Chuyên đề : phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

và 
 . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ 
 các đỉnh của hình chữ nhật.
Hướng dẫn:
Ta có: . Toạ độ của I là nghiệm của hệ: 
. Vậy Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm
 cạnh AD Suy ra M( 3; 0) Ta có: 
Theo giả thiết: 
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 
Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận làm VTPT nên có PT: . Lại có: 
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT: 
 hoặc .
 Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
Do là trung điểm của AC suy ra: 
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
Bài 3: 	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 
B
A
Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó.
HƯỚNG DẪN
I
+) AD = Þ AB = 2 Þ BD = 5.
+) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4
C
+) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ:
D
 Bµi 4: Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng vµ träng t©m thuéc ®­êng th¼ng : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C.
H­íng dÉn:
Ta cã: AB = , M = ( ), pt AB: x – y – 5 = 0
 S= d(C, AB).AB = d(C, AB)= 
Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)= 
 d(G, AB)= =t = 1 hoÆc t = 2
G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2)
Mµ C = (-2; 10) hoÆc C = (1; -4)
Bµi 5:
 Trong mÆt ph¼ng Oxy cho elip (E): vµ ®­êng th¼ng :3x + 4y =12. Tõ ®iÓm M bÊt k× trªn kÎ tíi (E) c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng AB lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
H­íng dÉn:
Gäi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2)
TiÕp tuyÕn t¹i A cã d¹ng TiÕp tuyÕn ®i qua M nªn (1)
Ta thÊy täa ®é cña A vµ B ®Òu tháa m·n (1) nªn ®êng th¼ng AB cã pt 
do M thuéc nªn 3x0 + 4y0 =12 4y0 =12-3x0 
Gäi F(x;y) lµ ®iÓm cè ®Þnh mµ AB ®i qua víi mäi M th×
(x- y)x0 + 4y – 4 = 0 
VËy AB lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh F(1;1)
Bài 6:
 Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng .
 Tìm trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC
 bằng15.
Hướng dẫn:
1. Gọi . Khi đó diện tích tam giác ABC là
 . 
Theo giả thiết ta có 
Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4).
 Bài 7:
 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) . 
 Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn:
Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0
Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đó ta cóvà diện tích tam giác ABC là 
Dấu bằng xảy ra khi . Vậy .
 Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0
 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0. 
 Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy.
Hướng dẫn:
 Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0)
 Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4)
 Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4)
 Gọi BI là đường phân giác trong góc B với I thuộc OA khi đó ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3
Bài 9:
 Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d).
Hướng dẫn:
Giả sử phương trình cần tìm là (x-a)2 + (x-b)2 = R2
Vì đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình
Vậy đường tròn cần tìm là: x2 + (y - 1)2 = 2
Bài 10 :
I
A
B
D
H
5
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I và đường thẳng D: mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.
Hướng dẫn :
 Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5.
Gọi H là trung điểm của dây cung AB. 
Ta có IH là đường cao của tam giác IAB.
IH = 
 Diện tích tam giác IAB là 
Û 
Bài 11:
 Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi , ®Ønh C n»m trªn ®­êng th¼ng , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.
H­íng dÉn:
Ta cã . Khi ®ã täa ®é G lµ . §iÓm G n»m trªn ®­êng th¼ng nªn , vËy , tøc lµ
. Ta cã , vËy , , .
DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ =
Bµi 12: Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi , träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 .
H­íng dÉn:
V× G n»m trªn ®­êng th¼ng nªn G cã täa ®é . Khi ®ã , VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ =
 NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng . VËy , suy ra hoÆc . VËy cã hai ®iÓm G : . V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn vµ . 
Víi ta cã , víi ta cã 
Bµi 13.
 Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®­êng trßn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 vµ ®­êng th¼ng d cã ph­¬ng tr×nh x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®­êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®­êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng.
H­íng dÉn:
Tõ ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®­êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ ®­îc 2 tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®­êng trßn vµ => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng 3
Bài 14:
Trong mp (Oxy) cho đường thẳng (D) có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2); 
B (3;4). Tìm điểm M(D) sao cho 2MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn :
M
Min f(t) = => M
Bài 15:
 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: .
 Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A.
Hướng dẫn:
 A(0;2), I(-2 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’
Pt đường thẳng IA : , => I’(), 
(C’): 
Bài 16:
 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Hướng dẫn:
 , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0
, 
I = là trung điểm của AC, BD.
I
M, A, C thẳng hàng ó cùng phương => c2 – 13c +42 =0 ó
 c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3)
Bài 17:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình và Lập phương trình tiếp tuyến chung của và 
Hướng dẫn:
Gọi tiếp tuyến chung của là 
 là tiếp tuyến chung của 
Từ (1) và (2) suy ra hoặc 
Trường hợp 1: .
 Chọn 
Trường hợp 2: . Thay vào (1) được
Bµi 18:
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn cùng đi qua M(1; 0). Viết phương
trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.
Hướng dẫn:
+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và , đường thẳng (d) qua M có phương trình .
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
Khi đó ta có: ,
Dễ thấy nên chọn .
Kiểm tra điều kiện rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn.
Bài 19:
 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm , chân đường cao hạ từ đỉnh B là , trung điểm cạnh AB là .
Hướng dẫn:
+ Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận 
 làm vtpt và AC đi qua K nên
 Ta cũng dễ có:
.
+ Do nên giả sử 
 Mặt khác là 
trung điểm của AB nên ta có hệ:
Suy ra: 
+ Suy ra: , suy ra: .
+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận , suy ra:
KL: Vậy : , 
Bài 20: (đề 2010)
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: và d2: . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương.
Hướng dẫn:
. Ta thấy tạo với Oy góc Từ đó 
Đường tròn (T) đường kính AC có: 
Phương trình (T): 
Bài 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y - 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; -3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Hướng dẫn:
Â
Gọi là đường thẳng đi qua trung điểm của AC và AB
E
Ta có 	
Vì là đường trung bình của ABC
B
C
Gọi phương trình đường thẳng BC là: 
H
Từ đó:	
Nếu thì phương trình của BC là , trường hợp này A nằm khác phía đối với BC và, vô lí. Vậy , do đó phương trình BC là: .
Đường cao kẻ từ A của là đường thẳng đi qua A(6;6) và: nên có phương trình là .
Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC là nghiệm của hệ phương trình
Vậy H (-2;-2)
Vì BC có phương trình là nên tọa độ B có dạng: B(a; -4-a)
Lại vì H là trung điểm BC nên C(-4-a; a)
Suy ra:	 
Vì nên 
	Vậy 	hoặc	.
C. BÀI TẬP TỰ RÈN
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(-1; -2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+y-9=0 và x+3y-5=0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B.
ĐS: A(1;4), B(5;0).
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) và đường thẳng với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C) Tìm m để Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho elip (E) có phương trình . Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định tọa độ điểm M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
ĐS: 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho đường tròn (C): (x-1)2+(y-2)2=4 và đường thẳng d: x-y-1=0. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).
ĐS: A(1;0), B(3;2)
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình là x-3y – 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình: x + y + 1= 0. Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho điểm C(2;0) và elip (E): . Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.
ĐS: hoặc 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: d1: x+y +3=0, d2: x-y -4=0, d3: x-2y =0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.	ĐS: M(-22;-11), (2;1).
Trong mặt phẳng với hệ tọ