Chuyên đề: Quan hệ song song trong không gian - Chủ đề 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

 GẶP 
Bài toán 1 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
Phƣơng pháp : 
 + Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. 
 + Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến cần tìm. 
Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện 
không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD. Tìm giao tuyến 
của hai mặt phẳng : 
 a) (SMB) và (SCD) b) (AMB) và (SCD) c) (ABM) và (SAC) 
Lời giải: 
a) Ta có ngay S và M là hai điểm chung của (SMB) và (SCD) 
nên (SMB)  (SCD) = SM 
b) Ta có M (AMB) (SCD) 
Gọi I = AB  CD. 
Ta có : IAB (AMB)  I(AMB) 
Mặt khác ICD I(SCD) 
Suy ra IM = (AMB) (SCD) 
c) Gọi J = IM  SC. 
Ta có : J  SC  (SAC)  I  (SAC) 
 J  IM  (ABM)  J  (ABM) 
Hiển hiên : A  (ABM) và A  (SAC) 
Vậy AJ = (ABM)  (SAC) 
Bài 2 : Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC, D là điểm không thuộc (P). Gọi I, 
J lần lượt là trung điểm AC và BC. K là điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm 
giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt phẳng (ACD) và (ABD). 
J 
M 
I 
D 
C B 
S 
A 
CHUYÊN ĐỀ : QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 
 4 
Lời giải : 
a) Gọi Q = JK  CD. 
Ta có : I  (IJK) và I  (ACD) 
Suy ra : IQ = (IJK)  (ACD) 
b) Gọi P = IQ  AD 
Ta có : K  (IJK) và K  (ABD) 
Suy ra : KP = (IJK)  (ABD) 
P
Q
J
I
A
C
B
D
K
Bài 3 : Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I, 
J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. 
 a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD) 
 b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn 
AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(MNJ) và (ABC). 
Lời giải : 
a) Do IJ không song song với CD 
Gọi K = IJ  CD  K (ACD) (IJM) 
Mà M (ACD) (IJM) 
Nên : MK = (ACD) (IJM) 
b) Gọi L = JN  AB  L (MNJ) (ABC) 
Gọi P = JL  AD, Q = PM  AC 
Suy ra Q (MNJ) (ABC).Vậy LQ = (MNJ) (ABC) 
L
Q
P
K
A
B
C
D
M
J
I
N
Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD. M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, 
SB, SC sao cho MN không song song với AB, NP không song song BC. Dựng 
thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình chóp. 
Lời giải : 
Ta có MN = (SAC)  (MNP); NP = (SCD) (MNP) 
Gọi J = MN  AB, Q = JP  SD 
Suy ra : (MNP)  (SCD) = PQ 
Suy ra : MQ = (MNP)  (SAD) 
Vậy thiết diện tạo bởi (MNP) và hình chóp là MNPQ. 
Q
J
S
A
B C
D
M
P
N
CHUYÊN ĐỀ : QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 
 5 
Bài toán 2 : Tìm giao điểm của đƣờng thẳng và mặt phẳng. 
Phƣơng pháp : Cho đường thẳng d và (P). 
 Cách 1 : Nếu trong (P) có sẵn đường thẳng a cắt d tại I 
 Ta có ngay : d  (P) = I 
 Cách 2 : Nếu trong (P) không có sẵn đường thẳng cắt d. 
 + Xét (Q)  d (tìm (Q) để dễ tìm giao tuyến) 
 + (P)  (Q) = a 
 + d  a = I 
 + d  (P) = I 
Bài 5 : Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D không đồng phẳng. Trên AC 
và AD lần lượt lấy các điểm M, N. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD. 
 a) Tìm giao điểm MN và (ABO) 
 b) Tìm giao điểm AO và (BMN) 
Lời giải : 
a) Gọi R = BO  CD, Q = MN  AR 
Mà : AR  (ABO) 
Suy ra Q = MN  (ABO) 
b) Trong (ABR) gọi S = BQ  AO 
Mà BQ  (BMN) 
Suy ra : S = AO  (BMN) 
S
Q
R
A
B D
C
O
M
N
Bài 6 : Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Lấy I, J lần lượt là hai điểm 
bên trong tam giác ABC và tam giác ABD. M là một điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao 
điểm của IJ và (ABM). 
Lời giải : 
Gọi P = AI  BC, Q = AJ  BD 
Gọi H = BM  PQ 
Trong (APQ), gọi E = IJ  AH 
Suy ra : E = IJ  (ABM) 
P H
E
Q
A
B D
C
I J
M
CHUYÊN ĐỀ : QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 
 6 
Bài 7 : Trong mặt phẳng (P), cho hình thang ABCD đáy lớn AB. S là một điểm 
không thuộc (P). Gọi I, J, K theo thứ tự là ba điểm thuộc SA, SB, BC. 
 a) Tìm giao điểm của IK và (SBD) 
 b) Tìm giao điểm của (IJK) với SD và SC. 
Lời giải : 
a) Gọi O = AK  BD 
Trong (SAK), gọi H = IK  SO 
Mà SO  (SBD) suy ra : H = IK  (SBD) 
b) Trong (SBD), gọi E = JH  SD, 
Trong (SBC), gọi F = JK  SC 
Suy ra : SD  (IJK) = E 
 SC  (IJK) = F F
E
H
O
S
A
D
B
C
I
K
J
Bài toán 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng; ba đƣờng thẳng đồng quy. 
Phƣơng pháp : 
 + Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta chứng minh 3 điểm cùng thuộc hai mặt 
phẳng phân biệt. Khi đó chúng thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng. 
 + Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy : Ta chứng minh giao điểm của hai 
đường thẳng a và b là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến của hai mặt 
phẳng đó là đường c. 
 Ta kí hiệu : a  (P), b (Q), a  b = I, I  c, (P)  (Q) = c 
Bài 8 : Cho hai điểm A và B nằm trong mặt phẳng (P), O nằm ngoài (P). Lấy M, N 
theo thứ tự thuộc OA và OB, với M O, M A, N O, N B. Giả sử MN cắt (P) 
tại C. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng. 
Lời giải : 
Ta có A, B, C đều thuộc (P). 
Lại có : A  OA  (OAB)  A  (OAB) 
 B  OB  (OAB)  B  (OAB) 
 C  MN  (OAB)  C  (OAB) 
Suy ra : A, B, C đều thuộc giao tuyến của hai 
mặt phẳng (OAB) và (P). 
Vậy A, B, C thẳng hàng. 
P
C
O
A
B
M
N
CHUYÊN ĐỀ : QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 
 7 
Bài 9 : Trong mặt phẳng ( ), cho tam giác ABC, D là một điểm không thuộc ( ). 
Qua C dựng mặt phẳng (  ) cắt AB, BD tại E, F; Qua B dựng ( ) cắt AC, CD tại 
M, N. BM cắt CE tại O1; BN cắt CF tại O2. Giả sử O1O2 cắt DA tại I. 
 a) Chứng minh AO1, DO2, BC đồng quy. 
 b) Chứng minh I, M, N và I, E, F thẳng hàng. 
Lời giải : 
a) AD và O1O2 đồng phẳng ( giải thiết) 
Gọi P = AO1  DO2 
Ta có P  AO1  (ABC)P (ABC) 
 P DO2  (BCD)  P  (BCD) 
Suy ra : P  (ABC)  (BCD) = BC 
Vậy AO1, DO2, BC đồng quy. 
b) Ta có (  )  (ABD) = { E, F, I} 
 ( )  (ACD) = { M, N, I} 
Vậy E, F, I và M, N, I thẳng hàng. 
P
I
O2
O1
A
C
B
D
F
E
M
N
Bài 10 : Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với 
SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng ( ) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N. 
 a) Gọi O = AC  BD, CMR : IJ, MN, SO đồng quy. 
 b) Gọi AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F, CMR : S, E, F thẳng hàng 
 c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. CMR : PQ luôn đi qua điểm cố định khi 
( ) thay đổi. 
Lời giải : 
a) Ta có I, M, J, N thuộc ( ) 
Gọi x = IJ  MN 
x  IJ (SAC)  x (SAC) 
x  MN (SBD)  x (SBD) 
Mà SO = (SBD)  (SAC) x SO 
Suy ra : x  SO 
Vậy IJ, MN, SO đồng quy tại x. 
b) Ta có : 
E = BC ADE  (SBC)  (SAD) 
X
Q
P
F
M
E
O
N
R
S
A
B
C
D
I
J
 F = IN  MJ F  (SBC)  (SAD). S là điểm chung của (SBC) và (SAD). 
CHUYÊN ĐỀ : QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 
 8 
 Suy ra : (SBC)  (SAD) = {E, F, S} 
c) Ta có A, B, C, D cố định, gọi R = AB  CD suy ra R cố định. 
 P = AD  IN, Q = BC  MJ  {P, Q, R} = ( )  (ABCD) 
 Vậy PQ luôn đi qua điểm R cố định. 
Bài toán 4 : (Bài toán quỹ tích) Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng. 
Phƣơng pháp : 
 + Gọi M = d1  d2 để tìm tập hợp các điểm M ta thực hiện các bước : 
 Bƣớc 1: Tìm hai mặt phẳng cố định chứa d1 và d2. M di động trên giao 
tuyến cố định d của hai mặt phẳng đó. 
 Bƣớc 2 : Tìm giới hạn của M (nếu có). 
Chú ý : Nếu đường thẳng d di động nhưng luôn đi qua điểm A cố định và cắt 
đường thẳng d1 cố định không đi qua A thì d thuộc mặt phẳng cố định (A,d1) 
Bài 11 : Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I, J là hai điểm cố định 
trên AB, AC và IJ không song song BC. Mặt phẳng ( ) quay quanh IJ cắt CD, BD 
lần lượt tại M, N. 
 a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định. 
 b) Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN. 
 c) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM. 
Lời giải : 
a) Vì IJ không song song BC nên IJ  BC = T, T là điểm cố định 
Ta có ( )  (BCD) = {M, N, T} 
Suy ra : M, N, T thẳng hàng 
Vậy MN luôn đi qua T cố định. 
b) Gọi E = IM  JN, P = BJ  CI 
Suy ra : P  (BDJ)  (ICD) 
Mà D  (BDJ)  (ICD) 
Do đó E  DP = (BDJ)  (ICD) 
Vì M chạy trên CD nên E chạy trên DP 
Vậy tập hợp điểm E là đoạn DP. 
A
x
y
P
E
N
T
B
D
C
I
J
M
c) Gọi F = NI  MJ. F  IN  (ABD)  F  (ABD) 
 F  MJ  (ACD)  F  (ACD). 
 Ta có : F  AD = (ACD)  (ABD) 
Vì M chạy trên CD nên F chạy trên hai tia Ax và Dy. 
CHUYÊN ĐỀ : QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 
 9 
Bài 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác sao cho AD cắt BC tại E, 
M là điểm thuộc đoạn SC. 
 a) Tìm giao điểm N của SD và (MAB). 
 b) Gọi I là giao điểm của AM và BN. Khi M di động trên SC thì điểm I chạy 
trên đường nào ? 
Lời giải : 
a) Gọi F = BM  SE, N = AF  SD 
Ta có : AF  (ABM)  N  (ABM) 
Do đó N = SD  (ABM) 
b) Ta có I = AM  BN 
Suy ra : I  (SBD)  (SAC) 
Mà SO = (SBD)  (SAC) 
Nên I  SO. 
Vậy khi M di động trên SC thì M di 
động trên SO. 
I
N
O
F
E
S
A
B
C
D
M
Bài 13 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC và BD. Một mặt 
phẳng ( ) quay quanh IJ cắt AD và AC lần lượt tại K và L. 
 a) Gọi N = IL  JK thì N chạy trên đường nào ? 
 b) Gọi M = IK  JL thì M chạy trên đường nào ? 
Lời giải : 
a) Ta có N = IL  JK 
N IL  (ABC)  N  (ABC) 
N JK  (ABD)  N  (ABD) 
Do đó N  AB = (ABD)  (ABC) 
Khi ( ) đi qua trung điểm E của AC thì ( ) 
không cắt AB. 
Khi L di động từ A tới E thì N di động trên Ax 
Khi L di động từ E tới C thì N di động trên By 
x
y O
M
K
N
J
I
A
B
C
D
L
b) M = IK  JL. M IK  (AID)  M  (AID); M IL  (ACJ)  M  (ACJ) 
Suy ra M  (AID)  (ACJ). Gọi O = CJ  DI thì AO = (AID)  (ACJ) 
Ta có M  AO. 
Vậy điểm M chạy trên đoạn AO. 
CHUYÊN ĐỀ : QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 
 10 
Bài 14 : Cho tứ diện S.ABC. Gọi I, K lần lượt là hai điểm trong của hai tam giác 
SAB và ABC. Giả sử IK cắt mặt phẳng (SBC) tại E. Hãy xác định giao điểm E. 
Lời giải : 
Trong (SAB), gọi G = AI  SB 
Trong (ABC), gọi H = AK  BC 
Trong (AGH), gọi E = GH  IK 
Mà GH  (SBC) 
Suy ra : IK  (SBC) = E 
E
H
G
S
A
B
C
I
K
Bài 15 :Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh SC lấy điểm M không trùng với S và C 
 a) Tìm giao điểm N của SD với mặt phẳng (ABM). 
 b) Giả sử AB và CD cắt nhau tại I. Chứng minh ba điểm I, M, N