH ^ AC
- c/m SH ^ (ABCD) bằng cách chứng minh SH vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng(ABCD). ở đâyta lấy 2 đường thẳng là IJ và CD. Gọi hs c/m
 + SH ^ IJ (gt)
+ SH ^ CD (CD ^ (SIJ) É SH)
+ IJ Ç CD = H
Suy ra SH ^ (ABCD) É AC Þ SH ^ AC
Củng cố: - gv nêu lại các phương pháp c/m 2 đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông với mặt phẳng
 - bài tập về nhà: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a . mặt bên SBC vuông tại B, SCD vuông tại D với SD = a 
CMR: SA ^ (ABCD) và tính SA
Đường thẳng D qua A vuông góc với AC cắt các đường thẳng CB. CD lần lượt tại I, J . gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC. Hãy xác định giao điểm K, L của SB, SD với (HJK)
CMR: AK ^ (SBC), AL ^ (SCD)