Chuyên đề Toán 6 - Trường THCS Tiền Phong

, c2 có cùng số dư khi chia cho 9. Vậy có ít nhất một trong các hiệu a2 – b2 hoặc a2 – c2 hoặc b2 – c2 chia hết cho 9 	Đpcm.
Bài 8: Ta có 
c) A = (20082007 + 20072007)2008 
 = (20082007 + 20072007)1.(20082007 + 20072007)2007 > 20082007. (20082007 + 20072007)2007 
 = (2008.20082007 + 2008.2007 2007)2007 > (2008.20082007 + 2007.20072007)2007
 = (20082008 + 20072008)2007 = B
Vậy A > B
Mở rộng:
Ta có thể chứng minh bài toán tổng quát : 
(an + bn)n + 1 > (an + 1 + bn + 1)n với a, b, n là các số nguyên dương. 
Thật vậy, không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b.
Ta co (an + bn)n + 1 = (an + bn)n.(an + bn) > (an + bn)n.an = [(an + bn)a]n = (an.a + bn.a)n ≥ (an.a + bn.b)n = (an + 1 + bn + 1)n. 
Trong ví dụ trên với a = 2008, b = n = 2007, ta có A > B. 
CHỦ ĐỀ 3
 CÁC VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT,
ƯỚC VÀ BỘI
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN.
- Nắm được các dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết của một tổng
- Hiểu về mối quan hệ giữa ước và bội với tính chia hết
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH VỀ TÍNH CHIA HẾT
I. Chú ý :
Nhắc lại về ước và bội 
- Nếu ta nói b là ước của a
 a là bội của b
- Khi và ta nói d là ước chung của a và b. Khi d là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của a và b ta nói d là ước chung lớn nhất của a và b
Ký hiệu ƯCLN(a,b) = d hoặc (a,b) = d
- - Khi và ta nói m là bội chung của a và b. Khi m # 0 và m là số nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung của a và b ta nói m là bội chung nhỏ nhất của a và b
Ký hiệu BCNN(a,b) = m hoặc [a,b] = m
Một số dấu hiệu chia hết cho
1. Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 khi tổng các chữ số ở vị trí lẻ bằng tổng các chữ số ở vị trí chẵn và chỉ những số đó mới chia hết cho 11 
2. Dấu hiệu chia hết cho 4, 25
Những số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 (hoặc 25) thì chia hết cho 4 (hoặc 25) và chỉ những số đó mới chia hết cho 4 (hoặc 25)
3. Dấu hiệu chia hết cho 8, 125
Những số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 (hoặc 125) thì chia hết cho 8 (hoặc 125) và chỉ những số đó mới chia hết cho 8 (hoặc 125)
Một số tính chất:
 - Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì trong tích chứa ít nhất một thừa số chia hết cho p
- Nếu tích a.b chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m
- Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho bội chung nhỏ nhất của m và n 
Cách phát biểu khác: Nếu a chia hết cho 2 số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho tích hai số đó
- Nếu A B thì mA nB B 
 (m,n N, A và B là các biểu thức của số tự nhiên)
II. Các phương pháp chứng minh chia hết.
1. Sử dụng tính chất chia hết của một tổng.
Ví dụ: 
a/ Cho A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25  + 299 
 CMR: A chia hết cho 31
Giải: Ta có A = 20 + 21+ 22+ 23+ 24+ 25  + 299 
	= (20+ 21+ 22+ 23+ 24) + 25.(20+ 21+ 22+ 23+ 24)+ + 295. (20+21+ 22+23+ 24) = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) . (1 + 25 + 210 + . + 295)
	= 31. (1 + 25 + 210 + . + 295) chia hết cho 31	Đpcm.
b/ Tìm số tự nhiên n để 3n + 4 chia hết cho n – 1.
Giải: Để hay n – 1 Ư(7)
 Vậy với n = 2 hoặc n = 8 thì 
2. Sử dụng đồng dư thức.
Ví dụ: Chứng tỏ rằng: 175 + 244 - 1321 chia hết cho 10
Giải: Ta có 
 Hay 175 + 244 - 1321 0(mod 10). Vậy 175 + 244 - 1321 10	 Đpcm.
3. Sử dụng tính chất của số nguyên tố cùng nhau
Ví dụ: CMR: n5 – n 30
Giải: Bài toán luôn đúng với n = 0 và n =1
Xét n 2:
Đặt A = n5 – n = n (n2 +1)(n+1)(n-1)
Ta có A 10 ( Vì n5 và n có chữ số tận cùng giống nhau)
 A 3 (Vì trong A có tích của 3 số tự nhiên liên tiếp (n-1)n(n+1) )
 A chia hết cho cả 3 và 10. 
 Mà ƯCLN(3, 10) = 1 nên A chia hết cho 3.10
Vậy A 30	 Đpcm.
C. CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI VÀ SỐ NGUYÊN TỐ
Phương pháp chung để giải : 
1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đó cho để tìm hai số. 
2/ Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. 
Việc chứng minh hệ thức này không khó : 
Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 (*) 
Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd 
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] . (**) 
Chúng ta hãy xét một số ví dụ minh họa. 
Bài toán 1 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16. 
Lời giải: Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b. 
Từ (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. 
Theo định nghĩa BCNN: [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 
=> m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80. 
Chú ý : Ta có thể áp dụng công thức (**) để giải bài toán này : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suy ra mn = 15. 
Bài toán 2 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. 
Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. 
Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n. 
Vì vậy: ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 mn = 6 m = 1, n = 6
 hoặc m = 2, n = 3 a = 6, b = 36 hoặc là a = 12, b = 18. 
Bài toán 3 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60. 
Lời giải : 
Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3. 
Tìm được (a, b) = 3, bài toán được đưa về dạng bài toán 2. 
Kết quả : a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15. 
Chú ý : Ta có thể tính (a, b) một cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN : 
Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3. 
Bài toán 4 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5. 
Lời giải : Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. 
Vì vậy: a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 m = 13 và n = 5 hay a= 65 và b= 25. 
Chú ý : phân số tương ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản do (m, n) = 1. 
Bài toán 5 : 
Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140. 
Lời giải : Đặt (a, b) = d. Với , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d. 
Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35. 
Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16. 
Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. 
Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n. 
Vì vậy : a + b = 128 16(m + n) = 128 m + n = 8
 m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80 
Bài toán 7 : Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72. 
Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. 
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n. 
Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1) 
   [a, b] = mnd = 72 (2) 
=> d là ước chung của 42 và 72 => d thuộc {1 ; 2 ; 3 ; 6}. 
Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường hợp d = 6 =>   m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4 . (thỏa mãn các điều kiện của m, n). Vậy d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 
Bài toán 8 : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140. 
Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. 
Do đó : a - b = d(m - n) = 7   (1’) 
   [a, b] = mnd = 140   (2’) 
=> d là ước chung của 7 và 140 => d thuộc {1 ; 7}. 
Thay lần lượt các giá trị của d vào (1’) và (2’) để tính m, n ta được kết quả duy nhất d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4 
Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 . 
	BÀI TẬP
1) Tìm hai số biết ƯCLN của chúng:
VD1:Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 100 và có ƯCLN là 10.
Giải:
 Gọi hai số phải tìm là a và b (a b). Ta có ƯCLN(a,b) = 10
Do đó a =10.a’ và b = 10.b’ trong đó ƯCLN(a’,b’) = 1 (a, b, a’, b’ N)
Theo đầu bài: a + b = 100 suy ra 10.a’ + 10.b’ =100 nên a’+b’ = 10 (a’ b’)
Chọn hai số nguyên tố cùng nhau có tổng là 10 ta có
a’
1
3
Do đó
a
10
30
b’
9
7
b
90
70
Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết ƯCLN của chúng là 5 và chúng có tích là 300
Giải: 
Gọi hai số phải tìm là a và b (a b). Ta có ƯCLN(a,b) = 5
Do đó a =5.a’ và b = 5.b’ trong đó ƯCLN(a’,b’) = 1 (a, b, a’, b’ N)
Theo đầu bài: a.b = 300 suy ra 25.a’.b’ =300 nên a’.b’ = 12 (a’ b’)
Chọn hai số nguyên tố cùng nhau có tích là 12 ta có
a’
1
3
Do đó
a
5
15
b’
12
4
b
60
20
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu số nguyên tố p > 3 thì (p - 1).(p + 1) 24
Giải: 
Ta có : (p - 1).p.(p + 1) 3 (Tích 3 số tự nhiên liên tiếp)
Vì p là số nguyên tố và p > 3 nên ƯCLN(3, p) = 1 (p - 1).(p + 1) 3
Do p là số nguyên tố nên p – 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên có 1số là bội của 2 và một số là bội của 4 (p - 1).(p + 1) 8
Mà ƯCLN(3,8) = 1 nên (p - 1).(p + 1) 3. 8. Vậy (p - 1).(p + 1) 24 Đpcm.
2) Các bài toán phối hợp giữa ƯCLN và BCNN
VD: Tìm hai số tự nhiên a, b (a b)biết ƯCLN(a,b) = 12, BCNN(a,b) =180
Giải: 
Theo đầu bài: ƯCLN(a,b) = 12 Do đó a =12.a’ và b = 12.b’ 
trong đó ƯCLN(a’,b’) = 1 (a’ b’; a’, b’ N). Vì ƯCLN(a,b) . BCNN(a,b) = a.b
nên 144a’.b’ = 2160 suy ra a’.b’ = 15
a’
1
3
Do đó
a
12
36
b’
15
5
b
180
60
D. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài tập tự giải : 
Bài 1 : a) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16. b) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. c) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết ab = 180, [a, b] = 60. 
 d) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5. 
 e) Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140. HD: Đặt (a, b) = d. Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d. 
 Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 suy ra d = 7 suy ra a = 28 ; b = 35. 
Bài 2: Tìm hai số a, b biết: 
 a) 7a = 11b và (a, b) = 45. 
 b) a + b = 448, ƯCLN (a,b) = 16 và chúng có chữ số tËn cïng giống nhau. 
Bài 3: Cho hai số tự nhiên a và b. Tìm tất cả các số tự nhiên c sao cho trong ba số, tích của hai số luôn chia hết cho số còn lại. 
Bài 4: Tìm các số tự nhiên m và n sao cho ( 2m + 1)(2n + 1) = 91
Bài 5: Tìm các số tự nhiên n sao cho 5n + 45 n + 3
Bài 6: Tìm số nguyên tố p sao cho cả p + 4 và p + 8 đều là các số nguyên tố
Bài 7: Cho p, q , r là ba số nguyên tố lớn hơn 3
Chứng minh rằng: p2 + q2 + r2 là hợp số.
E. HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 7: CM “ Bình phương của