Chuyên đề Toán lớp 9: Nhóm dời hình

t Answer: D
Solution: 
Step 1: A reflection or flip is the transformation in which the figure is turned over.
Step 2: When Figure A is turned over, Figure 1 is formed.
Step 3: So, Figure 1 is the reflection of Figure A.
Phép tịnh tiến (Translation).
Examples :
Figure 2 is the translation of Figure 1.
Định nghĩa (Difinitions):
Trong mặt phẳng (không gian), cho v ≠0 cố định, phép biến hình 1-1 biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM'=v gọi là phép tịnh tiến theo v. Véc tơ v gọi là véc tơ tịnh tiến. Ký hiệu là Tv.
(In plane (space), let v≠0 be fixed, transformation 1-1 take point M to point M’ such that MM'=v called translation with v. Véc tơ v is called translational vector. Symbol : Tv).
Tính chất (Properties):
Phép tinh tiến là một phép dời hình, nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời hình.
(Translation is a isometry, so it has complete property of isometry).
Nếu phép tịnh tiến theo vecto v ≠0 biến điểm M thành điểm M’ thì phép tịnh tiến biến điểm M’ thành điểm M với vecto tịnh tiến là -v. Do đó, ta có : Tv-1=T-v.
Suy ra : Tv-1.T-v = e.
(If Tv take M to M’, then translation take M’ to M is T-v. So: Tv-1=T-v.
Inferred : : Tv-1.T-v = e.)
Qua phép tịnh tiến theo véc tơ v, các đường thẳng, mặt phẳng nhận v làm véc tơ chỉ phương đều biến thành chính nó. Nhưng các điểm thuộc các đường thẳng, mặt phẳng này không phải điểm bất động.
Tích của hai phép tịnh tiến Tv và Tv' là một phép tịnh tiến với véc tơ tịnh tiến bằng v+v' (phép toán đóng kín).
Tập hợp các phép tịnh tiến trong mặt phẳng (không gian) lập thành một nhóm gọi là nhóm tịnh tiến, hơn nữa còn là một nhóm abel.
Solved Example on Isometry
What isometry maps figure 1 to figure 3?
Choices:
A. reflection 
B. translation 
C. rotation 
D. none of these 
Correct Answer: B
Solution:  
Step 1: A reflection flips the figure across a line. The new figure is a mirror image of the original figure.
Step 2: Figure 2 is a reflection of Figure 1 and Figure 3 is a reflection of Figure 2. 
Step 3: A translation is the composition of two reflections in parallel lines.
Step 4: So, the isometry that maps Figure 1 to Figure 3 is a translation.
Phép quay (Rotation).
Examples :. 
Figure 2 is the rotation of Figure 1.
Phép quay quanh một điểm (Rotation around a point)
Định nghĩa (Difinition)
Trong mặt phẳng (P) đã được định hướng, cho một điểm O cố định và một góc định hướng α không đổi sai khác k2π, k ∈Z. Phép biến hình 1-1 biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho thỏa mãn OM = OM’ và OM, OM' = α gọi là phép quay tâm O, góc quay α. Ký hiệu : Q(O, α) hoặc QOα.
( In plane (P), Let O be a fixed point and a directed angle α. We difine a transformation take O to O and take M other than O to M’, such that : OM = OM’ and OM, OM'= α is rotation with center O).
Tính chất (Properties) :
Phép quay là một phép dời hình, nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời hình.
(Rotation is a isometry, so it has complete properties of isometry)
Trong phép quay tâm O với góc quay α, chỉ có tâm O là điểm bất động. Mọi đường thẳng đi qua O sẽ biến thành đường thẳng cũng đi qua O)
(In rotation center O with angle α only center O is motionless point. All line over O will be take to all line over O too).
If α=k2π then : QOα = e
 α = (2k+1)π then : QOα = ĐO
QOα.QOβ = QOα+β (with the same center)
QO,α.QO',α'=Q(O,2(a,b))Tv 
⟹ Tập các phép quay cùng tâm với phép toán trong lập thành một nhóm abel.
(Set rotation with the same center together with an operation (.) are abelian group).
Phép quay quanh một trục (Rotation around a line).
Định nghĩa (Difinition)
Trong không gian, cho đường thẳng định hướng ∆, φ là góc định hướng cho trước. phép biến hình 1-1 biến mỗi điểm M thành M’ sao cho M, M’ thuộc mặt phẳng vuông góc với ∆ tại O : OM = OM’ và (OM, OM’) = φ gọi là phép quay quanh một trục ∆. Ký hiệu : Q(∆,φ).
(In space, Let ∆ be a directed line, φ is a directed angle. We define a transformation take point M to point M’ such that : M, M’ in a plane perpendicular with ∆ at O : OM = OM’ and (OM, OM’) = φ is rotation around a line).
Tính chất (Properties):
Phép quay quanh trục là phép dời hình, nên nó có đầy đủ tính chất của phép dời hình.
(Rotation is a isometry, so it has complete property of isometry).
Thật vây, cho phép quay Q∆,φ và hai điểm M,N bất kỳ. Gọi M'=Q∆,φM và N'=Q(∆,φ)(N).
Ta có M, M'∈α, α⊥Δ, 
α∩Δ=O;N, N'∈β, β⊥Δ, 
β∩Δ=Ivà IN,IN'=OM,OM'=φ. 
Ta cần chứng minh MN=M’N’ hay MN2=M'N'2. Trên mặt phẳng α lấy điểm N1 sao cho ON1=IN. Gọi N'1=Q(∆,φ)(N1). Khi đó, ta có ON'1=IN', N'1∈ α, ON1,ON'1= φ.
Ta có : MN=MO+OI+IN.
⟹MN2=MO2+OI2+IN2+2(MO.OI+MO.IN+OI.IN) (1)
Ta có : M'N'=M'O+OI+IN'.
⟹M'N'2=M'O2+OI2+IN'2+2(M'O.OI+M'O.IN'+OI.IN') (2)
Ta có : MO.IN=MO.ON1; M'O.IN'=M'O.ON1 (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra MN2=M'N'2 ∎
Qua phép quay quanh trục ∆, mọi điểm thuộc đường thẳng trục ∆ đều là điểm bất động. Nên đường thẳng ∆ là đường thẳng bất động.
(Through rotation around line ∆, all point in line ∆ are motionless point, so ∆ is motionless line).
Nếu α⊥∆ thì Q∆,φ : α⟼α. Tuy nhiên, nếu φ≠k2π,k∈Z thì mọi điểm thuộc mặt phẳng (α) đều là điểm bất động, trừ giao điểm của α với ∆ không là điểm bất động.
(If α⊥∆ then Q∆,φ : α⟼α. However, if φ≠k2π,k∈Z then all point in (α) are motionless point, without point I=α∩Δ isn’t motionless point).
Solved Example on Rotation
Identify the figures that represent a rotation.
 Choices:
A. Figure 1 and Figure 2
B. Figure 1, Figure 2, and Figure 3
C. Figure 3 and Figure 2
D. Figure 1 and Figure 3
Correct Answer: A
Solution: 
Step 1: A Rotation is a transformation that turns a figure about a fixed point called the center of rotation.
Step 2: Here, in Figure 1 and Figure 2, the figures are turned about a fixed point called the center of rotation.
Step 3: So, Figure 1 and Figure 2 represent rotation.
II. Bất biến của phép dời hình. (Invariants of isometry)
Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.
( Isometry take three collinear point to three collinear point)
Thật vậy, giả sử A,B,C là ba điểm theo thứ tự đó trên một đường thẳng. Suy ra AB+BC=AC. Qua phép dời hình H, ta có :
H:AB⟼A'B' và AB=A’B’
H:BC⟼B'C' và BC=B’C’
H:AC⟼A'C' và AC=A’C’
Từ các đẳng thức về đoạn thẳng suy ra các đẳng thức về độ dài tương ứng: A’C’=A’B’+B’C’. Từ đó A’,B’C’ thẳng hàng và điểm B’ ở giữa hai điểm A’ và C’.
Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng.
( Isometry take line to line)
Phép dời hình biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng; giao điểm của hai đường thẳng biến thành giao điểm của hai đường thẳng.
(Isometry take three collinearless point to three collinearless point)
Phép dời hình biến tia thành tia.
(Isometry take ray to ray)
Qua phép dời hình, mặt phẳng biến thành mặt phẳng, nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng.
(Through isometry, plane take to plane, half of plane take to half of plane).
Phép dời hình bảo tồn góc giữa hai tia, góc giữa hai đường thẳng, góc nhị diện, góc giữa hai mặt phẳng.
(Isometry preserving midangle of two ray , midangle of two line, midangle of two plane)
Thật vậy, do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa 2 tia có cạnh lần lượt vuông góc giữa 2 đường thẳng đó. Tương ứng góc nhị diện, góc giữa 2 mặt phẳng được giữa 2 tia xác định bởi góc giữa 2 tia tương ứng vuông góc với các mặt của góc nhị diện hay 2 mặt phẳng. Từ đó chỉ cần chứng minh tính chất 6 đối với góc giữa 2 tia.
Giả sử cho góc vuông xOy . Trên Ox, Oy lần lượt lấy 2 điểm A,B. Qua phép dời hình D, điểm A∈Ox biến thành A'∈O'x' ; B∈Oy biến thành B'∈O’y’ và OA=O’A’ và OB= O’B’ , AB= A’B’ từ đó suy ra: ∆AOB=∆A'O'B' . Do vậy,AOB = A'O'B' hay xOy=x'O'y'.
Phép dời hình bảo tồn tích vô hướng của hai véc tơ.
( Isometry preserving scalar product of two vector)
Phép dời hình bảo tồn sự song song của hai đường thẳng, hai mặt phẳng, đường thẳng và mặt phẳng, bảo tồn tỉ số của đoạn thẳng cùng phương.
( Isometry preserving parallelism of two straight line , line and plane, ratio of segment the same direction)
Qua phép dời hình, đường tròn biến thành đường tròn bằng nó.
( Through isometry, take circle to circle equal it)
Tập hợp các phép dời hình lập thành 1 nhóm nhưng không là nhóm giao hoán.
(Set of isometry are group but is not Abelian group)
Phép dời hình đồng nhất Đo là phép dời hình biến mọi điểm thành chính nó.
( Identification is isometry take all point to itself)
Bất biến của nhóm dời hình là hình học Euclide
(Invariants of group of isometry is Euclidean Geometry).
III. Ứng dụng của phép dời hình
Phép dời hình có rất nhiều ứng dụng trong giải toán và trong thực tế đời sống. 
Trong giải các bài toán sơ cấp.
 Phép dời hình là một công cụ đắc lực để giải một số bài toán hình học như trong một số bài toán về : các bài toán tính toán, các bài toán chứng minh, bài toán dựng hình, bài toán tìm điểm, bài toán quỹ tích,vẽ đồ thị hàm số
Các bài toán tính toán 
Xét ví dụ : Trong mặt phẳng của tam giác đều ABC cho điểm M sao cho góc AMB= 120o.
Hãy tính CM nếu AM =1 và BM =2.
Giải:
Thực hiện phép quay Q (A, 60o)
+ TH1: Nếu M nằm trong tam giác ABC
Q(A, 60o) : M→M’
 B →C 
Thì góc CM'M = 60o, AM’=AM =1, CM’=BM =2 .Áp dụng định lý hàm số cosin cho ∆MM’C nhận được CM= 3
+ TH2: Nếu M nằm ngoài tam giác ABC 
Khi đó qua phép quay Q (A, 60o) nhận được M, M’, C thẳng hàng và CM = 3.
Các bài toán chứng minh
Sử dụng các phép dời hình để giải toán cho phép chứng minh một số các dạng toán sau:
- Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau (liên quan chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều).
- Chứng minh các góc bằng nhau, chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
- Chứng minh thẳng hàng đồng quy
Trong trường hợp tổng quát để chứng minh hình H bẳng hình H’ ta cần chỉ ra tồn tại một phép dời hình để biến H = H’
Xét riêng để chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng θ, người ta chứng minh một trong hai đường thẳng là ảnh của đường thẳng kia qua phép quay Q(O,θ). Việc chọn tâm O tùy thuộc vào từng giả thiết của bài toán.
Ví dụ 1 :
 C