Chuyên đề Tích vô hướng - THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu

TÍCH VÔ HƯỚNG
Dạng 1: Tính toán liên quan đến tích vô hướng
Bài 1:
Cho vuông tại A có AB = a; BC = 2a. Tính: 
Bài 2:
Cho đều có cạnh a, đường cao AH, trọng tâm G. Tính: 
Gọi I là điểm thỏa mãn . Chứng minh rằng: BCIG là hình bình hành, từ đó tính ?
Bài 3:
Cho với AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm.
Tính . Suy ra số đo của góc A.
Tính . Từ đó suy ra với D là điểm nằm trên cạnh CA sao cho CD = 4cm.
Bài 4:
Cho có AB = 6, AC = 8, BC = 11.
Tính . Suy ra A là góc tù.
Trên cạnh AB lấy M sao cho AM = 2, gọi N là trung điểm AC. Tính và đoạn MN.
Bài 5:
Cho ba vectơ thỏa và . Tính giá trị của biểu thức: ?
Bài 6:
Cho có các cạnh bằng a, b, c.
Tính theo a, b, c. Từ đó suy ra ?
Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm . Tính độ dài AM, từ đó suy ra độ dài AG và côsin góc nhọn tạo bởi AG và BC.
Bài 7:
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. M là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông và N là điểm tùy ý trên cạnh BC. Tính: ?
Bài 8:
Cho có AB = 2, BC = 3, CA = 4.
Tính .
Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = CA. Tính .
Bài 9:
Cho lục giác đều ABCDEF, tâm O cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: 
Bài 10:
Tam giác ABC có các cạnh AC = b, AB = c, góc BAC = và AD là phân giác của góc BAC (D thuộc cạnh BC).
Hãy biểu thị qua .
Tính độ dài đoạn AD.
Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài
Bài 1:
Cho , chứng minh rằng với điểm M tùy ý ta có: .
Bài 2:
Cho hai điểm A, B; O là trung điểm của AB, M là một điểm tùy ý. Chứng minh: 
Bài 3:
Cho với ba trung tuyến AD, BE, CF; G là trọng tâm; M là điểm tùy ý. Chứng minh:
Bài 4:
Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng:
Bài 5:
Cho , gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng:
Bài 6:
Cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng: 
Bài 7:
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: .
Bài 8:
Cho có đường cao AH, gọi I là trung điểm của trung tuyến AM. Chứng minh rằng:
Bài 9:
Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O. Chứng minh với mọi điểm M thì:
Bài10:
Cho đều cạnh a, gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn ngoại tiếp . Chứng minh rằng: .
Dạng 3: Chứng minh tính vuông góc
Bài 1:
Cho có góc A nhọn. Vẽ bên ngoài các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: 
Bài 2:
Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABD và CDO. I, J là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: .
Bài 3:
Cho cân tại A và D là trung điểm cạnh BC, H là hình chiếu vuông góc của D trên cạnh AC và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng: 
Bài 4:
Cho hình vuông ABCD, trên DC lấy điểm E, kẻ . M, N lần lượt là trung điểm của AE và DC. Chứng minh rằng: 
Bài 5:
Cho vuông tại A. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm B’ và C’ sao cho . Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: 
Bài 6:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = . Gọi K là trung điểm cạnh AD. Chứng minh rằng: 
Bài 7:
Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn AC sao cho . Gọi N là trung điểm của DC. Chứng minh rằng: vuông cân.
Bài 8:
Cho đều cạnh 3a. Lấy M, N, P lần lượt trên 3 cạnh BC, CA, AB sao cho BM = a, CN = 2a, AP = x. Tìm x để 
Bài 9:
Cho hình chữ nhật ABCD. Hạ BH vuông góc với đường chéo AC, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AH và CD. Chứng minh rằng: 
Bài 10:
Cho cân tại A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp, gọi và là đường cao của tam giác. Chứng minh rằng: 
Bài 11:
Cho hai đường thẳng và cắt nhau tại A, trên lấy hai điểm B, B’; trên lấy hai điểm C, C’. Gọi H, H’ lần lượt là trực tâm của và .
Chứng minh: .
Chứng minh: .
Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC’, B’C. Chứng minh rằng: 
Dạng 4: Tập hợp điểm thỏa một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài
Bài 1:
Cho , tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:
, với BC = a.
Bài 2:
Cho hai điểm A, B cố định và một số k. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
Bài 3:
Cho hai điểm A, B cố định với AB = a và số k. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
Bài 4:
Cho và số k. Tìm tập hợp các điểm M thỏa:
Bài 5:
Cho hình bình hành ABCD và số k. Tìm tập hợp các điểm M thỏa:
Bài 6:
Cho đều cạnh a và số k. Tìm tập hợp các điểm M thỏa:
Bài 7:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm tập hợp điểm M sao cho:
Bài 8:
Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD. Tìm tập hợp điểm M sao cho:
Bài 9:
Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
	, với BC = a.
Bài 10:
Cho hai điểm phân biệt A, B và số dương . Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
MA = kMB.