Chuyên đề Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - Vũ Ngọc Vinh

TÍNH ÑÔN ÑIEÄU VAØ CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ
A. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Cho hàm số .
	Xác định m để hàm số đồng biến trên .
GIẢI
 TXĐ: D =
 Đạo hàm: 
	+ Nếu m = 1 thì 
	 Hàm số đồng biến khi và chỉ khi ( loại so với yêu cầu bài toán)
	+ Nếu m = -1 thì . Hàm số đồng biến trên (nhận so với ycbt) (1)
	+ Nếu thì HS đồng biến trên khi và chỉ khi
	 (2)
	Từ (1) và (2) suy ra hàm số đồng biến trên 
Bài 2: Cho hàm số 
	Định mọi giá trị của tham số m để hàm số luôn luôn đồng biến.
GIẢI
	TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Biệt số 
	Để hàm số luôn luôn đồng biến ta phải có: 
	Vậy các giá trị m cần tìm là: 
 Bài 3: Cho hàm số 
	Chứng minh rằng hàm số không thể luôn luôn đồng biến.
GIẢI
TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Biệt số 
	Vì 
	Do đó đạo hàm luôn có 2 nghiệm phân biệt . Suy ra không luôn luôn dương. Vậy hàm số không luôn luôn đồng biến.
 Bài 4: Định a để hàm số:. Đồng biến trên khoảng (0;3)
Lưu ý: (Mở rộng)
1) So sánh 1 số với các nghiệm của phương trình bậc 2:
2) So sánh 2 số và với các nghiệm của phương trình bậc 2:
GIẢI
TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Hàm số đồng biến trên khoảng (0;3) 
 có 2 nghiệm phân biệt , 
	Giả sử 
	Bảng biến thiên:
x
 (0;3) 
 - 0 + 0 -
y
Để 
 Bài 5:  Định m để hàm số: . Nghịch biến trên khoảng (-1;1)
GIẢI
 	Đạo hàm: 
	Để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) 
x
 (-1;1) 
 + 0 - 0 +
y
Để 
 Bài 6: Định m để hàm số:đồng biến trên khoảng 
GIẢI
 	Đạo hàm: 
	Biệt số 
	- Nếu thì 
	Hàm số luôn luôn đồng biến Hàm số đồng biến trên khoảng 
	Do đó giá trị thích hợp. (1)
	- Nếu có 2 nghiệm phân biệt , 
	Giả sử 
	Bảng biến thiên:
x
 (1) 
 + 0 - 0 +
y
	Căn cứ vào bảng biến thiên, để hàm số đồng biến trên khoảng là:
	 (2)
	Từ (1) và (2), các giá trị m cần tìm là: 
Bài 7: Cho hàm số: . Định m để hàm số đã cho:
	a) Luôn luôn đồng biến.
	b) Đồng biến trên khoảng .
GIẢI
 TXĐ: D =
 	 Đạo hàm: 
	a) Khi : Hàm số luôn luôn đồng biến.
	Vậy với , hàm số luôn đồng biến.
	b) Khi có 2 nghiệm phân biệt , . Giả sử 
	Bảng biến thiên:
x
 (5) 
 + 0 - 0 +
y
	Căn cứ vào bảng biến thiên, để hàm số đồng biến trên khoảng là:
Vậy với hàm số đồng biến trên khoảng 
B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Cho hàm số: 
	Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu.
GIẢI
TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Để hàm số không có cực trị thì phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
Bài 2: Cho hàm số: 
	Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
GIẢI
TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Hàm số đạt cực tiểu tại 
	Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại 
Bài 3: Cho hàm số 
	a) Tìm cực trị của hàm số.
	b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.
 Lưu ý:
Để tính giá trị cực trị của hàm bậc 3: ta làm như sau:
	 (*)
	Gọi là nghiệm của pt (là các điểm cực trị)
	Trong đó là phần dư của phép chia 
	Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 
( Vì toạ độ của điểm cực trị thoả pt , nên từ (*) ta suy ra)
GIẢI
a) TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Cho 
	Chia cho , ta được:
	Giá trị cực trị là: 
	Lập bảng biến thiên CĐ, CT.
	b) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: 
Bài 4: Cho hàm số . Xác định m sao cho:
	a) Hàm số có cực trị.
	b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu.
GIẢI
a) TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Cho (*)
	Để hàm số có 2 cực trị thì: 
	b) Chia cho , ta được:
	 giá trị cực trị là: 
	Gọi , là 2 điểm cực trị
	Hàm số có 2 cực trị cùng dấu 
 (1)
	Mặt khác: , 
	Do đó (1) 
Kết hợp với điều kiện có cực trị , ta được: 
Bài 5: Cho hàm số: 
	Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thoả 
GIẢI
 	TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Hàm số có 2 cực trị 
	 (*)
	Gọi , là 2 nghiệm của phương trình thì:
	 Từ (1) và (2) , 
	Thay vào (3) 
	 (Nhận so với điều kiện)
	Vậy: 
Bài 6: Cho hàm số: .
Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn m.
GIẢI
 	TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Hàm số đạt cực trị tại những điểm có hoành độ 
	 có 2 nghiệm , thỏa 
Vậy: 
Bài 7: Cho hàm số: (1) 
	Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng 
GIẢI
 	TXĐ: D =
 	Đạo hàm: 
	Cho 
Hàm số (1) có cực trị 
Lấy (1) chia cho ta được: 
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: (d)
Để (d) song song với đường thẳng thì:
 Bài 8: Cho hàm số: 
	a) Tìm cực trị của hàm số.
	b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.
Lưu ý: Tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số:
 , 
 (1)
Gọi là các nghiệm của (1), từ (1) ta suy ra:
Các giá trị cực trị là:
	Do đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 
GIẢI
 	a) TXĐ: 
 	Đạo hàm: , 
	Giá trị cực trị là:
	, 
	Lập bảng biến thiên CĐ, CT.
	b) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 
 Bài 9: Cho hàm số: . Tìm m để hàm số:
	a) Có cực đại và cực tiểu.
	b) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.
GIẢI
 	a) TXĐ: 
 	Đạo hàm: , (1)
	Hàm số có cực đại, cực tiểu (1) có 2 nghiệm phân biệt
	b) Hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi:
	 có 2 nghiệm phân biệt	
 Đồ thị không cắt trục ox ( Pt vô nghiệm)
Bài 10: Cho hàm số: 
Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số cùng dấu
GIẢI
TXĐ: 
 	Đạo hàm: , 
	Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi và chỉ khi
	 có 2 nghiệm phân biệt	
 có 2 nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt)
 Vậy 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số (C)
1.1.	 Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị với m = 2.
1.2. T́m m để hàm đồng biến trên 
1.3.	 T́m m để hàm số có CĐ, CT thỏa măn:
a. 
b. Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1
c. , với là hoành độ các điểm cực trị
d. Có ít nhất 1 hoành độ cực trị thuộc khoảng (-2; 0)
Bài 2: Cho hàm số . T́m m để hàm số có:
2.1. Cực trị và các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x – 1
2.2. Phương tŕnh đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với y = - 4x + 3
2.3. Phương tŕnh đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng x + 4y – 5 = 0 một góc .
2.4. Các điểm cực trị đối xứng qua tâm 
2.5. Các điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng 
2.6. Các điểm cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng y = 4x + 5.
2.7. Có cực trị và chứng minh khoảng cách giữa 2 điểm cực trị lớn hơn .
2.8. Cực trị tại thỏa măn: .
Bài 3: Cho hàm số 
3.1. T́m m để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
3.2. T́m m để hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác:
 a. Vuông cân
 b. Đều
 c. Tam giác có diện tích bằng 4.
3.3. Viết phương tŕnh parabol đi qua 3 điểm cực trị. 
3.4. T́m m để parabol đi qua 3 điểm cực trị đi qua điểm 
Bài 4: Cho hàm số . T́m tham số m để hàm số có:
4.1. Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung;
4.2. Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O;
4.3. Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng;
4.4. Khoảng cách hai điểm cực trị bằng ;
4.5. Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX.
4.6. Cực trị và thỏa măn: