Chuyên đề Toán nâng cao – số học THCS

 là số nguyên tố.
Bài 14:
 Tìm tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho abc < ab + bc + ca
Giải.
Vì a, b, c có vai trò như nhau nên giả sử khi đó
 ( vì a là số nguyên tố )
Với a = 2 ta có 
Nếu b = 2 thì 4c < 2 + 4c thoả mãn với c là nguyên tố bất kì 
Nếu b = 3 thì 6c < 6b + 5c suy ra c < 6 vậy c = 3 hoặc c = 5
Vậy các cạp số (a, b, c) càn tìm là (2, 2, p) ; (2, 3, 3 ) ; (2, 3, 5 ) và các hoán vị vủa chúng , vơi p là số nguyên tố .
DẠNG 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH.
Bài 1:
 Tìm sao cho : n3 – n2 + n – 1 là số nguyên tố 
Giải.
Ta có :
Nếu n = 1 suy ra A = 0
Nếu n = 2 suy ra A = 5 là số nguyên tố 
Nếu n>2 thì A là tích của hai thừa số mà mỗi thừa số đều lớn hơn hai . Vậy A là hợp số
Vậy để A = n3 – n2 + n – 1 là số nguyên tố thì n = 2.
Bài 2:
 Tìm 2 số tự nhiên , sao cho tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố 
Giải.
 Tích của hai số tự nhiên là số nguyên tố nên một số là 1 , số còn lại kí hiệu là a là số nguyên tố
 Theo đề bài 1 + a củng là số nguyên tố. Xét hai trường hợp:
Nếu 1 + a là số lẽ thì a là số chẵn. Do a là số nguyên tố nên a =2 
Nếu 1 + a la số chẵn thì 1 + a = 2 vì 1 + a là số nguyên tô . Khi đó a= 1 không là số nguyên tố ( loại )
Vậy hai số tự nhiên phải tìm 1 và 2
Bài 3:
 Tìm các số nguyên tố a, b, c thoả mãn điiêù kiện 
 abc = 3(a + b + c)
Giải.
Từ abc = 3(a + b + c) suy ra a chia hết cho 3 hoạc b chia hết cho 3 hoặc c chia hết cho 3. Vậy 
Do b và c là các sốnguyên tố và b – 1 , c – 1 là ước của 4 vậy chúng nhận 1 trông các giá trị là 1, 2, 4. Vậy ta có các trường hợp sau:
Hoạc 
Hoặc 
Hoặc 
Các cặp số (a, b, c) phải tìm là : (3, 3, 3) ; (3, 2, 5) ; (3, 5, 2) ; (5, 3, 2 ) ; (5, 2, 3) ; (2, 3, 5) ; (2, 5, 3)
Bài 4:
Tìm số nguyên tố a biết rằng 2a + 1 là lập phương của một số nguyên tố 
Tìm các số nguyên tố p để 13p + 1 là lập phương của một số tự nhiên
Giải.
1.Với a = 2 ta có 2a + 1 = 5 không thích hợp
Với do a là số nguyên tố nên a lẽ
Vậy 2a + 1 là lập phương của một số lẽ nghĩa là 
 Từ đó k là ước của a. Do k là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = a
Nếu k = 1 thì 2a + 1 = (2.1 + 1)3 suy ra a = 13 thích hợp
Nếu a = k từ a = a(4a2 + 6a + 3) do a là nguyên tố nên suy ra 
 1 = 4a2 + 6a + 3 không có số nguyên tố a nào thoả mãn phương trình này vì vế phải luôn lớn hơn 1
Vậy a = 13
2.Giả sử 
13 và p là các số nguyên tố , mà n – 1 > 1 và n2 + n + 1 > 1
Nên n – 1 = 13 hoặc n – 1 = p
Với n – 1 =13 thì n = 14 khi đó 13p = n3 – 1 = 2743 suy ta p = 211 là số nguyên tố 
Với n – 1 = p thi n2 + n + 1 = 13 suy ra n = 3 . Khi đó p = 2 là số nguyên tố
 Vậy p = 2, p = 211 thì 13p + 1 là lập phương của một số tự nhiên
Bài 5:
 Tìm tất cả các số có hai chử số sao cho là số nguyen tố
Giải.
 Vì a, b có vai trò như nhau nên có thể giả sử a > b
Giả sử , với p là số nguyên tố
Suy ra 
Ta có :
Với p = 2 ta có 
Với p = 3 ta có 
Với p = 5 hoặc p = 7 ta có a có hai chử số (loại)
Vậy các số cần tìm là 21, 12, 62, 26
Bài 6:
 Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + 1 = z
Giải.
 Vì x, y là các số nguyên tố nên vậy z là số nguyên tố lẽ
Suy ra xy là số chẵn vậy x = 2 khi đó z = 2y + 1
 Nếu y lẽ thì (mod 3)
 (vô lí vì z là nguyên tố )
 Vậy y chẵn , suy ra y = z
 z = 22 + 1 = 5
Vậy các số nguyên tố cần tìm là x = y = z , z = 5
Bài 7:
 Cho , chứng minh A = n4 + 4n và hợp số với n > 1
Giải.
 Xét các trường hợp chẵn
n chẵn thì A chia hết cho 2
n lẽ đặt n = 2k + 1 . Ta có
A phân tích được tích của 2 thừa số vậy A là hợp số .
Bài 8:
 Tìm để
n4 + 4 là số nguyên tố.
n2003 + n2002 + 1 la số nguyên tố
Giải.
1.Ta có 
 n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 – 4n2
 = (n2 + 2 )2 – (2n)2
 = (n2 + 2 – 2n )(n2 + 2 + 2n)
Vì n4 + 4 là số nguyên tố nên n2 + 2 – 2n = 1 hoặc n2 + 2 + 2n = 1
Mà n2 + 2 + 2n > 1 vậy n2 + 2 – 2n = 1 suy ra n = 1
Thử lại : n = 1 thì 14 + 4 = 5 là số nguyên tố
Vậy với n = 1 thì n4 + 4 là số nguyên tố./
2.Ta có :
 n2003 + n2002 + 1 = n2(n2001 – 1) + n(n2001 – 1) + n2 + n + 1 
Với n > 1 ta có :
Do đó 
 Mà n2 + n + 1 > 1 nên n2003 + n2002 + 1 là hợp số
Với n = 1 ta có 
 n2003 + n2002 + 1 = 12003 + 12002 + 1 = 3 là số nguyên tố .
Bài 9:
 Chứng minh rằng trong 15 số tự nhiên lớn hơn 1 không vượt quá 2004 và đôi một nguyên tố cùng nhau tìm được một số là số nguyên tố.
Giải .
 Giả sử n1, n2, n15 là các số thoả mãn yêu cầu bài toán. Giả sử tất cả chúng là hợp số. Gọi pi là ước nguyên tố nhỏ nhất của ni (i = 1, 2, , 15).
 Gọi p là số lớn nhất trong các số p1, p2, ,p15
 Do các số n1, n2, n15 là đôi nguyên tố cùng nhau nên các số p1, p2, ,p15 khác nhau tất cả.
 Số nguyên tố thứ 15 là số 47 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 ) ta có . Đối với số n có ước nguyên tố nhỏ nhất là p thì suy ra (vô lí)
 Vậy trong 15 số n1, n2, n15 ta tìm được một số nguyên tố./
Bài 10:
 Tìm số nguyên tố sao cho là số nguyên tố và 
Giải.
 Vì là số nguyên tố nên là số lẽ hay b, c, d, lẽ và khác 5 . Ta có:
Suy ra b = 7 hoặc b = 9
Với b = 7 . Ta có : 
 suy ra d = 3 hoặc d = 9
+ Nếu d = 3 thì (loại)
+ Nếu d = 9 thì (loại)
Với b = 9 thì 
 và là số nguyên tố thì a = 1
Vậy số thoả mãn yêu cầu bài toán 
C. Bài tập 
1. Chứng minh rằng nếu n và n2 + 2 là các số nguyên tố thì cũng là số nguyên tố.
2. Cho ,chứng minh rằng các số sau là hợp số:
 a) A = ;
 b) B = ;
 c) C = .
3. p là số nguyên tố lớn hơn 5, chứng minh rằng (mod 240).
4. Chứng minh rằng dãy có vô số hợp số.
5. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p có vô số dạng chia hết cho p.
6. Tìm các số sao cho là số nguyên tố.
7. Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố đó là số chẳn hay số lẻ.
8. Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó.
9. Tìm 4 số nguyên tố liên tiếp, sao cho tổng của chúng là số nguyên tố.
10. Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không.
11. Tìm số nguyên tố có 3 chữ số , biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên
12. Tìm một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r. Tìm r biết r không là số nguyên tố
 Hướng dẫn giải.
1 . n = 3.
2. Chứng minh .
3. 240 = 24.3.5
4. n = 6k + 4 
5. p = 2 lấy n chẳn; p > 2 lấy n = (pk – 1)(p – 1), 
6. thì là số nguyên tố.
7. Trong 25 số nguyên tố (từ 2 đến 97) có một số chẳn duy nhất, còn 24 số kia là số lẻ. Do đó tổng của 25 số là số chẳn.
8. Trong 3 số nguyên tố có tổng bằng 1012, phải có một số chẳn, là số 2, đó là số nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố trên.
9. Bốn số đó là 2, 3, 5, 7.
10. Tổng của hai số nguyên tố bằng 2003, là số lẻ, nên một trong hai số phải là 2. khi đó số kia là 2001, là hợp số. Vậy không tồn tại hai số nguyên tố có tổng bằng 2003.
11. Xét số có 3 chử số là lập phương của một số tự nhiên, đó là 125, 126, 343, 512, 729 chỉ có số 125 thoả mãn bài toán (521 là số nguyên tố) 
 CHUYÊN ĐỀ 3: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
LÍ THUYẾT
Định nghĩa
 Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên 
Ví dụ : 32 = 9
 152 = 225
 Các số 9, 225 là bình phương các số tự nhiên 3, 15 được gọi là số chính phương 
Tính chất 
1, Số chính phương chỉ có thể tận cùng băng 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể tận cùng bằng 2, 3, 7, 8
2, Một số chính phương có chử số tận cùng là 5 thì chử số hàng chục là 2.
 Thật vậy, giả sử vì chử số hàng chục của 100a2 và 100a là chử số 0 nên chử số hàng chục của M là 2.
3, Một số chính phương có chử số hàng đơn vị là 6 thì chử số hàng chục của nó là số lẽ.
 Thật vậy, giả sử số chính phương N = a2 có chử số tận cùng là 6 thì chử số hàng đơn vị của số a chỉ có thể 4 hoặc 6.
 Giả sử hai chử số tận cùng của số a là ( nếu là thì chứng minh tương tự ) khi đó :
Vì chử số hàng chục của số 100b2 là 80b là số chẵn nên chử số hàng chục của N là số lẽ
4, Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số với số mũ lẽ
 Thật vậy, giả sử A = k2 và k = axbycz(a, b, c là số nguyên tố) thì 
 A = (axbycz)2 = a2xb2yc2z
 Từ tính chất này suy ra:
Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4
Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16
5, Số lượng các ước của một số chính phương là số lẽ. Đảo lại một số có số lượng các ước là số lẽ thì số đó là số chính phương
 Thật vậy , nếu A = 1 thì A là số chính phương có 1 ước . Ta giả sử số A > 1 có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là A = axbycz thì số lượng ước của nó bằng (x + 1)(y + 1)(z + 1)
a, Nếu A là số chính phương thì x, y, z chẵn nên x + 1, y + 1 , z +1 lẽ . Vậy số lượng các ước của A là số lẽ.
b, Nếu số lượng các ước của A là số lẽ thì (x + 1)(y + 1)(z + 1)lẽ do đó các thừa số x + 1, y + 1, z + 1 .đều lẽ , suy ra x, y, z chẵn.
 Đặt x = ax’ , y = 2y’, z = 2z’ (x’, y’ ,z’  thì 
 nên A là số chính phương
CÁC DẠNG TOÁN.
DẠNG 1: CÁCH BIỄU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN TRONG HỆ THẬP PHÂN.
Đặc biệt : 
Bài 1: 
 Chứng minh rằng số sau là một số chính phương
Giải.
Ta có :
 Suy ra điều chứng minh
Bài 2:
 Cho 
So sánh tổng các chử số của A2 với tổng các chử số của A
Giải.
 Ta có :
Vậy 
Tổng của các chử số của 
 = (n – 1).9 + 9 = 9n
Tổng của các chử số của A = 9n
Vậy tổng các chử số của A2 bằng tổng các chử số của A
Bài 3:
 Tìm các chử số a, b, c > 0 sao cho mọi số tự nhiên n > 0 thì 
Giải.
Đặt 
Ta có :
Điều kiện bài toán đã cho tương đương với 
 Suy ra ta có ba bộ (a, b, c) thoả mãn là (1, 5, 3) ; (4, 8, 6) ; (9, 9, 9)
Bài 4:
 Cho 
Chứng minh rằng A + B + C + 8 là một số chính phương với 
Giải.
 Ta có :
Vậy 
 Là một số chính phương 
Bài 5:
 Chứng minh rằng mọi số tự nhiên n thì
 A = (10n + 10n-1 + + 10 + 1)(10n+1 + 5) + 1
Là số chính phương nhưng không thể là lập phương của một số tự nhiên được
Giải.
 Đặt B = 10n+1 ta có 
 (1)
Ta có (2)
 Từ (1) ta thấy A là một số chính phương nhưng từ (2) ta lại thấy A chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8 nên A không thể là lập phương của một số tự nhiên được.
Bài 6:
 Chứng minh rằng .
 là số chính phương
Giải