Chuyên đề Toán - Lượng giác

Phương trình lượng giác
A . Về nghiệm của phương trình lượng giác .
Đây là một vấn đề quan trọng vì nếu không nêu được đúng nghiệm của một phương trình lượng giác thì là không giải được phương trình lượng giác đó . Những sai lầm thường gặp xung quanh vấn đề nghiệm của phương trình lượng giác là : mất nghiệm hoặc thêm nghiệm, không biết ghép nghiệm . có những nguyên nhân sau đây :
a ) Không nắm vững cách giải phương trình lượng giác cơ bản .
Chẳng hạn , giải phương trình 
Như vậy ta làm mất nghiệm .
b) Do biến đổi không tương đương phương trình đã cho
Chẳng hạn nếu giải pt 2cosxsinx= sinx mà chia cho sinx để có 2cosx = 1 thì ta dễ thấy sai , vì sai lầm này đã được ngăn ngừa nhiều trong đại số .
Nhưng khi giải phương trình 2sinx + 3 cosx = 0 (1) thì có thể lại viết cosx ( 2 tgx +3 ) = 0 (2) . Từ đó : . Sai lầm ở đây là đã đưa cosx vào nên (1) và (2) không tương đương và cosx = 0 có nghiệm ngoại lai .
Một ví dụ nữa về biến đổi không tương đương : Giải phương trình
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm (1) . Như thế là đã không lưu ý đến điều kiện của công thức . Hai phương trình trên chỉ tương đương với điều kiện 
 Giải như trên , đã dẫn tới một phương trình không tương đương với phương trình đã cho , giải phương trình ấy rồi lấy kết quả gán cho phương trình ban đầu.
c) Không chú ý đến miền xác định của phương trình 
Chẳng hạn giải pt . 
ở đây, pt tgx =0 không tương đương với pt đã cho khi x = kp thì sin3x = 0 , vế trái của phương trình đã cho vô nghĩa.
Hoặc khi giải phương trình 
 là chưa được : nếu k là bội của 3 thì sinx = 0 và vế trái của phương trình đã cho vô nghĩa . Do đó ở đây phải viết nghiệm là .
d) Không biết ghép nghiệm Chẳng hạn giải phương trình 
sinx cõtg (1- tg2x ) =0 mà làm như sau thì không những vấy sai lầm như trên lại còn không biết ghép nghiệm : 
. Nếu dùng đường tròn lượng giác ghép nghiệm lại thì thấy là (những điểm cuối của cung mà sin bằng không và cos bằng không thì bỏ đi , nếu không thế tg và cotg sẽ vô nghĩa ) . Lẽ ra , giải bài đó ta phải viết ngay được sinx ạ 0 (để cho cotg có nghĩa ) cosx ạ 0 để cho tg có nghĩa . Như vậy còn phương trình giải là : 1- tg2x =0 
Một ví dụ khác , giải phương trình 
Sau khi ghép nghiệm . Như vậy là sai lầm , vì trường hợp k không phải là bội của 3 hoặc của 5 thì bấy giờ .
Ví dụ này giúp ta lưu ý rằng có khi tập tất cả các nghiệm của một phương trình lượng giác chỉ tương ứng với một bộ phận của tạap hợp các cung có chung điểm cuối trên đường tròn lượng giác mà thôi . Lấy thêm một ví dụ nữa để sáng tỏ : giải phương trình lượng giác thì thấy nghiệm ngay là . Nếu sau khi biểu diễn lên đường tròn lượng giác mà ta viết nghiệm là thì không được ; không phải mọi cung mà điểm cuối tại (1, 0 ) đều là nghiệm của phương trình, chẳng hạn các cung .
B . Bài tập : Giải các phương trình sau:
 I ) Sử dụng công thức hạ bậc , góc nhân đôi.
.
.
.
 II ) Dạng phân thức.
.
Cho phương trình 
Mệnh đề nào sau đây đúng?
 D. (1) vô nghiệm
Giải . +) Điều kiện 
+) lúc đó vế trái của (1) được biển đổi như sau
+) với điều kiên (*) thì 
+) Trường hợp 1 : sin x > 0 
+) Trường hợp 2 : sin x > 0
+) kết hợp cả hai trường hợp ta thấy (1) có nghiệm duy nhất
ị (C) đúng ị chọn C
 Cho phương trình
Nghiệm của phương trình là
D . Vô nghiệm.
E. Giá trị khác
Giải . + ) Điều kiện 
+) lúc đó
 , Nên C đúng ị chọn C
Cho phương trình 
Nghiệm của (1) là 
E . A và C
Giải . + ) Điều kiện 
 +) lúc đó 
 Nên A , C đúng ị chọn E
III ) Dạng chứa tg và cotg.
Cho phương trình 
mệnh đề nào sau đây đúng?
a) (1) có một họ nghiệm 
b) (1) có hai họ nghiệm.
c) (1) có 3 họ nghiệm.
d) (1) vô nghiệm
Giải . Điều kiện Lúc đó 
Û cos4x - cos6x= - 2 (2)
Nhận xét 
Ta thấy (3) vi phạm điều kiện (*) nên hệ (3) , (4) vô nghiệm , (1) vô nghiệm . Vậy (D) đúng , chọn D
Cho phương trình cos3xtg5x = sin7x (1) 
Nghiệm của phương trình (1) là 
D . Cả A và C
E. Giá trị khác
Giải . + ) Điều kiện 
 +) Lúc đó (1) Û cos3xsin5x = sin7x cos5x
+ Kiểm tra (2) , (3) với điều kiện (*)
 . 
Đặt
vậy trong các nghiệm chỉ có nghiệm ứng với m chẵn m = 2t là thoả mãn , hay x= tp (t ẻZ) là một họ nghiệm của (1)
. vô lí vì vế phải luôn là số lẻ còn vế trái là số chẵn với " m , kẻ Z
+) Do đó (1) có hai họ nghiệm Nên A , C đúng ị chọn D
Cho phương trình
 Nghiệm của phương trình (1) là
Giải . + ) Điều kiện 
 +) Lúc đó 
 +) Kết hợp với điều kiện (*) ta được
 , C đúng ị chọn C
IV ) Các dạng khác
2sin2 x = 1 + sin3x 
Đáp số 
1 + sin 3x = sinx + cos2x
Đáp số 
sinx + sin 2x+ sin3x = cosx + cos2x + cos3x.
Đáp số 
1 + sin x + sin2x + cosx + cos2x = 0
Đáp số 
2cos(2cosx) = 
Giải Ta có cos(2cosx) = 
cos2x = sin2x=22 + (sinx + cosx).
Giải Ta có 
2sin4x + 16sin3x cosx +3cos2x = 5
Giải Ta có sin4x = 2sin2x cos2x = 2sin2x( 1 – 2 sin2x) = 2sin2x – 4sin2xsin2x = 2sin2x –8 sin3x cosx. Vậy phương trình đã cho có dạng : 2 ( 2sin2x - 8 sin3x cosx) + 16sin3xcosx + 3cos2x = 5 hay 
4sin2x + 3cos2x = 5 (1) . Vì 
2cos3x + sinx – 3sin2xcosx = 0 
Giải Ta viết phương trình đã cho dưới dạng : 
2 cos3x + sinx ( sin2x+ cos2 x) – 3sin2xcosx = 0 
Giải Ta có 
Giải Ta viết phương trình đã cho dưới dạng :
. 
sin(x+1) + sin(x-1)= sin2x
Ta biến đổi mầu thức của vế trái 
cosx – sinx – cos3x + sin3x = (cosx –cos3x) + (sin3x –sinx)= 2sin2x sinx + 2cos2x sinx = 2sinx ( sin2x + cos2x). Để phương trình xác định ta phải có điều kiện : 
 =2222
Cho phương trình
 Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 
C. Cả A, B
D. Vô nghiệm