Chuyên đề Phương trình tiếp tuyến - Nguyễn Anh Dũng

Chuyên ñề: Phương trình tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến
Nội dung
Nội dung

 Dạng 1: Tiếp tuyến qua một ñiểm

 Dạng 2: Số tiếp tuyến qua một ñiểm

 Dạng 3: Tiếp tuyến qua ñiểm uốn của ñồ thị
Dạng 1
Tiếp tuyến qua một ñiểm

 Bài tập mẫu
Cho hàm số y = x3 – 2x2 + 5x - 1. Lập phương trình tiếp tuyến qua ñiểm
M(1;3).
Giải
Phương trình ñường thẳng qua M có dạng y = a(x - 1) + 3, ñường thẳng là
tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
thay (2) vào (1), ta ñược x3 – 2x2 + 5x – 1 = (3x2 – 4x + 5)(x - 1) + 3 
Rút gọn phương trình
Với x = 1: (2) => a = 4 , ta ñược phương trình tiếp tuyến y = 4x -1.
Với , ta ñược phương trình tiếp tuyến
Dạng 1.Tiếp tuyến qua một ñiểm
 − + − = − +

= − + =
3 2
2
x 2x 5x 1 a(x 1) 3 (1)
y ' 3x 4x 5 a (2)
( )( )− + − = ⇔ − − + =
== ⇔ ⇔  =− + = 
3 2 2
2
2x 5x 4x 1 0 x 1 2x 3x 1 0
x 1x 1
1
x2x 3x 1 0
2
= ⇒ =
1 15
x : (2) a
2 4
= −
15 3
y x .
4 4

 Lưu ý
Lập phương trình tiếp tuyến qua ñiểm M(x0 ;y0) với ñồ thị hàm số y = f(x). 
Cách giải
• Phương trình ñường thẳng qua M(x0 ; y0) có dạng y = a(x – x0) + y0,
ñường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
• Giải hệ trên, ta tìm ñược a, suy ra phương trình tiếp tuyến.
Dạng 1.Tiếp tuyến qua một ñiểm
= − +

=
0 0f(x) a(x x ) y
f '(x) a 

 Bài tập tương tự. 
Cho hàm số , chứng minh rằng qua ñiểm M(-1 ;3) có hai
tiếp tuyến của ñồ thị vuông góc với nhau.
Giải
Phương trình ñường thẳng qua M có dạng y = a(x + 1) + 3, ñường thẳng
là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
thay (2) vào (1), ta ñược
Rút gọn phương trình
(x2 + x - 1)(x - 1) = (x2 – 2x) (x + 1)+ 3(x - 1)2 x2 – 3x + 1 = 0 
+ −
=
−
2x x 1
y
x 1
( )
 + −
= + + −
 − = =
 −
2
2
2
x x 1
a(x 1) 3 (1)
x 1
x 2x
y ' a (2)
x 1
( )
+ − −
= + +
− −
2 2
2
x x 1 x 2x
(x 1) 3
x 1 x 1
Dạng 1.Tiếp tuyến qua một ñiểm

 Bài tập tương tự (tt)
Dễ thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn
Vậy qua M có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
( ) ( )
( )
( ) ( )
+ = =
− −
⇒ =
− −
− + + − +
= = = −
− − + − +
1 2 1 2
2 2
1 1 2 2
1 2 2 2
1 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 2
1 2 1 2
x x 3; x x 1.
x 2x x 2x
(2) a a .
x 1 x 1
x x 2x x x x 4x x 1 6 4
a a 1.
x x x x 1 1 3 1
Dạng 1.Tiếp tuyến qua một ñiểm
Dạng 2
Số tiếp tuyến qua một ñiểm

 Bài tập mẫu
Cho hàm số y = x3 - 3x2 + x + 2, chứng minh rằng từ mỗi ñiểm trên ñường
thẳng x = 1, ta kẻ ñược ñúng một tiếp tuyến với ñồ thị.
Giải
Giả sử M(1;m) thuộc ñường thẳng x = 1, phương trình ñường thẳng qua M 
có dạng y = a(x - 1) + m, ñường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình
sau có nghiệm: 
Thay (2) vào (1), ta ñược
x3 – 3x2 + x + 2 = (3x2 – 6x + 1)(x - 1) + m
⇔ f(x) = 2x3 – 6x2 + 6x – 3 + m = 0
f ’(x) = 6x2 – 12x + 6 = 6(x - 1)2 ≥ 0 ∀ x
Suy ra hàm số f(x) ñồng biến trên R, f(x) là hàm số bậc 3 luôn ñồng biến
nên phương trình f(x) = 0 có một nghiệm với mọi m.
Vậy qua ñiểm M(1;m), ta luôn kẻ ñược ñúng một tiếp tuyến với ñồ thị.
Dạng 2. Số tiếp tuyến qua một ñiểm
 − + + = − +

= − + =
3 2
2
x 3 x x 2 a(x 1) m (1)
y ' 3 x 6 x 1 a (2 )

 Lưu ý bài toán:
Bài toán: Biện luận số tiếp tuyến qua ñiểm M(x0 ;y0) với ñồ thị hàm
số y = f(x) cho trước. 
Cách giải
• Phương trình ñường thẳng qua M(x0 ;y0) có dạng y = a(x - xo) + 
yo, ñường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có
nghiệm: 
• Bài toán quy về biện luận số nghiệm của hệ phương trình trên.
Dạng 2. Số tiếp tuyến qua một ñiểm
= − +

=
0 0f ( x ) a ( x x ) y
f '( x ) a 

 Bài tập tương tự
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 1. Tìm tập hợp các ñiểm trên trục tung mà qua 
ñó ta kẻ ñược ba tiếp tuyến với ñồ thị.
Giải
Giả sử ñiểm M(0;m) thuộc trục tung, phương trình ñường thẳng qua M có
dạng y = ax + m, ñường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có
nghiệm: 
thay (2) vào (1), ta ñược x3 – 3x2 + 1 = (3x2 – 6x)x + m
⇔ f(x) = - 2x3 + 3x2 + 1= m
f ’(x) = - 6x2 + 6x; f ’(x) = 0 ⇔ x = 0; x = 1
Hàm số f(x) có cực tiểu tại (0; 1), cực ñại tại (1; 2). Căn cứ biến thiên của
hàm số suy ra qua M có 3 tiếp tuyến khi phương trình f(x) = m có 3 
nghiệm, ñiều ñó xảy ra khi: 1< m < 2.
Vậy qua ñiểm M(0;m), ta kẻ ñược ba tiếp tuyến với ñồ thị khi 1< m < 2.
Dạng 2. Số tiếp tuyến qua một ñiểm
 − + = +

= − =
3 2
2
x 3x 1 ax m (1)
y' 3x 6x a (2)
Dạng 3
Tiếp tuyến qua ñiểm uốn của ñồ thị

 Bài tập mẫu
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 5x - 1. Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến
với ñồ thị thì tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. Lập phương
trình tiếp tuyến ñó và chứng minh rằng tất cả các tiếp tuyến còn lại ñều
không ñi qua ñiểm uốn.
Giải
Ta có
y’ = 3x2 – 6x + 5 = 3(x - 1)2 + 2 ≥ 2 => miny’ = 2 khi x = 1 
Do ñó hệ số góc của tiếp tuyến có giá trị nhỏ nhất bằng 1, giá trị ñó ñạt
ñược khi x =1.
Mặt khác, ta có
y’’ = 6x – 6, y’’ = 6x – 6 = 0 ⇔ x = 1.
y’’ 0 ⇔ x > 1.
Do ñó ñồ thị có ñiểm uốn tại x = 1, y = 2.
Từ các kết quả trên, ta có trong các tiếp tuyến với ñồ thị thì tiếp tuyến tại
ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Phương trình tiếp tuyến là y = 2(x - 1) + 2 y = 2x 
Dạng 3. Tiếp tuyến qua ñiểm uốn của ñồ thị

 Bài tập mẫu (tt)
Giả sử ñiểm M(x0 ;y0) thuộc ñồ thị, phương trình tiếp tuyến tại M là
Tiếp tuyến qua ñiểm uốn (1;2) khi 
Do ñó tiếp tuyến tại ñiểm M(x0 ;y0) ñi qua ñiểm uốn khi và chỉ khi x0 = 1.
Vậy: 
- Trong các tiếp tuyến với ñồ thị thì tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc
nhỏ nhất, phương trình tiếp tuyến là y = 2x.
- Tất cả các tiếp tuyến còn lại ñều không ñi qua ñiểm uốn.
Dạng 3. Tiếp tuyến qua ñiểm uốn của ñồ thị
( )( )= − + − + − + −2 3 20 0 0 0 0 0y 3x 6x 5 x x x 3x 5x 1
( )( )
( )
= − + − + − + −
⇔ − + − + = ⇔ − − = ⇔ =
2 3 2
0 0 0 0 0 0
33 2
0 0 0 0 0
2 3x 6x 5 1 x x 3x 5x 1
2x 6x 6x 2 0 2 x 1 0 x 1

 Lưu ý
Với hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có y’ = 3ax2 + 2bx + c.
Nếu a dương: trong tất cả các tiếp tuyến với ñồ thị thì tiếp tuyến tại ñiểm
uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Nếu a âm : trong tất cả các tiếp tuyến với ñồ thị thì tiếp tuyến tại ñiểm
uốn có hệ số góc lớn nhất.
Qua ñiểm uốn chỉ có một tiếp tuyến là tiếp tuyến tại ñiểm uốn, tất cả các
tiếp tuyến còn lại ñều không ñi qua ñiểm uốn.
Qua mỗi ñiểm còn lại trên ñồ thị ñều có hai tiếp tuyến.
Dạng 3. Tiếp tuyến qua ñiểm uốn của ñồ thị

 Bài tập tương tự
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 5x – 1. Tìm ñiểm M thuộc ñồ thị sao cho qua
M có một tiếp tuyến.
Giải
Giả sử ñiểm M(x0 ;y0) thuộc ñồ thị phương trình ñường thẳng qua M có
dạng y = a(x - xo) + yo, ñường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình
sau có nghiệm: 
thay (2) vào (1), ta ñược
( ) − + − = − +

= − + =
3 2
0 0
2
x 3x 5x 1 a x x y (1)
y ' 3x 6x 5 a (2)
Dạng 3. Tiếp tuyến qua ñiểm uốn của ñồ thị
Qua M có một tiếp tuyến khi
ðáp số: M(1;2)
Dạng 3. Tiếp tuyến qua ñiểm uốn của ñồ thị
( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
− + − = − + − + − + −
⇔ − − − + − − − + − =
⇔ − − − + =
=
⇔ − + =

3 2 2 3 2
0 0 0 0
3 3 2 2 2
0 0 0 0
2
0 0
0
0
x 3x 5x 1 3x 6x 5 x x x 3x 5x 1
x x 3 x x 5 x x 3x 6x 5 x x 0
x x 2x x 3 0
x x
x 3
x
2
− +
= ⇔ = ⇔00 0
x 3
x x 1 M(1;2).
2