Chuyên đề Tích phân

x
x
∫ Đặt 
1
2
t x dt dx
x
= ⇒ = 
4) 
2
1 1
1
b
a
f x dx
x x
  ±  
  ∫
∓ Đặt 
2
1 1
1t x dt dx
x x
   = ± ⇒ =   
   
∓ 
Bài 1: Tính các tính phân sau: 
1. 
3
1
0 1
xdx
I
x
=
+∫ 2. 
1
3
2
0
1I x dx= +∫ 3. 
1
3
3
0
1I x xdx= −∫ 4. ( )
1
122
4
0
2I x x dx= −∫ 
5. 
1
5 2
1 1
xdx
I
x x−
=
+ +∫ 6. 
2
6 4 2
6
1
2I x x x dx= − +∫ 7. ( )( )
1
8
7
1
1 1I x x dx
−
= − +∫ 
8. 
1 2
8 6
0 1
x dx
I
x
=
+∫ 9. 
4
9 2
1
dx
I
x x
=
+
∫ 10. 
4
10
1
xe dx
I
x
= ∫ . 
Bài toán 2: TÍCH PHÂ CỦA HÀM HỮU TỈ 
Dạng 1: 
( )
2
P x
dx
ax bx c+ +∫
β
α

 B1: Nếu bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng 2 thì chia tử cho mẫu và đưa về dạng: 
2
' 'a x b
dx
ax bx c
+
+ +∫
β
α

 B2: Biến đổi 
2 2 2
' ' 2a x b ax b k
ax bx c ax bx c ax bx c
+ +
= +
+ + + + + +

 B3: Để tính 
2
dx
ax bx c+ +∫
β
α
 thì chú ý các trường hợp sau: 
1) Nếu 2 0ax bx c+ + = có hai nghiệm 1 2;x x thì 2
1 2
1 1 A B
ax bx c a x x x x
 
= + + + − − 
2) Nếu 2 0ax bx c+ + = có nghiệm kép thì 
( )22 0
1 1
ax bx c a x x
=
+ + −
2) Nếu 2 0ax bx c+ + = có vô nghiệm thì 22
2
1 1 1
2a 4a
ax bx c a b
x
= ⋅
+ + ∆ + − 
 
. 
Đặt 
2
tan
2a 4a
b
x t
∆
+ = − . 
Bài 2: Tính các tính phân sau: 
1. 
1
1 2
0
2 3
4 4
x
I dx
x x
−
=
+ +∫ 2. 
5
2 2
4 5 6
x
I dx
x x
=
− +∫ 3. 
0
3 2
1 2 2
x
I dx
x x−
=
+ +∫ 4. 
1 3
4 2
0
2 5 4
2 1
x x
I dx
x x
− +
=
+ +∫ 
5. 
1
5 2
0
1
2
x
I dx
x x
+
=
− −∫ 6. 
1 2
6 2
0
2 4
6 10
x x
I dx
x x
+ +
=
+ +∫ 7. 
1
7 2
1
2 8
4 1
x
I dx
x x−
+
=
+ +∫ 
12-INTERGRAL. LEAD 
Bài toán 2: TÍCH PHÂ CỦA HÀM HỮU TỈ 
Dạng 2: 
( )
( )
b
a
P x
dx
Q x∫ 

 Nếu bậc P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì chia tử cho mẫu. 

 Phân tích Q(x) thành nhân tử rồi đưa về tích phân hàm phân thức có bậc mẫu 
bậc nhất hay bậc hai để tính. 

 Dùng đồng nhất thức. 
Bài 3: Tính các tính phân sau: 
1. 
1
1 3
0 1
dx
I
x
=
+∫ 2. 
2
2 4
1 2
dx
I
x x
=
+∫ 3. 
1 4 2
3 6
0
1
1
x x dx
I
x
+ +
=
+∫ 4. ( )
2
4 4
1 1
dx
I
x x
=
+∫ 
5. 
( )
1 2
5 3
0 1
x dx
I
x
=
+∫
 6. 
( )
( )
31
6 2
0
2 1
1
x
I dx
x
−
=
+∫
 7. 
( )
( )
22
7 22
0
1 2
4
x x
I dx
x
+
=
+
∫ 
Dạng 3: 
( )n
dx
x ax b+∫
β
α

 B1: Biến đổi đưa về dạng: 
( )
1n
n n
x dx
x ax b
−
+∫
β
α

 B2: Đặt nt ax b= + 
Bài 3: Tính các tính phân sau: 
1. 
( )
3 3
1 3
1 4 1
dx
I
x x
=
+∫ 2. ( )
2
2 22
1 1
dx
I
x x
=
+
∫ 3. ( )
2
3 32
1 2
dx
I
x x
=
+
∫ 
4. 
( )
3 2
3 23
1 2 1
dx
I
x x
=
+
∫ 5. ( )
2
5 210
1 1
dx
I
x x
=
+
∫ 6. ( )
4 2
6 4
1 5 4
dx
I
x x
=
+∫ 
Bài toán 3: TÍCH PHÂ CỦA HÀM LƯỢG GIÁC 
Dạng 1: sin cos , ,m nx xdx m n∈∫ ℤ 

 Nếu m lẻ và dương: Đặt sint x= 

 Nếu n lẻ và dương: Đặt cost x= 

 Nếu m, n cùng chẳn và dương. Hạ bậc. 

 Nếu m, n cùng chẳn và lẻ. Đặt tant x= hoặc cott x= . 
Bài 4: Tính các tính phân sau: 
1. 
4
1
6
cotI xdx= ∫
π
π
 2. 
4
2
0
sin
1 3cos
xdx
I
x
=
+∫
π
 3. 
1
3
0
1 4sin cosI x xdx= +∫ 
4. 
2
cos
4
3
cos
3
xI e x dx
 = + 
 ∫
π
π
π
 5. 
4
5
0
sin cos
sin cos
x x
I dx
x x
−
=
+∫
π
 6. 
2
3
6
0
sin sinI x xdx= −∫
π
12-INTERGRAL. LEAD 
Bài toán 3: TÍCH PHÂ CỦA HÀM LƯỢG GIÁC 
Bài 5: Tính các tính phân sau: 
1. 
4
1
6
cotI xdx= ∫
π
π
 2. 
4
2
0
sin
1 3cos
xdx
I
x
=
+∫
π
 3. 
1
3
0
1 4sin cosI x xdx= +∫ 
4. 
2
cos
4
3
cos
3
xI e x dx
 = + 
 ∫
π
π
π
 5. 
4
5
0
sin cos
sin cos
x x
I dx
x x
−
=
+∫
π
 6. 
2
3
6
0
sin sinI x xdx= −∫
π
7. 
26
7 2
0
1 tan
1 tan
x
I dx
x
+
=
−∫
π
 8. 
cot2
8 2
4
sin
xe
I dx
x
= ∫
π
π
 9. 
2
9 2
0
sin 2
1 cos
xdx
I
x
=
+∫
π
 10. 
4
10
0
sin cos
2 sin 2
x x
I dx
x
−
=
+∫
π
Bài 6: Tính các tính phân sau: 
1. 
23
1 6
4
sin
cos
x
I dx
x
= ∫
π
π
 2. 
34
2 3
0
sin
cos
x
I dx
x
= ∫
π
 3. 
33
3 4
6
cos
sin
x
I dx
x
= ∫
π
π
 4. 
4
4
0 cos
dx
I
x
= ∫
π
5. 
3
2 5
5
0
sin cosI x xdx= ∫
π
 6. 
3
3 2
6
0
sin cosI x xdx= ∫
π
 7. 
4
7 6
3
cos
dx
I
x
= ∫
π
π
 8. 
4
8
6
sin
dx
I
x
= ∫
π
π
Dạng 3: 
cos sin
dx
a x b x c+ +∫ 

 Đặt tan
2
x
t = . 

 Cần nhớ: 
2
2 2 2
2d 2 1
,sin ,cos
1 1 1
t t t
dx x x
t t t
−
= = =
+ + +
Dạng 4: cos sinax bxdx∫ 

 Sử dụng công thức: ( ) ( )1sin cos sin sin
2
A B A B A B=  + + −   . 
Dạng 5: 
2 2sin cos sin cos
dx
a x b x c x x+ +∫ 

 Hạ bậc và đặt tan
2
x
t = . 2 2
1 cos2 1 cos2
sin ,cos
2 2
x x
x x
− +
= = 

 Hoặc chia tử và mẫu cho 2cos x và đặt tant x= . 
Bài 7: Tính các tính phân sau: 
1. 
2
1
0 1 sin cos
dx
I
x x
=
+ +∫
π
 2. 
42
2 4 4
0
sin
sin cos
x
I dx
x x
=
+∫
π
 3. 
2
3
0 sin 2cos 2
dx
I
x x
=
+ +∫
π
4. 
4
4
0 3sin 2 cos2 3
dx
I
x x
=
+ +∫
π
 5. 
2
5
0
cos 2sin
3sin 4cos
x x
I dx
x x
+
=
+∫
π
 6. 
4
6 2 2
0 sin 4cos
dx
I
x x
=
−∫
π
7. 
4
7 2 2
0 sin 3cos 4sin cos
dx
I
x x x x
=
+ +∫
π
 8. 
4
8 2 2
0 4sin 9cos 12sin cos
dx
I
x x x x
=
+ +∫
π
9. 
4
9 2 2
0
sin cos
4sin cos
x xdx
I
x x
=
+
∫
π
. 
12-INTERGRAL. LEAD 
Bài toán 4: TÍCH PHÂ CỦA HÀM VÔ TỈ 
Dạng 1: , n
ax b
I R x dx
cx d
 +
=  
+ 
∫
β
α

 Đặt n
ax b
t
cx d
+
=
+
 . 

 Đưa về hàm hữu tỷ. 
Dạng 2: 
2
dx
I
ax bx c
=
+ +
∫
β
α

 Nếu a >0, ta có 
2
1 du
I
a u h
=
+
∫
β
α
 . 

 Nếu a < 0, ta có 
2 2
1 du
I
a m u
=
− −
∫
β
α
 . 
 Dạng 3: 2 2,I R x a x dx = −
 ∫
β
α

 Đặt cosx a t= . 
Dạng 4: 2 2,I R x a x dx = +
 ∫
β
α

 Đặt tanx a t= . 
Dạng 5: 2 2,I R x x a dx = −
 ∫
β
α

 Đặt 
cos
a
x
t
= . 
Dạng 6: ( ),I R x x k x dx = − ∫
β
α

 Đặt ( )2sin 0x k t k= > . 
Bài 8: Tính các tính phân sau: (a > 0) 
1. 
( )1 22 2
a
a
dx
I
x a−
=
+
∫ 2. 
2 2 2
2
2
a
a
x a dx
I
x
−
= ∫ 3. 
( )523
3 8
3
3
1 x
I dx
x
+
= ∫ 4. ( )
3
2
32
4
0
3I x dx= −∫ 
5. 
( )
1
2
5 22 2
0 1 1
dx
I
x x
=
− −
∫ 6. 
1
2
6
0
1I x dx= −∫ 7. 
1
7 2
0 1
dx
I
x
=
+∫ 8. 
1
2
8 2
0 1
dx
I
x
=
−
∫ 
9. 
1
2
9 2
0 1
dx
I
x x
=
+ +∫ 10. 
2
2
10
0
4I x dx= −∫ 11. 11 2 2
0
a
dx
I
x a
=
+∫ 12. 
1
12 2
0 4
dx
I
x
=
−
∫ 
13. 
1
13 4 2
0 1
xdx
I
x x
=
+ +
∫ 14. 
1
14 2
0 1
dx
I
x x
=
+
∫ 15. ( )
1
15 2
0 1 3 2
dx
I
x x x
=
+ + +
∫ . 
12-INTERGRAL. LEAD 
Bài toán 5: TÍCH PHÂ CỦA HÀM MŨ VÀ LOGARIT 
Dạng 1: ( )ln
b
a
dx
I f x
x
= ∫ 

 Đặt ln
dx
t x dt
x
= ⇒ = . 
Dạng 2: ( )
b
x x
a
I f e e dx= ∫ 

 Đặt x xt e dt e dx= ⇒ = . 
Bài 9: Tính các tính phân sau: 
1. 1
1
lne x
I dx
x
= ∫ 2. 2
1
1 lne x
I dx
x
+
= ∫ 3. 3 2
1 1 ln
e
dx
I
x x
=
−
∫ 4. ( )
3
2
4 ln ln ln
e
e
dx
I
x x x
= ∫ 
5. 
( )
3
5 2
0
tan
1 ln cos
xdx
I
x
=
−
∫
π
 6. 
( )
4
1
6 2cos ln 1
e
e
dx
I
x x−
=
+∫ 7. 
( ) 23
7
1
ln 1 lne x x
I dx
x
+
= ∫ 
8. 
1
8
0 1
x
dx
I
e
=
+
∫ 9. 
2ln 2
9
ln 2 1
x
dx
I
e
=
−
∫ 10. 
ln 3
10
0
x x
dx
I
e e−
=
+∫ 11. 
1
11
0
x
x x
e dx
I
e e−
=
+
∫ 
12. 
1
12
0
x x
x x
e e
I dx
e e
−
−
−
=
+∫ 
Bài toán 6: TÍCH PHÂ TỪG PHÂ 
Thứ tự ưu tiên đặt u như sau: ln sin ,cos xx x x e→ → →ña thöùc 

 d d
b b
b
a
a a
u v uv v u= −∫ ∫ . 
Bài 10: Tính các tính phân sau: 
1. 
ln 2
1
0
x
I xe dx
−= ∫ 2. 
2
2
2
4
sinI x xdx= ∫
π
π
 3. 
4
2
3
0
cosI x xdx= ∫
π
 4. 
4
4
0
sin cos
2 2
x x
I x x dx
  =   
  ∫
π
Bài 11: Tính các tính phân sau: 
1. ( )
3
1
2
ln 1I x dx= +∫ 2. 22
1
ln
e
I x xdx= ∫ 3. 
2
3
0
sinxI e xdx= ∫
π
 4. 2 24
0
sinxI e xdx= ∫
π
5. 
1
5
0
x
I xe dx= ∫ 6. ( )
1
2
6
0
2 xI x x e dx= +∫ 
Bài 12: Tính các tính phân sau: 
1. ( )
3
1
4
cos 2 ln tanI x x dx= ∫
π
π
 2. 
( )3
2 2
6
ln sin
sin
x
I dx
x
= ∫
π
π
 3. 
4
2
3
0
tanI x xdx= ∫
π
 4. 
2
5
4
0
sinI xdx= ∫
π
5. ( )
2
6
0
cos ln 1 cosI x x dx= +∫
π
 6. 
( )
1 7
6 24
0 1
x
I dx
x
=
+
∫ 7. 
1 7
7
0 1 sin 2
x
I dx
x
=
+∫ 8. ( )
3 7
8 3
2
2 1
1
x
I dx
x
+
=
−∫
12-INTERGRAL. LEAD 
Bài toán 7: MỘT SỐ DẠG ĐỔI BIẾ ĐẶC BIỆT 
Bài 13: a) Chứng minh rằng nếu f là hàm số liên tục trên [0;1] thì ( ) ( )
2 2
0 0
sin cosf x dx f x dx=∫ ∫
π π
. 
b) Tính các tính phân sau: 
2
0
sin
sin cos
n
n n
x
I dx
x x
=
+∫
π
 và ( )
2
*
0
cos
sin cos
n
n n
x
J dx n
x x
= ∈
+∫ ℕ
π
. 
Bài 14: a) Chứng minh rằng nếu f là hàm số liên tục trên [0;1] thì ( ) ( )
0 0
sin sin
2
xf x dx f x dx=∫ ∫
π ππ
. 
b) Tính tính phân sau: 
2
0
sin
1 cos
x x
I dx
x
=
+∫
π
. 
Bài 15: a) Chứng minh rằng nếu f là hàm số liên tục trên [a;b] thì ( ) ( )
0
b
a
f x dx f a b x dx= + −∫ ∫
π
. 
b) Tính tính phân sau: ( )
2
4
ln 1 cotI x dx= +∫
π
π
. 
Bài toán 8: PHƯƠG PHÁP TÍCH PHÂ TRUY HỒI 

 Cho ( ),
b
n
a
I f n x dx= ∫ với n∈ℕ 
Để tính nI theo 1nI − hoặc 2nI − ta thường dùng công thức tích phân từng phần. 

 Đặt u và dv sao cho: ( )d 1, d
b b
a a
v u f n x x= −∫ ∫ hoặc ( )d 2, d
b b
a a
v u f n x x= −∫ ∫ 
Bài 16: Cho 
2
0
sinnnI xdx= ∫
π
 (n = 0, 1, 2, ) 
1. Chứng minh rằng: ( ) 21n nnI n I −= − với 2n ≥ . 
2. Suy ra cách tính nI . 
3. Chứng minh tích số 2.n nnI I − không phụ thuộc vào n. 
Bài 17: Cho 
2
0
cosnnI xdx= ∫
π
 (n = 0, 1, 2, ) 
1. Chứng minh rằng: 2
1
2n n
n
I I
n
+
+
=
+
. 2. Suy ra cách tính 5I . 
Bài 18: Cho 
1
0
1nnI x xdx= −∫ (n = 0, 1, 2, ) 
1. Tính nI theo 1nI − . 2. Tính 0I . 3. Tính nI 
Bài 19: Cho 
4
0
tannnI xdx= ∫
π
 (n = 0, 1, 2, ) 
1. Tính 2n nI I −+ . 2. Lập công thức quy nạp theo nI . 
Bài 20: Cho ( )
3
0
3
n x
nI x e dx= −∫ (n =