Chuyên đề Số phức luyện thi Đại học - Vũ Ngọc Vinh

 Argz .mỗi giá trị argument 
trùng với véctơ bán kính OM của điểm M 
Góc được giới hạn trong khoảng :  20 hoặc  
Ví dụ: 
Tìm argument của số phức 
i31z  
Giải : 
 3b,1a  ta tìm góc  
3
2
3
r
bsin
2
1
r
acos









 vậy Argz = 
3
 
3. Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác: 
 





21
21
21 rr
2k
zz
4.Phép nhân ở dạng lượng giác: 
Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại. 
    i.sincosr.rz.z 21212121  
Ví dụ: 
Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : 
  i31i1z  
Giải : 
  




 



 

.
3
sini
3
cos2i.
4
sin
4
cos2
i31i1z
2 2 cos sin 2 2 cos sin
4 3 4 3 12 12
i i                     
6. Phép chia ở dạng lượng giác: 
Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra. 
 2
1
2
1
r
r
z
z      i.sincos 2121  
 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 5 
Ví dụ: 
Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : 
i3
i122z


Giải : 




 




 
















6
7sini
6
7cos2
6
5sini
6
5cos
3
sini
3
cos2
i
2
1
2
32
i
2
3
2
14
i3
i322
i3
i122z
PHẦN II. 
BỔ SUNG KIẾN THỨC – VÍ DỤ 
A. DẠNG MŨ CỦA SỐ PHỨC 
1. Định lý Euler: 
 
 sinicosez i 
Ví dụ: 
 Tìm dạng mũ của số phức sau. i3z  
Giải : 
5.
63 1 5 53 2 2 cos sin 2
2 2 6 6
i
z i i i e
                   
Ví dụ: 
 Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức 
 i2ez 
Giải : 
  2 2 2 cos sini iz e e e e i       
Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn. 
B. DẠNG LUỸ THỪA CỦA SỐ PHỨC 
1. 
    
  ......ibiab3bia3abiaz
abi2babiabiaz.zz
biaz
33222333
222



 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 6 
 
0
0 0 1 1 1 0 1 1 1 0............
n
nn k n k k
n
k
n n n n
n n n n
z a bi C a b
C a b C a b C a b C a b A Bi


 
  
      
 
Ví dụ: 
 Tính 5z của i2z  
Giải : 
5
5
5
0
1 5 0 1 4 1 2 3 2 3 2 3 4 1 4 1 0 5
5 5 5 5 5 5
1
2 2
2 2 2 2 2 2
32 80 80 40 10 38 41
k k k
k
z i C i
C i C i C i C i C i C i
i i i i


  
     
        

2.Lũy thừa bậc n của số phức i: 
1i.ii
ii.ii
1i
ii
224
23
2




 1i.ii
ii.ii
1i.ii
ii.ii
448
347
246
45




vậy ta có qui luật sau đây . 
Giả sử n là số tự nhiên, khi đó rn ii  , với r là phần dư của n chia cho 4. 
Ví dụ: 
 T ính z c ủa 403iz  
Giải : 
 Ta . 403 = 100.4 +3 
 1iiiz 334.100403   
về bài toán dễ ta có thể làm theo cách này nhưng bài toán phức tạp ta nhờ vào công thức 
De Moivre . 
3.De Moivre : 
Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó ta: 
      nsinincosrsinicosr n
n
Ví dụ: 
 Sử dụng công thức de Moivre’s, tính:  
2525 i1z  
Giải : 




 




 
4
sini
4
cos2
i
2
1
2
12i1z
vậy . 
    



 
4
25sini
4
25cos2i1z
252525
 =




 
4
sini
4
cos24096
4.Định nghĩa căn bậc n của số phức: 
Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho wn = z, trong đó n là số tự nhiên 
 sinicosbiaz 
 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 7 
 




 

n
2ksini
n
2kcosrz
sinicosrz
n
k
nn
; với  1n,....3,2,1k  
Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. 
5.Số nghiệm của một đa thức: 
 Gauss chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm. 
Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. 
Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây . 
Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là một 
nghiệm phức. 
Ví dụ: 
1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận i3z1  và i5z2  
Giải : 
Vì i3z1  và i5z2  là hai nghiệm nên i3z1  và i5z2  cũng hai 
nghiệm. vậy không tồn tại đa thức bậc 3 thỏa ycbt 
PHẦN III. 
DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 
A. CÁC DẠNG TOÁN 
z x yi 
3 18 26z i 
3 2
3
2 3
3 18
18 26
3 26
x xy
x yi i
x y y
      
 
2 3 3 218 3 26 3x y y x xy   
0y tx x  1
3
t   3z i 
1 2z z 1 2 1 21 3z z z z   
1 2z z
1 1 1 2 2 2z a b i z a b i   
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
3
a b a b
a a b b
    

   
 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 8 
1 1 2 22 1a b a b  
2 2
1 2 1 2 1 21 1a a b b z z      
2 8 1 63 16 0z i z i    
2 216 1 63 16 63 16 1 8i i i i         
1 5 12z i  2 3 4z i 
33 5 1 2 9 14x i y i i    
33 5 1 2 3 5 11 2 3 11 5 2x i y i x i y i x y x y i           
3 11 9
5 2 14
x y
x y
 
  
172
61
x  3
61
y  
2z z
z a bi a b R  
2z z
2 2
2
2
a b aa bi a bi
ab b
       
 
1 30 0 1 0
2 2
a b
 
     
1 30 1
2 2
z z z i    
2 2
2 2
3 3
3 0
x yx
x y
x y R
x yy
x y
        
2 2 2 2 2 2
3 3 33 3x y x y i x yi i x yix yi x yi
x y x y x y
           
  
z x yi  z C : 2
3 33 3i z iz z
zz
     
2z i  1z i 
2 1 1 1x y   .
 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 9 
3 4z z i   1z i
z i
 

z x yi x y   3 4z z i  
2 2 2 23 4 6 8 25x y x y x y        
6 8 25x y 
z x yi x y R  
1 1 1z i z i z i x y i x y i
z i
           

2 2 2 21 1 0x y x y y       
1 3 2i z    1 2z  
z a bi a b R   x yi x y   
2 21 2 1 4z a b     
1 3 2i z   
3 2
1 3 2
3
x a b
x yi i a bi
y a b
          
 
3 1 3
3 3 1
x a b
y a b
     
   
2 2 2 23 3 4 1 16x y a b        
2 23 3 16x y    3 3I
11
2
z   2 1 1z  
 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 10 
11
2
z   2 1 1z   z a bi a b R  
2 2 2 2
2 2 2 2 22 2 2 2 2
11 2 4 1 0 12
2 0 21 4 1
a b a b a
a b a ba b a b
         
       
2 2 2 22 1 0a b a   
0z  3 3
1 2z
z
 
1 2z
z
 
1 2z z 1 2 1 2z z z z  
3
3
3
1 1 13z z z
z zz
             
3
3
3
1 1 1 13 2 3z z z z
z z zz
       
1a z
z
  3 23 2 0 2 1 0 2a a a a a        
2z 
1
z
i
3
4

  z 1 i
4

1
z
i 4

3 2 2
4 4 2
k l l           
2
2 2
z cos i     
10 5
10
1 3
1 3
i iA
i
 
 
 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 11 
7 71 2
4 4
i cos i      
3 2
6 6
i cos i      
4 41 3 2
3 3
i cos i       
5 5 1A cos i     
0 2 4 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009S C C C C C     
 
 
2009
2009 0 2 4 2008
2009 2009 2009 2009 2009
0
1 3 5 2009
2009 2009 2009 2009
1 k k
k
i C i C C C C
C C C C i

       
    

2009 2009 1004 10042009 20091 2 2 2
4 4
i cos i i        
10042S 
1 ni
0 2 4
1 3 5
2
4
2
4
n
n n n
n
n n n
nC C C cos
n N
nC C C
          
B. BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI 
Bài 1) Tính trong C 
a) 9 + 5i +(7-2i) b) (2+6i)(5 )i8 c )  
2i51 i2
i21)d




tani1
tani1)e
Giải : 
a) 9 + 5i +(7-2i) = 12 +3i 
b) (2+6i)(5 )i8 = i1458i48i30i1610
2  
c)   i1024i25i101i51 2
2  
  
   3
i5
3
i2i4i2
i2i2
i2i21
i2
i21)d
2





 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 12 
  
  
2
2 2
2
1 tan 1 tan1 tan)
1 tan 1 tan 1 tan
1 2 tan tan cos 2 sin cos sin cos 2 sin 2
1 tan
i iie
i i i
i i i
 
  
       

  
  
      

 Bài 2) Giải phương trình trong C : 
a) 02x2x
2  
b) 07x5x
2  
Giải : 
a) 02x2x
2  ; 1 
11x 2,1  . Phương trình có hai nghiệm phức : i1x,i1x 21  
b) 07x5x
2  
 3 
 2
35x 2,1

 . Phương trình có hai nghiệm phức 
 2
i3
2
5x,
2
i3
2
5x 21 
Bài 3) Tìm nghiệm thực của phương trình : 
a) yi7i6x  
b)     i174yi52xi1  
c) 12        i617i23yxi1ix2  
Giải : 
a) 




6y
7x
b)     i174yi52xi1  
  
2 5 4 17
2 4 2
2 5 4 17
5 17 3
x xi y yi i
x y x
x y x y i i
x y y
     
               
a) 12
       



 
12
i617i23yxi1ix2
      22 2 3 2 3 2 1 5 3 1 2x xi i i x xi y yi x y y i             
 
















4
1y
3
1x
12
6y21
12
17y3x51
Bài 4) Giải phương trình trong C : 
 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 13 
a)     0i1xi1x 2  
b)   01ixi21x 2  
Giải : 
a)     0i1xi1x 2  
    21 4 1 4 2x i i i       
 Gọi   i24bia
2  i24abi2ba
22  
2
2 22 2
2
2 2
5 2
5 2
5 244 5 2
2 2 2 5 5 21
5 2
a
a
ba ba b b
ab a b aab
b
                                    
Vậy phương trình có nghiệm . 
 
2
25i25i1
x 2,1


 

b)   01ixi21x 2  
   
15i4
1i4i21
2
2
x


Vậy phương trình có nghiệm : ix,i1x 21  
Bài 5) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận i3z1  và i2z2  làm nghiệm . 
Giải : 
 Đa thức cần tìm là . 
    
    
  5z4z9z
)i2(z)i2(zi3zi3z
zzzzzzzz)z(f
22
2211



Bài 6)Tìm tất cả các nghiệm của 45z36z14z4z)z(P
234  biết i2z  là một 
nghiệm . 
Giải : 
Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i là một 
nghiệm. 
P(z) có thể phân tích thành .    5z4z)i2(ziz2(z 2  
P(z) có thể tách thành :   9z5z4z)z(P 22  
Mà   i3zi3z9z2  
Vậy phương trình có 4 nghiệm : i3,i3,i2,i2  
Bài 7) giải phương trình sau trong C : 0iz
9  
 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 14 
Giải : 9 9 9
2 2
2 20 cos sin cos sin
2 2 9 9k
k k
z i z i i z i
            