Chuyên đề: Phương pháp quy nạp Toán học - Nguyễn Hữu Điển

Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học 
Chuyên đề : PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
(Người biên soạn Nguyễn Hữu Điển) 
A. MỤC TIÊU 
Giúp học sinh thêm một phương pháp nghiên cứu học tập và giải toán 
trong các môn số học, đại số và hình học. 
Góp phần xây dựng năng lực tư duy lôgíc, diễn đạt suy nghĩ mạch lạc, 
suy luận có lí. 
Gây hứng thú cho học sinh tìm tòi, phát hiện, tranh luận và phê phán 
đúng sai cùng bạn bè khi lĩnh hội hoặc khi vận dụng kiến thức toán học. 
B. THỜI GIAN THỰC HIỆN 
Tổng thời gian thực hiện 15 tiết, mỗi bài 3 tiết tương ứng với nội dung. 
C. NỘI DUNG 
Bài 1. Nguyên lí quy nạp toán học và ví dụ. Từ những ví dụ cụ thể về 
cách suy luận diễn giải và quy nạp dẫn đến phát biểu nguyên lí quy nạp 
toán học. Thông qua những ví dụ đơn giản làm rõ các thành phần của 
nguyên lí quy nạp toán học. 
Bài 2. Kĩ thuật chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. 
Khảo sát các khía cạnh sử dụng nguyên lí quy nạp toán học thông qua 
các vị dụ cụ thể. 
Bài 3. Các ứng dụng giải toán trong số học và đại số. Những bài tập 
số học và đại số thường ứng dụng phương pháp quy nạp toán học như 
phép chia hết, biểu diễn số, tính tổng, đẳng thức, bất đẳng thức, ... 
 Bài 4. Quy nạp toán học trong hình học. Những dạng toán hình học 
giải bằng phương pháp quy nạp toán học. 
Bài 5. Những vấn đề khác liên quan đến phương pháp quy nạp toán 
học. Dùng những định nghĩa, hồi quy, ... theo suy luận quy nạp toán học. 
 1
Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học 
Bài 1. NGUYÊN LÍ QUY NẠP TOÁN HỌC VÀ VÍ DỤ 
1. Suy diễn và quy nạp 
Trong lao động, học tập và sinh hoạt người ta phải suy luận và đánh 
giá những hoạt động của mình. Thực tế có hai hướng chính để suy luận 
và đưa ra kết quả trước một vấn đề phải giải quyết. Những suy luận đó là 
suy diễn và quy nạp. Suy diễn là áp đặt một vấn đề chung cho trường 
hợp cụ thể. Cách suy luận này diễn ra hàng ngày, hàng giờ xuất phát từ 
kinh nghiệm, văn hóa loài người. Trong kho tàng ca dao và châm ngôn 
Việt Nam có rất nhiều mệnh đề chung như 
Trông mặt mà bắt hình dong 
Con lợn có béo thì lòng mới ngon. 
Như vậy, con lợn sắp làm thịt thấy nó béo suy ra lòng phải ngon. 
Hay ví dụ trông một cơn mưa trên trời thì rơi vào những trường hợp: 
Cơn đằng Đông vừa trông vừa chạy 
Cơn đằng Tây mưa dây bão dật 
Cơn đằng Nam vừa làm vừa chơi 
Cơn đằng Bắc đổ thóc ra phơi. 
Hướng suy luận thứ hai là từ những khẳng định riêng tiến tới phát 
biểu khẳng định chung được gọi là phép quy nạp. Ta lấy ví dụ trong bài 
hát Quan Họ “Bèo dạt mây trôi”: 
“...Một tin trông, hai tin đợi, ba, bốn tin chờ sao chẳng thấy em...” 
Như vậy, người đợi chờ ở đây đã thực hiện 1, 2, 3, 4 lần nhắn tin mà 
người thương không thấy tin tức gì, phải chăng không bao giờ nhận được 
tin tức gì? phải chăng không bao giờ nhận được tin tức người thương 
nữa? Hay vì hoàn cảnh nào đó mà một thời gian sau mới nhận được tin 
nhắn! Bằng ví dụ đơn giản trên ta thấy rằng phép quy nạp có khi đúng, 
 2
Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học 
có khi sai. Chuyên đề này ta sẽ nghiên cứu cách suy luận quy nạp thế nào 
là đúng và áp dụng chính xác những suy luận này để giải các bài toán 
trong số học, đại số và hình học, ... 
2. Một số ví dụ suy luận quy nạp 
Trước khi đi vào nguyên lí cụ thể ta xét một số ví dụ mà cách giải 
thực hiện từ trường hợp cụ thể tiến tới tổng quát hóa. 
Ví dụ 1. Chứng minh rằng tổng n số lẻ đầu tiên bằng n2. 
Lời giải. Ta biết rằng số lẻ thứ nhất là 1, số lẻ thứ hai là 3, số lẻ thứ ba là 
5, ... như vậy mối quan hệ giữa số lẻ thứ k và chính số lẻ đó là (2k-1) với 
k = 1, 2, 3, ... Ta kí hiệu Sn là tổng n số lẻ đầu tiên. Ta tính một số giá trị 
đầu tiên của tổng này và so sánh với kết luận của bài toán: 
Với n = 1, S1 = 1 = 12, kết luận của bài toán đúng; 
Với n = 2, S2 = 1 + 3 = 12 + 2.1.1 + 1 = (1 + 1)2 = 22, kết luận đúng; 
Với n = 3, S3 = 1 + 3 + 5 = 22 + 2.2.1 + 1 = (2 + 1)2= 32, kết luận đúng. 
Ta có thể tiếp tục kiểm tra cho các trường hợp tiếp theo nữa, nhưng 
những số lẻ là vô cùng nhiều, không có khả năng kiểm tra hết được từng 
giá trị. Có cách nào khác không để suy luận chỉ một số trường hợp mà nó 
đúng với mọi trường hợp? Ta thấy rằng những trường hợp ở giá trị sau 
đều có thể suy ra kết luận từ giá trị trước bằng mối quan hệ Sn = Sn-1 + 
2n-1. Nếu đã tính được Sn-1 = (n-1)2 thì ta có Sn = Sn-1 + 2n – 1 = (n-1)2 + 
+ 2n - 1= n2. Như vậy, cứ số trước đã có kết quả đúng thì số sau đúng, ta 
có n =3 kết luận đúng suy ra n =4 kết luận đúng, sau đó n =5, ... Suy ra 
mệnh đề đúng với mọi giá trị của n. 
 3
Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học 
Ví dụ 2. Cho một số đường thẳng chia mặt phẳng thành những miền 
khác nhau. Chứng minh rằng ta có thể tô những miền này bằng hai 
màu trắng và đen sao cho những miền cạnh nhau (có chung một đoạn 
biên) có màu khác nhau. 
Lời giải. Chú ý không phải cách chia mặt phẳng thành những miền 
khác nhau nào cũng tô được bằng hai màu thỏa mãn điều kiện bài 
toán, ví dụ như (h. 1). 
 Nếu chọn miền trên là mầu đen thì hai phần 
còn lại là màu trắng, điều này không thỏa 
mãn điều kiện của bài toán. Như vậy, chia 
mặt phẳng bằng những nửa đường thẳng thì 
mệnh đề không đúng. 
Hình 1 
Nhưng chia mặt phẳng bằng những đường thẳng thì mệnh đề còn 
đúng. Với một đường thẳng, bằng cách tô nửa mặt phẳng đen, còn nửa 
kia tô trắng (h. 2). 
Hình 3 Hình 2 
Nếu cho hai đường thẳng thì từ hình 2 đặt thêm một đường thẳng 
nữa chia mặt phẳng thành bốn miền. Dựa trên màu của trường hợp 
một đường thẳng, trên một nửa mặt phẳng của đường thẳng thứ hai, 
miền nào màu đen ta tô trắng và màu trắng ta tô đen cho hình 3. 
Nếu cho ba đường thẳng thì ta đặt đường thẳng thứ ba lên hình 3 cho 
ta hình 4 khi chưa tô màu lại. 
 4
Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học 
Hình 4 Hình 5 
Trên một nửa mặt phẳng của đường thẳng mới, miền nào màu trắng ta 
tô lại màu đen và ngược lại, cuối cùng ta nhận được hình 5. Ta thấy 
rằng những miền cạnh nhau trong nửa mặt phẳng đổi màu hoặc nửa 
mặt phẳng không đổi màu khác màu nhau. Còn những miền cạnh 
nhau có biên trên đường thẳng mới đặt vào theo cách đổi màu trên 
nửa mặt phẳng thì chúng cũng khác màu nhau. 
Bây giờ ta có thể lại thêm một đường mới vào hình 5 và quá trình tô 
màu lại lặp lại và cũng nhận được kết quả tô được màu cho các miền. 
Như vậy nếu ta tô màu được theo giả thiết bài toán cho n đường thẳng 
thì n+1 đường thẳng cũng tô được theo cách làm trên. Như vậy, với 
bất kì một số đường thẳng đã cho ta đều có thể thực hiện tô màu được 
theo giả thiết bài toán. Bài toán đã được giải. 
Ví dụ 3. Cho 111 chia hết cho 3, số 111111111 chia hết cho 9, số 
111...111 (27 chữ số 1) cũng chia hết cho 27. Chứng minh rằng 
111...111 (3n chữ số 1) chia hết cho 3n với mọi n. 
Lời giải. Ta có thể sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3 và cho 9 (tổng các 
chữ số của một số chia hết cho 3 thì số đó cũng chia hết cho 3, tương 
tự cho một số chia hết cho 9). Đơn giản hơn ta có thể kiểm tra trực 
tiếp 111 : 3 =37 và 111111111 : 9 =12345679. 
 5
Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học 
Bằng cách chia trực tiếp số có 27 chữ số 1 chia cho 27 nhận được 
kết quả chia hết, nhưng dấu hiệu chia hết cho 27 không có (ví dụ số 
1899 có tổng 27 nhưng không chia hết cho 27). Ta không thể đi chia 
trực tiếp số có 3n chữ số 1 cho 3n với n = 4, 5, ... xem chúng có chia 
hết cho nhau không? Từ kinh nghiệm của hai ví dụ trước ta đi tìm 
cách chứng minh mệnh đề ở bước n, ta phải tìm cách chứng minh nó 
được suy ra từ bước n-1 trước đó đã có kết quả đúng rồi. 
 Ta xét số 111111111, số này chia hết cho 9. Ta có thể kiểm tra nó 
cũng chia hết cho 111, có kết quả 111111111 = 111 . 1001001. Ta 
thấy các thừa số trong tích trên chia hết cho 3 (do tiêu chuẩn chia hết 
cho 3). Do đó tích của hai thừa số trên chia hết cho 9. 
 Quy trình trên áp dụng cho số 1111...111 (27 chữ số 1), số này chia 
hết cho 111111111. Thương của phép chia này chỉ có ba chữ số 1 và 
các chữ số còn lại bằng 0 (kết quả là số thương có hai nhóm 8 chữ số 
0, còn số ở giữa và hai đầu đều là số 1). Biết rằng số 111111111 chia 
hết cho 9. Còn số 10...010...01 chia hết cho 3 (vì tổng các chữ số chia 
hết cho 3). Do số có 27 chữ số 1 bằng tích của hai số, mà một số chia 
hết cho 9 và một số chia hết cho 3 suy ra nó chia hết cho 27. 
 Tiếp tục với một số có 81 =3.3.3.3 chữ số 1 là tích của số có 27 
chữ số 1 và số có ba chữ số 1 và các số còn lại là chữ số 0. Thừa số 
thứ nhất chia hết cho 27, thừa số thứ hai chia hết cho 3. Suy ra số có 
81 chữ số 1 chia hết cho 3.27=81=34 . 
 Bằng cách hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được một số có 
81.3=243 chữ số 1 cũng chia hết cho 35 . Ta cũng có thể chứng minh 
với số n mệnh đề đã đúng suy ra với n+1 vẫn còn đúng, suy ra mệnh 
đề đúng với mọi n = 3, 4, 5, 6, .... Bài toán đã được giải. 
 6
Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học 
Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên đồng (tiền Việt Nam) 
lớn hơn 6 có thể đổi ra tiền lẻ không dư bằng những đồng tiền gồm 
những tờ 2 đồng và 5 đồng (1 đồng ở đây bằng 1000 đồng trong thực 
tế). 
Lời giải. Đẳng thức sau đây nói lên với 7 đồng, 8 đồng thì gồm tờ 2 
đồng và 5 đồng như thế nào: 
7 = 5 + 2; 
8 = 2 + 2 + 2 +2. 
Nếu ta thêm vào hai vế của các đẳng thức trên tờ 2 đồng, thì 
9 = 7 + 2; 
10 = 8 + 2. 
Tiếp tục thêm 2 đồng vào hai đẳng thức sau cùng, ta có 
11 = 9 + 2; 
12 = 10 +2. 
Ta còn tiếp tục được cho bất cứ số nguyên nào. Ta thấy rằng ở bước 
trước có hai đẳng thức và suy ra bước sau có hai đẳng thức. Như vậy 
với mọi số n nguyên đồng nào dù là số chẵn hoặc số lẻ khi n-2 cũng 
rơi vào một trong hai trường hợp trước đó đã đổi được ra hai loại tiền 
2 đồng và 5 đồng. Suy ra nó cũng đổi thành các đồng 2 đồng và 5 
năm. Như vậy, khẳng định của của mệnh đề là đúng. 
 7