Chuyên đề Số chính phương

 lµ sè nguyªn tè.
4. Ph©n tÝch mét sè ra thõa sè nguyªn tè:
* Ph©n tÝch mét sè tù nhiªn lín h¬n 1 ra thõa sè nguyªn tè lµ viÕt sè ®ã d­íi d¹ng mét tÝch c¸c thõa sè nguyªn tè.
- D¹ng ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè cña mçi sè nguyªn tè lµ chÝnh sè ®ã.
- Mäi hîp sè ®Òu ph©n tÝch ®­îc ra thõa sè nguyªn tè.
5. Sè c¸c ­íc sè vµ tæng c¸c ­íc sè cña mét sè:
6. Sè nguyªn tè cïng nhau: 
* Hai sè nguyªn tè cïng nhau lµ hai sè cã ¦CLN b»ng 1.
	Hai sè a vµ b nguyªn tè cïng nhau ¦CLN(a, b) = 1.
	C¸c sè a, b, c nguyªn tè cïng nhau ¦CLN(a, b, c) = 1.
	C¸c sè a, b, c ®«i mét nguyªn tè cïng nhau ¦CLN(a, b) = ¦CLN(b, c) = ¦CLN(c, a) =1.
II. C¸c vÝ dô:
VD1: Ta biÕt r»ng cã 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100. Tæng cña 25 sè nguyªn tè lµ sè ch½n hay sè lÎ.
HD:
Trong 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100 cã chøa mét sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2, cßn 24 sè nguyªn tè cßn l¹i lµ sè lÎ. Do ®ã tæng cña 25 sè nguyªn tè lµ sè ch½n.
VD2: Tæng cña 3 sè nguyªn tè b»ng 1012. T×m sè nguyªn tè nhá nhÊt trong ba sè nguyªn tè ®ã.
HD:
V× tæng cña 3 sè nguyªn tè b»ng 1012, nªn trong 3 sè nguyªn tè ®ã tån t¹i Ýt nhÊt mét sè nguyªn tè ch½n. Mµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2 vµ lµ sè nguyªn tè nhá nhÊt. VËy sè nguyªn tè nhá nhÊt trong 3 sè nguyªn tè ®ã lµ 2.
VD3: Tæng cña 2 sè nguyªn tè cã thÓ b»ng 2003 hay kh«ng? V× sao?
HD:
V× tæng cña 2 sè nguyªn tè b»ng 2003, nªn trong 2 sè nguyªn tè ®ã tån t¹i 1 sè nguyªn tè ch½n. Mµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2. Do ®ã sè nguyªn tè cßn l¹i lµ 2001. Do 2001 chia hÕt cho 3 vµ 2001 > 3. Suy ra 2001 kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.
VD4: T×m sè nguyªn tè p, sao cho p + 2 vµ p + 4 còng lµ c¸c sè nguyªn tè.
HD:
Gi¶ sö p lµ sè nguyªn tè.
NÕu p = 2 th× p + 2 = 4 vµ p + 4 = 6 ®Òu kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.
NÕu p 3 th× sè nguyªn tè p cã 1 trong 3 d¹ng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 víi k N*.
+) NÕu p = 3k p = 3 p + 2 = 5 vµ p + 4 = 7 ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè.
+) NÕu p = 3k +1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 vµ p + 2 > 3. Do ®ã 
p + 2 lµ hîp sè.
+) NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 vµ p + 4 > 3. Do ®ã 
p + 4 lµ hîp sè.
VËy víi p = 3 th× p + 2 vµ p + 4 còng lµ c¸c sè nguyªn tè.
VD5: Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng p + 8 lµ hîp sè.
HD:
V× p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3, nªn sè nguyªn tè p cã 1 trong 2 d¹ng: 3k + 1, 3k + 2 víi k N*.
- NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 vµ p + 4 > 3. Do ®ã 
p + 4 lµ hîp sè ( Tr¸i víi ®Ò bµi p + 4 lµ sè nguyªn tè).
- NÕu p = 3k + 1 th× p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) p + 8 3 vµ p + 8 > 3. Do ®ã 
p + 8 lµ hîp sè.
VËy sè nguyªn tè p cã d¹ng: p = 3k + 1 th× p + 8 lµ hîp sè.
VD6: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4n + 1 hoÆc 4n – 1.
HD:
Mçi sè tù nhiªn n khi chia cho 4 cã thÓ cã 1 trong c¸c sè d­: 0; 1; 2; 3. Do ®ã mäi sè tù nhiªn n ®Òu cã thÓ viÕt ®­îc d­íi 1 trong 4 d¹ng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3
 víi k N*.
NÕu n = 4k n4 n lµ hîp sè.
NÕu n = 4k + 2 n2 n lµ hîp sè.
VËy mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4k + 1 hoÆc 4k – 1. Hay mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4n + 1 hoÆc 4n – 1 víi n N*.
VD7: T×m ssã nguyªn tè, biÕt r»ng sè ®ã b»ng tæng cña hai sè nguyªn tè vµ b»ng hiÖu cña hai sè nguyªn tè.
HD:
VD8: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: x2 – 6y2 = 1.
HD:
VD9: Cho p vµ p + 2 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng p + 16.
HD:
V× p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3, nªn sè nguyªn tè p cã 1 trong 2 d¹ng: 3k + 1, 3k + 2 víi k N*.
- NÕu p = 3k + 1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 vµ p + 2 > 3. Do ®ã 
p + 2 lµ hîp sè ( Tr¸i víi ®Ò bµi p + 2 lµ sè nguyªn tè).
- NÕu p = 3k + 2 th× p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1). 
Do p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3 p lÎ k lÎ k + 1 ch½n k + 12 (2)
Tõ (1) vµ (2) p + 16.
II. Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè:
p + 2 vµ p + 10.
p + 10 vµ p + 20.
p + 10 vµ p + 14.
p + 14 vµ p + 20.
p + 2vµ p + 8.
p + 2 vµ p + 14.
p + 4 vµ p + 10.
p + 8 vµ p + 10.
Bµi 2: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè:
p + 2, p + 8, p + 12, p + 14.
p + 2, p + 6, p + 8, p + 14.
p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
p + 6, p + 12, p + 18, p + 24.
p + 18, p + 24, p + 26, p + 32.
p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16.
Bµi 3:
Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: p + 8 lµ hîp sè.
Cho p vµ 2p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 4p + 1 lµ hîp sè.
Cho p vµ 10p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 5p + 1 lµ hîp sè.
Cho p vµ p + 8 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: p + 4 lµ hîp sè.
Cho p vµ 4p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 2p + 1 lµ hîp sè.
Cho p vµ 5p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 10p + 1 lµ hîp sè.
Cho p vµ 8p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p - 1 lµ hîp sè.
Cho p vµ 8p - 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p + 1 lµ hîp sè.
Cho p vµ 8p2 - 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p2 + 1 lµ hîp sè.
Cho p vµ 8p2 + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p2 - 1 lµ hîp sè.
Bµi 4: Chøng minh r»ng:
NÕu p vµ q lµ hai sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× p2 – q2 24.
NÕu a, a + k, a + 2k (a, k N*) lµ c¸c sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× k 6.
Bµi 5: 
Mét sè nguyªn tè chia cho 42 cã sè d­ r lµ hîp sè. T×m sè d­ r.
Mét sè nguyªn tè chia cho 30 cã sè d­ r. T×m sè d­ r biÕt r»ng r kh«ng lµ sè nguyªn tè.
Bµi 6: Hai sè nguyªn tè gäi lµ sinh ®«i nÕu chóng lµ hai sè nguyªn tè lÎ liªn tiÕp. Chøng minh r»ng mét sè tù nhiªn lín h¬n 3 n»m gi÷a hai sè nguyªn tè sinh ®«i th× chia hÕt cho 6.
Bµi 7: Cho 3 sè nguyªn tè lín h¬n 3, trong ®ã sè sau lín h¬n sè tr­íc lµ d ®¬n vÞ. Chøng minh r»ng d chia hÕt cho 6.
Bµi 8: T×m sè nguyªn tè cã ba ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu viÕt sè ®ã theo thø tù ng­îc l¹i th× ta ®­îc mét sè lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn.
Bµi 9: T×m sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè, ch÷ sè hµng ngh×n b»ng ch÷ sè hµng ®¬n vÞ, ch÷ sè hµng tr¨m b»ng ch÷ sè hµng chôc vµ sè ®ã viÕt ®­îc d­íi d¹ng tÝch cña 3 sè nguyªn tè liªn tiÕp.
Bµi 10: T×m 3 sè nguyªn tè lÎ liªn tiÕp ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè.
Bµi 11: T×m 3 sè nguyªn tè liªn tiÕp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 còng lµ sè nguyªn tè.
Bµi 12: T×m tÊt c¶ c¸c bé ba sè nguyªn tè a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a.
Bµi 13: T×m 3 sè nguyªn tè p, q, r sao cho pq + qp = r.
Bµi 14: T×m c¸c sè nguyªn tè x, y, z tho¶ m·n xy + 1 = z.
Bµi 15: T×m sè nguyªn tè 
Bài 16: Cho c¸c sè p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) lµ c¸c sè nguyªn tè. Chøng minh r»ng 3 sè p, q, r cã Ýt nhÊt hai sè b»ng nhau.
Bµi 17: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 
x2 – 12y2 = 1.
3x2 + 1 = 19y2.
5x2 – 11y2 = 1.
7x2 – 3y2 = 1.
13x2 – y2 = 3.
x2 = 8y + 1.
Bµi 18: T×m 3 sè nguyªn tè sao cho tÝch cña chóng gÊp 5 lÇn tæng cña chóng.
Bµi 19: Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó p vµ 8p2 + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè lµ 
p = 3.
Bµi 20: Chøng minh r»ng: NÕu a2 – b2 lµ mét sè nguyªn tè th× a2 – b2 = a + b.
Bµi 21: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn tè lín h¬n 3 ®Òu cã d¹ng 6n + 1 hoÆc 
6n – 1.
Bµi 22: Chøng minh r»ng tæng b×nh ph­¬ng cña 3 sè nguyªn tè lín h¬n 3 kh«ng thÓ lµ mét sè nguyªn tè.
Bµi 23: Cho sè tù nhiªn n2. Gäi p1, p2, ..., pn lµ nh÷ng sè nguyªn tè sao cho 
 pn n + 1. §Æt A = p1.p2 ...pn. Chøng minh r»ng trong d·y sè c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp: A + 2, A + 3, ..., A + (n + 1). Kh«ng chøa mét sè nguyªn tè nµo.
Bµi 24: Chøng minh r»ng: NÕu p lµ sè nguyªn tè th× 2.3.4...(p – 3)(p – 2) - 1p.
Bµi 25: Chøng minh r»ng: NÕu p lµ sè nguyªn tè th× 2.3.4...(p – 2)(p – 1) + 1p.
 Chuyªn ®Ò t×m ch÷ sè tËn cïng
I. Tìm một chữ số tận cùng
Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. 
d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6. 
e) Tích của một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 5 với bất kì số tự nhiên lẻ nào cũng cho ta số có chữ số tận cùng là 5.
Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
Tính chất 3: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. 
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. 
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. 
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số:	a) 799   	b)   	c) 
Giải:	a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4: 99 − 1 = (9 − 1)(98 + 97 + … + 9 + 1) chia hết cho 4 Þ 99 = 4k + 1 (k Î N) Þ 799 = 74k + 1 = 74k.7 
Do 74k có chữ số tận cùng là 1 Þ 799 có chữ số tận cùng là 7.
b) Dễ thấy 1414 = 4k (k Î N) Þ 141414 = 144k có chữ số tận cùng là 6.
c) Ta có 567 − 1 4 Þ 567 = 4k + 1 (k Î N) Þ 4567 = 44k + 1 = 44k.4 Þ 44k có chữ số tận cùng là 6 nên 4567 có chữ số tận cùng là 4. 
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số:
	a) 71993	b) 21000	c) 31993	d) 4161	e) 	g) 	h) 	i) 
Bài 3: Chứng minh rằng: a) 8102 − 2102 10	b) 175 + 244 − 1321 10	c) 4343 − 1717 10
Bài 4: Tìm các số tự nhiên n để n10 + 1 M 10
Bài 5: Có tồn tại hay không số tự nhiên n để n2 + n + 2 chia hết cho 5?
Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của C = 1.3.5.7…..99
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. 
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009. 
Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n − 2) + 1, n Î {2, 3, …