Chuyên đề Thể tích - Phần 1: Khối đa diện - Vũ Ngọc Vinh

ường thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE (AHK)
Vì OA = OC; OE//CN OE = CN
Tam giác vuông SAD có ⇒ AK = 
Dễ thấy AH =
∆AKH cân tại A
Dễ thấy ∆SBD có mà SK = 
SD = a
⇒
HK = BD = 
OF = SO ⇒
∆SAC có : OA = OC
⇒ ⇒OE =SN = a
 	S∆AHK =KH. = 
 	 ⇒ V = 
* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK như sau:
Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.Ta có:
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a) , O(, , 0)
∆SKA ∆ SAD ⇒ ⇒ SK=
⇒K(0, , )
∆ABS có ⇒ SH=
⇒H(,0,)
Ta có 
 [] =()
 ⇒ VOAHK=|[].|=
Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a, 
SA = a, SA (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AD và SC. {I} = BM ∩ AC. Tính thể tích hình chóp ANIB.
Giải
SA (ABCD)
Gọi {O} = AC ∩ BD
Trong ∆SAC có ON // SA 
⇒ON (ABCD) ⇒ NO (AIB)
Ta có NO = 
Tính S∆AIB = ?
ABD só I là trọng tâm 
⇒S∆ABI =S∆ABO = S⋄ABCD = a.a = 
⇒ SANIB =NO.S∆AIB = 
Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 
(SAD) (ABCD), ∆SAD đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. 
Tính thể tích hình chóp CMNP
Giải
- Gọi E là trung điểm AD. (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD
	(SAD) (ABCD)
⇒SE (ABCD)
- Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) ⇒ MF // SE. Dễ thấy F ∈ EB và F là trung điểm EB
Ta có MF = SE = 
S∆CNP = 
VCMNP = S∆NCP.MF = 
Nhận xét: có thể dùng phương pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O .
0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES
Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều cao bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B. sao cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OO’AB
Giải
Kẻ đường sinh AA’. Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H là hình chiếu của B trên 
A’D.
Ta có BH A’D
 BH A’A
 	⇒ BH (AOO’A’)
 	⇒BH là đường cao của tứ diện BAOO’
 	SAOO’ =, A’B =
∆A’BD vuông ở B ⇒ BD=a
∆O’BD đều ⇒ BH= ⇒VBAOO’ =SAOO’ = 
Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; 
SA (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o. Điểm M thuộc cạnh SA, AM = .
 (BCM) ∩ SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMN
Giải
Ta có SAB=600
∆SAB vuông tại A có AM = , AB = a ⇒ ABM = 300
Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp S.BCMN
ta có SH=SB sin 300 = a
BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒ ⇒MN = 
⇒SBCMN =
⇒VSBCMN = SBCMN = 
Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90o; 
AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lượt là trung điểm SA và SD. Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM
Giải
Ta có BC//AD ,BC= ,MN//AD , MN= ⇒BC = MN , BC// MN (1)
BC ⊥AB
BC ⊥SA
⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2)
Từ (1) và (2) ta có BCNM là hình chữ nhật
Kẻ SH ⊥BM thỡ SH⊥ (BCNM)
⇒Vsbcnm=SBCNM.SH=BC.NM.SH=
Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông. AB = AC = a; 
AA1 = a. M là trung điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1
Hướng dẫn:
+Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = 
+Có thể dùng cả phương pháp toạ độ
Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1. 
a.Tính thể tích tứ diện theo x.	
b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD
c. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất
Giải
a. 
Cách 1:
Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ là trung điểm AB 
S∆ABC = 
HC = R∆ABC = 
⇒Tam giác vuông HCD có HD2 = CD2- DC2 = 
⇒ HD = ⇒VABCD = 
Cách 2:
Gọi M là trung điểm CD ⇒ CD ABM
Vì ∆ACD và ∆BCD đều ⇒ AM = BM = 
VABCD = 2VCBMA = 2.CM.S∆ABC = 
S∆ABM = MC’.AB = 
VABCD = 
b)
SACD= ⇒ d(B,(ACD))==
c)
VABCD =
Dấu “=” xảy ra ⇔ x2 = 3-x3 ⇔ x = và thể tích lớn nhất là 
Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ 
SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất.
GIảI
Ta có BM SH (gt)
BM SA (Vì SA ( ABCD)
⇒BM AH
SABM = SABCD =a2
Mà SABM =AH.BM ⇒ AH=
∆SAH vuông ở A có SH=
∆BAH vuông ở H có BH=
SABH =AH.BH =
VSABH =
Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D. 
Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB. Đặt góc ACM bằng 
Hạ SH vuông góc với CM
a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC
b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI.
Đáp số
a)Vmax= b)VSAKI = 
Có thể tính thể tích khối đa diện nhờ việc chia thành
các khối nhỏ hoặc bổ sung thêm
Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD =a, AC = BD = b, AD = BC = c
Tính thể tích ABCD
Giải
+Dựng ∆PQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm PQ, QR, PR.
+S∆DCR = S∆BCQ = S∆PDB =S∆PQR
⇒ S∆BCD =S∆PQR
AD = BC = PR
D là trung điểm PR
⇒AR AP
Tương tự AP b AQ, AQ b AR
VAPQR =S∆PQRAR
Bài 26: VABCD = AD.BC.MN.Sin α. Trong đó ABCD là tứ diện có MN là độ dài của đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối AD và CB, α =(AD, BC)
Hướng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tứ diện này.
Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện đều bằng α. AB = a. Tính thể tích hình chóp SABC
Giải
-Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB là các tâm giác cân tại S và C
-Gọi E là trung điểm AB 	⇒ 	AB b SE
AB b CE
⇒AB b (SCE)
⇒VSABC = VASEC + VBSEC = S∆SEC.(AE+BE) = S∆SEC.AB
Tính S∆SEC = ?
∆SEC cân tại E vì ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g))
Gọi F là trung điểm SC ⇒ EF b SC
∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g))
FS = FC
⇒FBC = 
Tam giác vuông EBC có CE = 
Tam giác vuông FBC có BC = 
Sin = ⇒ FC = BC sin = 
Tam giác vuông EFC có 
EF2 = EC2 - FC2 = 
S∆SEC = EF.SC = EF.FC = 
= 
VSABC = 
một số bài tập có thể giải bằng PP toạ độ vỚi việc chọn hệ toạ độ dễ dàng
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC cắt BD tại O SO (ABCD), SA = 2. Gọi M là trung điểm SC, (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Giải
Cách 1:
Ta có AB // CD (gt)
(ABM) (SCD) = MN
⇒MN // CD ⇒ N là trung điểm SD
VSABCD = SABCD.SO = AC.BD.SO = 
 ⇒ VSABN = SSABD = = 2
 ⇒ VSBMN = SSBCD = = 
⇒VSABMN = VSABN + VSBMN = 3
Cách 2: Sử dụng phương pháp toạ độ
Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS
Dễ thấy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; )
Do (ABM) ∩ (SCD) = MN
AB // CD
⇒MN//CD
⇒N là trung điểm SD
⇒N(0; -; )
 = (2; 0; -2); = (-1; 0; -); = (0; 1; -2); = (0; -; -)
[, ] = (0; 4; 0)
VSABM = [, ].SB =
VSAMN = [, ].SN =
VSABMN = VSABM + VSAMN = 
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = b , AA ’= c
a)Tính thể tích A’C’BD
b)Gọi M là trung điểm CC’Tính thể tích MA’BD.
giải
a) Cách 1:
Thể tích của khối hộp ABCDA’B’C’D’ là V = abc
VC’CDB = V 
Tương tự ta có: VAA’BD = VBA’B’ C’ = VD’A’DC’ = V
⇒VA’C’DB = V - 4. V = V= abc
Cách 2: dùng phương pháp toạ độ
Chọn hệ toạ độ Axyz như hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c), A’(0; 0; 0)
 = (a; -b; 0); = (a; 0; c); = (0; -b;c); 
[,] = (-bc; -ac; ab)
VA’C’DB = |[,].| = abc
b) Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.ta có A(0;0;0) , B(a;0;0) , D(0;B;0) , A’(0;0;c) , C(a;b;0) , C’(a;b;c)
M là trung điểm CC’ nên M(a;b; )
 , , 
[]=
VBDA’M = |[,].| = abc
2) Về thể tích khối lăng trụ
Ta thường áp dụng công thức tính thể tích đã biết hoặc chia nhỏ khối cần tính hoặc bổ sung thêm
Bài 1 Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và A’A = A’B = A’C. Cạnh AA’ tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’.
Giải
Gọi O là tâm ABC⇒ OA = OB = OC
A’A = A’B = A’C (gt)
⇒A’O⊥ (ABC)
(AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 600
A’O ⊥OA (vì A’O⊥ (ABC) 
Trong tam giác vuông A’OA có OA’ = OA tan 600 = a
Vì ∆ABC đều cạnh a nên S∆ABC = ⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.A’O = 
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, C = 60o. (BC’,(AA’C’C)) = 30o. Tính thể tích của khối lăng trụ
Giải
Dễ thấy AB (ACC’A’) nên (BC’, (ACC’ A’)) = AC’B = 300
∆ABC vuông tại A có =600, AC=b nên BC=2b và AB=b.
vì AB (ACC’A’) nên AB b AC’
∆ABC’ vuông tại A có AC’ = 
∆ACC’ vuông tại C có (CC’)2 = AC’2- AC2 = 9b2- b2 = 8b2
⇒CC’ = 2b =AA’. S∆ABC = CA.CBsin6oo = 
⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.AA’ =b3 
Bài 3
Dạng 2: tỉ số thể tích
A/. Phương pháp: Giả sử mặt phẳng α chia khối đa diện thành hai khối có thể tích là V1 và V2. Để tính k = ta có thể:
-Tính trực tiếp V1, V2 bằng công thức ⇒ k
-Tính V2 (hoặc V2) bằng công thức tính thể tích của cả khối ⇒ Thể tích V2 (hoặc V1) ⇒ k
Ta có các kết quả sau:
+Hai khối chóp có cùng diện tích đáy là tỉ số thể tích bằng tỉ số hai đường cao tương ứng.
+Hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai diện tích đáy.
+
(chỉ đúng cho khối chóp tam giác (tứ diện))
B. Các bài tập
Bài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC. mặt phẳng (P) chứa AM và //BD chia hình chóp thành hai phân. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Giải
-Gọi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM
⇒ I ∈ (P)
 BD ⊂ (SBD)
 BD // (P) 
⇒ (P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD
 (vì I là trọng tâm ∆SAC)
mà VSABD = VSCBD = VSABCD
Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA (ABCD). (SC, (SAB)) = α. Mắp phẳng (P) qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Giải
Kí hiệu K1 = VSMAQN
V2 = V - V1
Gọi O = AC ∩ BD
∆SAC kẻ AN SC
E = SO ∩ AN ⇒ E ∈ (P)
vì (P) SC
mà BD SC
 BD AC
 BD SA
 BD (SAC) 
BD ⊂ (SAC)
⇒ (P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BD
CB AB (gt)
CB SA (vì SA (ABCD))
⇒CB (SAB) ⇒ (SC, (SAB)) = CSB = α
V1 = 2VSANQ, V = 2VSACB
Tam giác vuông SAC: SA2 = SC.SN ⇒ SN = 
Tam giác vuông SAB: SA2 = SB.SQ ⇒ SQ = 
BC AB (gt)
BC SA (vì SA (ABCD))
⇒BC SB
Tam giác vuông SBC: cos α = ⇒ SC = 
Tam giác vuông SAB: SA2 = SB2 - AB2 = SB2 - BC2 = SB2 - SB2tanα
Bài 3: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đường cao h. Mặt phẳng qua AB (SDC) chia chóp làm hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh là a. M là trung điểm CD, N là trung điểm A’D’. Tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) chia hình lập phương.
Giải
Gợi ý:
Gọi V1, V2 tương ứng là thể tích các phần trên và phần dưới thiết diện ta có:
V1 = VB’ECF - (VEPD’N + VFMQC)
Để ý: ED’ = a, FC =, PD’ =, CQ = 
Tính được V1 =