Chuyên đề Tiếp tuyến của hàm số - Trương Trọng Nhân

k = 
Vậy phương trình tiếp tuyến tại B(7,4) là 
0 0
( )
7
( 7) 4
6
7 25
6 6
y k x x y
x
x
= − +
= − +
= −
Vấn đề 8: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 64 
C. Dạng 3: Cho trước hệ số góc k của tiếp tuyến. 
 Cách giải: 
1) Tính ( )y f x′ ′= 
2) Giải phương trình 
0
( )k f x′= tìm 
0
x 
3) Thay 
0
x thay vào hàm số đã cho để tìm 
0
y 
4) Tiếp tuyến tại 
0 0
( , )A x y có phương trình 
0 0
( )y k x x y= − + 
Chú ý: 
 1) Phương trình tiếp tuyến song song với y ax b= + có hệ số góc 
k a= 
 2) Phương trình tiếp tuyến vuông góc với y ax b= + có hệ số góc 
1
k
a
= − 
Ví Dụ: 
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng y x= − của đồ 
thị hàm số 
2 1
1
x x
y
x
− −
=
+
 Giải 
Ta có 
( )
2
2
2
1
x x
y
x
+
′ =
+
Tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1 
( )
2
2
2
2
1
1
2 4 1 0
2
1
2
2
1
2
x x
x
x x
x
x
+
− =
+
⇔ + + =

 = − +
⇒ 

 = − −

° Với 2 1 21 3
2 2
x y
−
= − + ⇒ = ta được phương trình tiếp tuyến 
0 0
( )
2 1 2
( 1 ) 3
2 2
4 2 2
y k x x y
y x
y x
= − +
−
⇔ =− + − +
⇔ =− − +
° Với 2 1 21 3
2 2
x y
+
= − − ⇒ =−
 ta được phương trình tiếp tuyến 
Vấn đề 8: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 65 
0 0
( )
2 1 2
( 1 ) 3
2 2
4 2 2
y k x x y
y x
y x
= − +
+
⇔ =− + + −
⇔ =− − −
Bài 2. Cho đường cong 3y x= . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm 
số biết 
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 3 5y x= + 
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1
12
y x= − + 
Giải 
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 3 5y x= + . Vậy hệ số góc của tiếp 
tuyến 3k = 
0
2
0
2
0
0
0
( ) 3
3 3
1
1
1
f x
x
x
x
x
′⇔ =
⇔ =
⇔ =
 =⇔  = −
° Với 
0 0
1 1x y= ⇒ = , ta được phương trình tiếp tuyến là 
 3 2y x= − 
° Với 
0 0
1 1x y= − ⇒ = − , ta được phương trình tiếp tuyến là 
 3 2y x= − 
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1
12
y x= − + . Vậy hệ số góc của 
tiếp tuyến là 12k = 
0
2
0
2
0
0
0
( ) 12
3 12
4
2
2
f x
x
x
x
x
′⇔ =
⇔ =
⇔ =
 =⇔  = −
° Với 
0 0
2 8x y= ⇒ = , ta được phương trình tiếp tuyến là 
12( 2) 8
12 4
y x
y x
= − +
⇔ = −
° Với 
0 0
2 8x y=− ⇒ =− , ta được phương trình tiếp tuyến là 
12( 2) 8
12 4
y x
y x
= + −
⇔ = +
Vấn đề 8: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 66 
Bài 3. Cho hàm số 
2 3 4
1
x x a
y
x
+ +
=
+
 . Với những giá trị nào của a thì đồ thị 
hàm số có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất 
 Giải 
 Ta có 
2
2
2 3 4
( 1)
x x a
y
x
+ + −
′ =
+
Tiếp tuyến vuông góc với giác góc thứ nhất 1y x k= ⇒ =− 
2
2
2
2 3 4
1
( 1)
2 2 2 0
x x a
x
x x a
+ + −
⇔ = −
+
⇔ + + − =
Điều kiện tồn tại tiếp tuyến 
0
1 2 2 0
1
2
a
a
′∆ ≥
′⇔ ∆ = − + ≥
⇔ ≥
Bài 4. Cho hàm số 3 22 3 5y x x= − + 
a) Tìm các điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng 
8
3
y x= 
b) Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông 
góc với đường thẳng y kx= 
 Giải 
a) Ta có 26 6y x x′ = − 
Tiếp tuyến song song với đường thẳng 8
3
y x= 
2
0 0
2
0 0
0
0
8
6 6
3
9 9 4 0
4
3
1
3
x x
x x
x
x
⇒ = −
⇔ − − =

 =
⇔ 
 = −

Vậy các điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng 
8
3
y x=
 là : 4 119 1 114( , );( , )
3 27 3 27
− 
b) Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y kx= 
2 16 6x x
k
⇒ − =−
Vấn đề 8: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 67 
2 16 6 0x x
k
⇔ − + = 
Điều kiện có nghiệm : 
1
9 6 0
0
2
3
k
k
k
′∆ = − ≥
 <
⇔
 ≥
D. Dạng 4: Cho trước một điểm thuộc ( )∆ (tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước. 
 Cách giải: 
1) Thiết lập phương trình ( )∆ theo 0x 
0 0 0
( ) : '( )( ) ( )y f x x x f x∆ = − + 
2) Thay tọa độ điểm A vào ( )∆ (phương trình có ẩn là 0x . Giải tìm 0x 
3) Thay 
0
x
 vào ( )f x tìm 
0
( )f x
 Thay 
0
x
 vào ( )f x′ tìm 
0
( )f x′
4) Thay các giá trị vào phương trình tiếp tuyến : 
0 0 0
( ) : ( )( ) ( )y f x x x f x′∆ = − + . 
Ví Dụ: 
 Bài 1. Cho hàm số 21 2
4
y x x= − + . Chứng minh rằng từ điểm 7( ,0)
2
A ta vẽ 
được hai tiếp tuyến với ( C ) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau . 
 Giải 
Gọi 2
0 0 0
1
( , 2)
4
M x x x− + là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị ( C ) . 
Với 2
0
1 1 1
2 1 1
4 2 2
y x x y x k x′= − + ⇒ = − ⇒ = − 
Tiếp tuyến tại điểm M với đồ thị có phương trình 
0 0 0 0
1 1
( 1)( ) 2
2 4
y x x x x x= − − + − + 
Tiếp tuyến qua 7( ,0)
2
A ta có : 
2
0 0 0 0
2
0 0
0
0
1 7 1
0 ( 1)( ) 2
2 2 4
7 6 0
1
6
x x x x
x x
x
x
= − − + − +
⇔ − + =
 =⇒  =
Vấn đề 8: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 68 
° Với 
0 0 0
5 1
1 ( ) ; ( )
4 2
x f x f x′= ⇒ = = − 
Phương trình tiếp tuyến thứ nhất là : 
1 5
( 1)
2 4
1 7
2 4
y x
y x
= − − +
⇔ =− +
° Với 
0 0 0
6 ( ) 5; ( ) 2x f x f x′= ⇒ = = 
Phương trình tiếp tuyến thứ hai là : 
2( 5) 5
2 5
y x
y x
= − +
⇔ = −
Ta có : 
 + Tiếp tuyến thứ nhất có hệ số góc 
1
1
2
k = − 
 + Tiếp tuyến thứ nhất có hệ số góc 
2
2k = 
Nên ta xét : 
1 2
1
. .2 1
2
k k = − = − 
Vậy hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau 
Bài 2. Cho hàm số 3 23 2y x x= − + có đồ thị là đường cong ( C ) . Viết 
phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến đi qua (0,3)A . 
 Giải 
Gọi 3 2
0 0 0
( , 3 2)M x x x− + là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị ( C ). 
 Với 
3 2 2
2
0 0 0
3 2 3 6
( ) 3 6
y x x y x x
f x k x x
′= − + ⇒ = −
′⇒ = = −
Phương trình tiếp tuyến tại M với ( C ) là : 
2 3 2
0 0 0 0 0
(3 6 )( ) 3 2y x x x x x x= − − + − + 
Tiếp tuyến đi qua (0,3)A , ta có : 
2 3 2
0 0 0 0 0
3 2
0 0
2
0 0 0
2
0 0
0
0
3 (3 6 ) 3 2
2 3 1 0
( 1)(2 1) 0
( 1) (2 1) 0
1
1
2
x x x x x
x x
x x x
x x
x
x
= − − + − +
⇔ − + =
⇔ − − − =
⇔ − + =
 =
⇒
 = −

° Với 
0 0 0
1 ( ) 0; ( ) 3x f x f x′= ⇒ = = −
Phương trình tiếp tuyến thứ nhất là 
Vấn đề 8: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 69 
3( 1) 0
3 3
y x
y x
= − − +
⇔ =− +
° Với 
0 0 0
1 9 15
( ) ; ( )
2 8 4
x f x f x′= − ⇒ = = 
Phương trình tiếp tuyến thứ hai là 
15 1 9
( )
4 2 8
15
3
4
y x
y x
= + +
⇔ = +
E. Dạng 5: Tiếp tuyến chung của 
1
( ) : ( )C y f x= , 
2
( ) : ( )C y g x= 
 Cách giải: 
 1) Phương trình tiếp tuyến của 
1
( )C tại điểm 
1 1 1
( , ( ))M x f x 
1 1 1 1
( ) : ( )( ) ( )y f x x x f x′∆ = − + 

1 1
1 1 1 1
( ) ( ) ( )
a b
y f x x f x x f x′ ′⇒ = − +

 2) Phương trình tiếp tuyến của 
2
( )C
 tại điểm 
2 2 2
( , ( ))M x f x
2 2 2 2
( ) : ( )( ) ( )y g x x x f x′∆ = − + 

2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
a b
y g x x g x x f x′ ′⇒ = − +

 3) Tiếp tuyến chung của 
1
( ) : ( )C y f x= và 
2
( ) : ( )C y g x= là đường 
thẳng 
1
( )∆ trùng 
2
( )∆ 1 2
1 2
a a
b b
 =⇔ 
 =
 là hệ phương trình 2 ẩn 
1 2
,x x , giải ra 
1 2
,x x 
thay vào 
1
( )∆ ta được phương trình tiếp chung cần tìm 
III. Mở rộng: Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị 
Định nghĩa: Giả sử hai hàm số f và g có đạo hàm tại 
0
x . Ta nói hai đồ thị 
1
( ) : ( )C y f x= , 
2
( ) : ( )C y g x= tiếp xúc với nhau tại 
0 0
( , )M x y
 nếu M là một 
điểm chung của chúng và hai đò thị có tiếp tuyến chung tại điểm M . Điểm 
M được gọi là tiếp điểm. 
Định lí: Hai đồ thị 
1
( ) : ( )C y f x= và 
2
( ) : ( )C y g x= tiếp xúc với nhau khi và 
chỉ khi hệ phương trình 
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
 =
 ′ ′ =
Có nghiệm và nghiệm 
0
x x= của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm. 
Khi đó 
0
( )f x′ là hệ số góc của tiếp tuyến chung. 
Vấn đề 8: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 70 
Trường hợp đặc biệt: Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) đi qua 
1 1
( , )A x y
 cho trước 
 Cách giải: 
 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua
1 1
( , )A x y với hệ số góc là k tùy ý . 
1 1
( ) : ( )y k x x y∆ = − +
 2) ( )∆ là tiếp tuyến của ( )C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm (hay k là 
nghiệm của hệ): 
1 1
( ) ( ) (1)
( ) (2)
f x k x x y
f x k
 = − +⇔ 
′ =
Giải ra tìm nghiệm x k⇒ (thế(2) vào (1) ) 
 3) Thay k vừa tìm vào 
1 1
( ) : ( )y k x x y∆ = − + ta được phương trình tiếp 
tuyến của ( )C đi qua A . 
 Chú ý: 
 ° Giải hệ này bằng phương pháp thế: Thế (2) vào (1) giải ra nghiệm x 
sau đó thế vào (2) tìm k . Thế vào ( )∆ có tiếp tuyến cần tìm. 
 ° Nghiệm x là hoành độ tiếp điểm đề chưa cho. 
 ° Nghiệm k là hệ số góc cần tìm. 
 ° Tìm tung độ của tiếp điểm bằng cách thay nghiệm x vào y . 
 ° Nếu hệ vô nghiệm, thì không có tiếp tuyến nào của ( )C đi qua A . 
Ví Dụ: 
Bài 1. Cho hàm số 2 2(2 )y x= − . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm 
số biết tiếp tuyến đi qua điểm (0,4)A . 
 Giải 
Phương trình đường thẳng đi qua (0,4);( ) : 4A py kx∆ = + . 
( )∆ là tiếp tuyến của đồ thị khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm 
4 2
3
4 4 4 (1)
4 8 (2)
x x kx
x x k
 − + = +⇔ 
 − =
Thay k ở (2) vào (1) ta được : 
4 2 34 4 (4 8 ) 4x x x x x− + = − + 2 2(3 4) 0x x⇔ − = 
0
2
3
2
3
x
x
x


 =


⇔ =



= −

Vấn đề 8: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 71 
° Với 0 0x k= ⇒ = . Ta được phương trình tiếp tuyến là : 
 ( ) : 4y∆ = 
° Với 2 16
3 3 3
x k= ⇒ = − . Ta được phương trình tiếp tuyến là : 
16
( ) : 4
3 3
y x∆ =− + 
° Với 2 16
3 3 3
x k= − ⇒ = . Ta được phương trình tiếp tuyến là : 
16
( ) : 4
3 3
y x∆ = + 
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến vẽ từ 23( , 2)
9
A −
 đến đồ thị hàm số 
3 23 2y x x= − + 
 Giải 
Phương trình đường thẳng đi qua 23( , 2)
9
A − với k là hệ số góc tùy ý. 
23
( ) : ( ) 2
9
y k x∆ = − −
( )∆ là tiếp tuyến của đồ thị khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm 
3 2
2
23
3 2 ( ) 2 (1)
9
3 6 (2)
x x k x
x x k
 − + = − −⇔ 
 − =
Thay k ở (2) vào (1) ta được : 
3 2 2
3 2
23
3 2 (3 6 )( ) 2
9
32