Chuyên đề Toán học 12 - Modun của số phức

Mođun của một số phức 
2.1 Định nghĩa mođun của số phức 
Định nghĩa 
Xét số phức z = a + ib 
Người ta gọi mođun của số phức z, kí hiệu z là một số thực dương được xác định bởi 
công thức 2 2= +z a b . 
Minh hoạ bằng đồ thị 
Giả sử số phức 
z = a + ib được biểu diễn bởi điểm 
M(a , b) trên mặt phẳng phức 
Độ dài của vectơ OM chính là mođun cuả số 
phức z. 
Vậy z = OM





 hay 2 2a ib a b+ = + . 
Giả sử 
( )1 1 1 1,Az a ib A a b= + ⇒ và ( )2 2 2 2,Bz a ib B a b= + ⇒ 
B A B AAB OB OA z z z z AB= − = − ⇒ − =



 


 



Hệ quả : 2 2 .z a b z z= + = 
Ví dụ 
Ví dụ 1 : 
Tính mođun của các số phức 1
1 3
2 2
z i= − + ; 
2 1z i= + ; 3 3z i= − . 
Giải 
22
1
1 3
1
2 2
z
  
= − + =       
 ; 
2 2
2 1 1 2z = + = ; 
( )223 0 3 3= + − =z 
Ví dụ 2. 
Tìm tập hợp các điểm M mà toạ độ phức z của nó thoả mãn điều kiện 2 3z i− = 
Giải : Gọi A là điểm có toạ độ phức là 2i 
2 3− = = =





z i AM AM 
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm A và bán kính bằng 3. 
2.2 Tính chất của mođun 
Định lí 4 
Với mọi số phức z và z’ cho trước ta luôn có 

 0z = khi và chỉ khi với z = 0 

 ' 'z z z z+ ≤ + (bất đẳng thức tam giác) 

 ' . 'zz z z= và 
1 1
z z
= (nếu 0z ≠ ) 
Chứng minh : 
Gọi M và M’ lần lượt là ảnh cuả 2 số phức z và –z’ 
Ta có : ' ' ' 'z z MM MO OM z z− = ≤ + = + , vậy 
( )' ' ' '+ = − − ≤ + − = +z z z z z z z z . 
Hệ quả 
Với n là số tự nhiên và λ ∈ R thì 
nn
z z= ; 
' '
=
zz
z z
 với ( )' 0≠z ; z zλ λ= 
Ví dụ 
Tính mođun của 
( )
( )
2
5
2 3
1
i
i
+
−
Giải 
Ta có 1 2i− = và 2 3 13i+ = 
Vậy: 
( )
( )
22
5 5
2 32 3 13
4 21 1
ii
i i
++
= =
− −
 =
13 2
8
.