Chuyên đề Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình

cú hệ : 
Do . 
Bài 3. giải phương trỡnh : 
Giải:
Đk . Chuyển vế bỡnh phương ta được: 
Nhận xột : khụng tồn tại số để : vậy ta khụng thể đặt 
.
Nhưng may mắn ta cú : 
Ta viết lại phương trỡnh: . Đến đõy bài toỏn được giải quyết . 
Cỏc em hóy tự sỏng tạo cho mỡnh những phương trỡnh vụ tỉ “đẹp “ theo cỏch trờn 
3. Phương phỏp đặt ẩn phụ khụng hoàn toàn 
Từ những phương trỡnh tớch ,
Khai triển và rỳt gọn ta sẽ được những phương trỡnh vụ tỉ khụng tầm thường chỳt nào, độ khú của phương trỡnh dạng này phụ thuộc vào phương trỡnh tớch mà ta xuất phỏt .
Từ đú chỳng ta mới đi tỡm cỏch giải phương trỡnh dạng này .Phương phỏp giải được thể hiện qua cỏc vớ dụ sau .
Bài 1. Giải phương trỡnh :
Giải: 
 , ta cú : 
Bài 2. Giải phương trỡnh : 
Giải:
Đặt : 	Khi đú phương trỡnh trở thnh : 
Bõy giờ ta thờm bớt , để được phương trỡnh bậc 2 theo t cú chẵn :
Từ một phương trỡnh đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau 
Bài 3. Giải phương trỡnh sau : 
Giải: 
Nhận xột : đặt , pttt: (1)
Ta rỳt thay vào thỡ được pt: 
Nhưng khụng cú sự may mắn để giải được phương trỡnh theo t khụng cú dạng bỡnh phương .
Muốn đạt được mục đớch trờn thỡ ta phải tỏch 3x theo 
Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được:
Bài 4. Giải phương trỡnh: 
Giải .
Bỡnh phương 2 vế phương trỡnh: 
Ta đặt : . Ta được: 
Ta phải tỏch làm sao cho cú dạng chớnh phương .
Nhận xột : Thụng thường ta chỉ cần nhúm sao cho hết hệ số tự do thỡ sẽ đạt được mục đớch 
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tớch 
Xuất phỏt từ một số hệ “đại số “ đẹp chỳng ta cú thể tạo ra được những phương trỡnh vụ tỉ mà khi giải nú chỳng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tỡm mối quan hệ giữa cỏc ẩn phụ để đưa về hệ
Xuất phỏt từ đẳng thức , Ta cú
Từ nhận xột này ta cú thể tạo ra những phương trỡnh vụ tỉ cú chứa căn bậc ba . 
Bài 1. Giải phương trỡnh :
Giải : , ta cú : , giải hệ ta được: 
Bài 2. Giải phương trỡnh sau :
Giải . Ta đặt : , khi đú ta cú : 
Bài 3. Giải cỏc phương trỡnh sau 
5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thụng thường 
Đặt và tỡm mối quan hệ giữa và từ đú tỡm được hệ theo u,v 
Bài 1. Giải phương trỡnh: 
Đặt 
Khi đú phương trỡnh chuyển về hệ phương trỡnh sau: , giải hệ này ta tỡm được . Tức là nghiệm của phương trỡnh là 
Bài 2. Giải phương trỡnh: 
Điều kiện: 
Đặt 
Ta đưa về hệ phương trỡnh sau: 
Giải phương trỡnh thứ 2: , từ đú tỡm ra rồi thay vào tỡm nghiệm của phương trỡnh.
Bài 3. Giải phương trỡnh sau: 
Điều kiện: 
Đặt thỡ ta đưa về hệ phương trỡnh sau:
Vậy 
Bài 8. Giải phương trỡnh: 
Giải
Điều kiện: 
Đặt .
Khi đú ta được hệ phương trỡnh: 
5.2 Xõy dựng phương trỡnh vụ tỉ từ hệ đối xứng loại II
Ta hóy đi tỡm nguồn gốc của những bài toỏn giải phương trỡnh bằng cỏch đưa về hệ đối xứng loại II 
Ta xột một hệ phương trỡnh đối xứng loại II sau : việc giải hệ này thỡ đơn giản 
Bõy giời ta sẽ biến hệ thành phương trỡnh bằng cỏch đặt sao cho (2) luụn đỳng , , khi đú ta cú phương trỡnh : 
Vậy để giải phương trỡnh : ta đặt lại như trờn và đưa về hệ 
Bằng cỏch tương tự xột hệ tổng quỏt dạng bậc 2 : , ta sẽ xõy dựng được phương trỡnh dạng sau : đặt , khi đú ta cú phương trỡnh : 
Tương tự cho bậc cao hơn : 
Túm lại phương trỡnh thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng : v đặt để đưa về hệ , chỳ ý về dấu của ???
Việc chọn thụng thường chỳng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được.
 Giải phương trỡnh: 
Điều kiện: 
Ta cú phương trỡnh được viết lại là: 
Đặt thỡ ta đưa về hệ sau: 
Trừ hai vế của phương trỡnh ta được 
Giải ra ta tỡm được nghiệm của phương trỡnh là: 
Bài 6. Giải phương trỡnh: 
Giải
Điều kiện 
Ta biến đổi phương trỡnh như sau: 
Đặt ta được hệ phương trỡnh sau:
Với 
Với 
Kết luận: Nghiệm của phương trỡnh là 
Cỏc em hóy xõy dựng một sồ hệ dạng này ?
Dạng hệ gần đối xứng 
Ta xt hệ sau : đõy khụng phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chỳng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chỳng ta xõy dưng được bài toỏn phương trỡnh sau :
Bài 1 . Giải phương trỡnh: 
Nhận xột : Nếu chỳng ta nhúm như những phương trỡnh trước :
Đặt thỡ chỳng ta khụng thu được hệ phương trỡnh mà chỳng ta cú thể giải được.
Để thu được hệ (1) ta đặt : , chọn sao cho hệ chỳng ta cú thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng )
 Ta cú hệ : 
Để giải hệ trờn thỡ ta lấy (1) nhõn với k cộng với (2): và mong muốn của chỳng ta là cú nghiệm 
Nờn ta phải cú : , ta chọn được ngay 
Ta cú lời giải như sau :
Điều kiện: , Đặt 
Ta cú hệ phương trỡnh sau: 
Với 
Với 
Kết luận: tập nghiệm của phương trỡnh là: 
Chỳ ý : khi đó làm quen, chỳng ta cú thể tỡm ngay bằng cỏch viết lại phương trỡnh 
ta viết lại phương trỡnh như sau: 
khi đú đặt , nếu đặt thỡ chỳng ta khụng thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của cựng dấu với dấu trước căn.
Một cỏch tổng quỏt . 
Xột hệ: để hệ cú nghiệm x = y thỡ : A-A’=B và m=m’, 
Nếu từ (2) tỡm được hàm ngược thay vào (1) ta được phương trỡnh 
Như vậy để xõy dựng pt theo lối này ta cần xem xột để cú hàm ngược và tỡm được và hơn nữa hệ phải giải được.
Một số phương trỡnh được xõy dựng từ hệ.
Giải cỏc phương trỡnh sau 
Giải (3): 
Phương trỡnh :
Ta đặt : 
Cỏc em hóy xõy dựng những phương trỡnh dạng này !
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 
1. Dựng hằng đẳng thức :
Từ những đỏnh giỏ bỡnh phương : , ta xõy dựng phương trỡnh dạng 
Từ phương trỡnh ta khai triển ra cú phương trỡnh :
2. Dựng bất đẳng thức 
Một số phương trỡnh được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cựng dạt được tại thỡ là nghiệm của phương trỡnh 
Ta cú : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta cú phương trỡnh: 
Đụi khi một số phương trỡnh được tạo ra từ ý tưởng : khi đú : 
Nếu ta đoỏn trước được nghiệm thỡ việc dựng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng cú nhiều bài nghiệm là vụ tỉ việc đoỏn nghiệm khụng được, ta vẫn dựng bất đẳng thức để đỏnh giỏ được
Bài 1. Giải phương trỡnh (OLYMPIC 30/4 -2007):
Giải: Đk 
Ta cú : 
Dấu bằng 
Bài 2. Giải phương trỡnh : 
Giải: Đk: 
Biến đổi pt ta cú : 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 
Áp dụng bất đẳng thức Cụsi: 
Dấu bằng 
Bài 3. giải phương trỡnh: 
Ta chứng minh : và 
Bài tập đề nghị .
Giải cỏc phương trỡnh sau 
3. Xõy dựng bài toỏn từ tớnh chất cực trị hỡnh học 
3.1 Dựng tọa độ của vộc tơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho cỏc vộc tơ: khi đú ta cú 
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai vộc tơ cựng hướng , chỳ ý tỉ số phải dương 
, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 
3.2 Sử dụng tớnh chất đặc biệt về tam giỏc 
Nếu tam giỏc là tam giỏc đều , thỡ với mọi điểm M trờn mặt phẳng tam giỏc, ta luụn cú với O là tõm của đường trũn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi .
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn và điểm M tựy ý trong mặt mặt phẳng Thỡ MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhỡn cỏc cạnh AB,BC,AC dưới cựng một gúc 
Bài tập
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 
1.Xõy dựng phương trỡnh vụ tỉ dựa theo hàm đơn điệu 
Dựa vào kết quả : “ Nếu là hàm đơn điệu thỡ ” ta cú thể xõy dựng được những phương trỡnh vụ tỉ 
Xuất phỏt từ hàm đơn điệu : mọi ta xõy dựng phương trỡnh :
, Rỳt gọn ta được phương trỡnh 
Từ phương trỡnh thỡ bài toỏn sẽ khú hơn 
Để gải hai bài toỏn trờn chỳng ta cú thể làm như sau :
Đặt khi đú ta cú hệ : cộng hai phương trỡnh ta được:
=
Hóy xõy dựng những hàm đơn điệu và những bài toỏn vụ tỉ theo dạng trờn ?
Bài 1. Giải phương trỡnh : 
Giải:
Xột hàm số , là hàm đồng biến trờn R, ta cú 
Bài 2. Giải phương trỡnh 
Giải . Đặt , ta cú hệ : 
Xột hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trỡnh 
Bài 3. Giải phương trỡnh :
V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HểA
1. Một số kiến thức cơ bản:
Nếu thỡ cú một số t với sao cho : và một số y với sao cho 
Nếu thỡ cú một số t với sao cho : và một số y với sao cho 
Với mỗi số thực x cú sao cho : 
Nếu : , là hai số thực thỏa: , thỡ cú một số t với , sao cho 
Từ đú chỳng ta cú phương phỏp giải toỏn :
Nếu : thỡ đặt với hoặc với 
Nếu thỡ đặt , với hoặc , với 
Nếu : , là hai số thực thỏa: , thỡ đặt với 
Nếu , ta cú thể đặt : , với , tương tự cho trường hợp khỏc 
x là số thực bất kỳ thi đặt : 
Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? 
Chỳng ta biết rằng khi đặt điều kiện thỡ phải đảm bảo với mỗi cú duy nhất một , và điều kiện trờn để đảm bào điều này . (xem lại vũng trũn lượng giỏc )
2. Xõy dựng phương trỡnh vụ tỉ bằng phương phỏp lượng giỏc như thế nào ?
Từ cụng phương trỡnh lượng giỏc đơn giản: , ta cú thể tạo ra được phương trỡnh vụ tỉ 
Chỳ ý : ta cú phương trỡnh vụ tỉ: (1)
Nếu thay bằng ta lại cú phương trỡnh : (2)
Nếu thay x trong phương trỡnh (1) bởi : (x-1) ta sẽ cú phương trỡnh vố tỉ khú: (3)
Việc giải phương trỡnh (2) và (3) khụng đơn giản chỳt nào ? 
Tương tự như vậy từ cụng thức sin 3x, sin 4x,.hóy xõy dựng những phương trỡnh vụ tỉ theo kiểu lượng giỏc .
3. Một số vớ dụ 
Bài 1. Giải phương trỡnh sau : 
Giải:
Điều kiện :
Với : thỡ (ptvn)
 ta đặt : . Khi đú phương trỡnh trở thành: vậy phương trỡnh cú nghiệm : 
Bài 2. Giải cỏc phương trỡnh sau : 
 HD: 
 Đs: 
 HD: chứng minh vụ nghiệm 
Bài 3 . Giải phương trỡnh sau: 
Giải: Lập phương 2 vế ta được:
Xột : , đặt . Khi đú ta được mà phương trỡnh bậc 3 cú tối đa 3 nghiệm vậy đú cũng chớnh là tập nghiệm của phương trỡnh.
Bài 4. .Giải phương trỡnh 
Giải: đk: , ta cú thể đặt 
Khi đú ptt: 
Phương trỡnh cú nghiệm : 
Bài 5 .Giải phương trỡnh : 
Giải: đk 
Ta cú thể đặt : 
Khi đú pttt.
Kết hợp với điều kiện ta cú nghiệm 
Bài tập tổng hợp
Giải cỏc phương trỡnh sau 
 (HSG Toàn Quốc 2002)
 (OLYMPIC 30/4-2007)
CHUYấN ĐỀ 2: bất phương trình chứa ẩn trong căn
+ Nhỡn chung cỏc phương phỏp giải bất phương trỡnh vụ tỷ cũng tương tự như phương trỡnh vụ tỷ. Tuy nhiờn, trong một số trường hợp cũng cú điểm khỏc biệt.
+ Giải bất phương trỡnh vụ tỷ là một trong những bài toỏn khụng cú cụng thức giải tổng quỏt, khụng cú qui trỡnh mang tớnh chất thuật toỏn.
 + Việc phõn ra thành cỏc phương phỏp giải riờng biệt chỉ mang tớnh chất tương đối, tựy quan điểm từng người làm toỏn.
+ Mỗi bất phương trỡnh cú thể giải bằng nhiều phương phỏp khỏc nhau nờn người làm toỏn cần cõn nhắc nờn giải theo phương phỏp nào cho hiệu quả. Mặt khỏc, cú những bất phương trỡnh khụng