Chuyên đề Ôn thi Tốt nghiệp và Đại học - Phương trình mũ và phương trình lôgarit

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
A/TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
I) CÁC ĐỊNH NGHĨA :
 1) Lũy thừa với số mũ nguyên dương:
 an = a.aa ( tích của n số a) với n>1. 
 2) Luỹ thừa với số mũ 0 và nguyên âm : 
a0 = 1 và a-n = ( với a 0 và n nguyên dương ) 
 3) luỹ thừa với số mũ hữu tỉ :
 ( Với a > 0 và ) 
4) Lôga rit cơ số a của b: 
II) CÁC TÍNH CHẤT VÀ CÔNG THỨC : 
1) Luỹ thừa : Với các số a> 0 , b> 0 , tuỳ ý ta có:
 ; ; 
 ; 
 2) Lôgarit: Với giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa , ta có ;
 ; 
; 
 ; 
 ( với tuỳ ý ) ; ; 
 , tức là ( Công thức đổi cơ số)
B/ PHẦN BÀI TẬP :
I/. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Một số phương pháp giải phương trình mũ 
@Phương trình mũ cơ bản : 
@ Phương pháp đưa về cùng cơ số 
 *Biến đổi 2 vế về cùng cơ số rồi sử dụng phép biến đổi sau để giải
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
	a./ 	b./ 
	Giải:	 
a./ 
	b./ 
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a. b.
c. d.
@ Phương pháp đặt ẩn phụ 
Dạng 1 : A.a2f(x) + B.af(x) + C = 0 (1)
 Đặt t = af(x) > 0 
 Ta có phương trình : At2 + Bt + C = 0 (2)
* Phương trình ( 1) có nghiệm khi phương trình ( 2 ) có nghiệm t > 0
Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau
a). b) 
 Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Dạng 2 : A.af(x) + B.bf(x) + C = 0 (1) trong đó a.b=1
 Đặt t = af(x) > 0 Þ bf(x)=
 Ta có phương trình : At + + C = 0 (2)
* Phương trình ( 1) có nghiệm khi phương trình ( 2 ) có nghiệm t > 0
Ví dụ1 : Giải các phương trình sau
a/ 
 b) 
 c) 
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình
	 .
Dạng 3 : A.a2f(x) + B.af(x).bf(x) + C.b2f(x) = 0 (1)
Chia cả hai vế cho b2f(x) > 0 ta có : A
Đăt t = = t > 0 ta được At2 + Bt + C = 0 (2) 
Phương trình ( 1) có nghiệm khi phương trình ( 2 ) có nghiệm t > 0
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
	a./ 	b./ 
	c./ d) 64 .9x – 84 .12x + 27 .16x = 0 
Giải: 
	a./ 
	Đặt t = 5x, t >0 ta có phương trình: t2 – 2t – 15= 0
	b./ 
 c./ Đặt , ta có 
 d/64 .9x – 84 .12x + 27 .16x = 0 Û 
Bài tập áp dụng: 
 1 : Giải các phương trình sau
 a) b) 
 c) d) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 
 e) g) 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: có nghiệm thuộc đoạn [0;1].
Cho phương trình : . Tìm m để phương trình có nghiệm. 
@ Phương pháp lôgarit hóa
 Nếu cả hai vế của phươnh trình đều dương ta có thể giải phương trình bằng cách lấy lôgarit hai vế ( lôgarit hóa)
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
	a./ 	b./ 
Giải: 
	a./ 
	b./ 
Ví dụ 2: Giải các phương trình :
a) b) c) 
@ Phương pháp sử dụng tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
Ví dụ 1 : Giải các phương trình 
 a) 3x + 4x = 5x b) 2x = 1+ 
 c) d) 9x + 2(x -2)3x + 2x - 5 = 0
 Giải:
a) 3x + 4x = 5x (*) 
Dễ thấy phương trình có một nghiệm x=2.
.Với x>2
 do Þ ph tr (*) không có nghiệm 
.Với x<2
 do Þ ph tr (*) không có nghiệm 
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=2 
Bài tập
Bµi 1: Giải các phương trình :
	a. b.
	c. d.
	e. f.
	g.
Bµi 2:Giải các phương trình :
	a. b.
	c. d.
e. f.
	g. h.
	i. j.
	k. 
Bµi 3:Giải các phương trình :
	a. b.
	c. d.
II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
 * Phương trình lôgarit cơ bản (x > 0, 0< a 1)
 * Một số phương pháp giải phương trình lôgarit 
@ Phương pháp đưa về cùng cơ số
Biến 2 vế đưa về dạng:
Tổng quát: 
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
	a./ 	b./ 
	Giải:
	a./ (1)
	ĐK: 
	b./ (1) 	ĐK: x>0
	x=3>0 thỏa điều kiện . Vậy phương trình có nghiệm là x=3
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Giải. 
đk: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 2:
; ; 
(1) x = 1.
Ví dụ 3 : (Đề 81) Giải phương trình
(1)
Giải.
Ta có: 
Đk: 
(1) 
 nghiệm: 
Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình:
 + = , a > 0 (1)
Giải.
Đk: – 3x + 2 > 0, x – 1 > 0, a(x + 2) > 0 x > 2
Ta có: = 1 = = 
 + = = 
 = = = 
(1) = x – 2 = – 4 = 
 = 4 + 
a > 0 nghiệm: x = .
x > 2 x = .
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình:
a) . = 
b) + = + + 
c) . = 1
d) + = 0. (Đề 3)
2) Xác định m để phương trình:
 + = 0
có nghiệm , thoả mãn: + > 1.
Hướng dẫn: 
pt = 
phương trình có 2 nghiệm , nên , điều kiện (2) – 1 < 0 m < 
+ > 1 
3) Tìm a để phương trình
 = 2 có nghiệm duy nhất. 
Hướng dẫn: 
pt 
phương trình có nghiệm duy nhất khi (2) có nghiệm duy nhất thoả mãn: 
4) Giải và biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29)
@ Phương pháp đặt ẩn phụ 
Ví dụ 1. Giải phương trình
 = 8
Giải.
Đk: 
Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế, ta được:
 = . = 3 + 3 . = 3 + 3 (1)
Đặt t = (1) – t – 3 = 0.
 phương trình có nghiệm: ; 
. 
. 
Ví dụ 2. Giải phương trình
2. = 
Giải.
Đk: 
Đặt = y; x = + 1 Ta được hệ phương trình: 
 y. = x.(1)
Xét hàm số: f(z) = z.; f'(z) = + 2 > 0 
f(z) đồng biến trên [2; ). Từ (1) x = y .
Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y = tại 2 điểm: = 1; = 2.
từ x = 2 là nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình
 = . – (1)
Giải.
Đk: x>0
áp dụng công thức: = 
(1) = . – = – 1.
Đặt t = + 1 = + = 1 (2)
Xét f(t) = + là hàm nghịch biến (2) có nghiệm duy nhất t = 1 x = 2 là nghiệm của (1)
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
	a./ 	b./ 
	c./ 	d./ 
Giải:
	Thỏa điều kiện x>0 . Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 và x=1/4
	b./ (1)
	ĐK:
	Đặt: , ta có : 
	 thỏa (*)
	Vậy phương trình có nghiệm là : x = 3 và x = 5/4.
	c./ (1)
	ĐK: x>0 (*)
	Đặt: t= lgx , ta có: thỏa (*)
	Vậy phương trình có nghiệm là: x = 10 và x = 107
	d./ 
	ĐK: (*)
	Đặt: , ta có: . Thỏa (*)
Vậy phương trình có nghiệm là x=2.
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình
a) = 
b) = 6
c) + = 2
d) + = + + 
2) Giải và biện luận theo a
a) . = – 
b) ( + 2). = 
3) Cho phương trình: (m – 3) – (2m + 1) + m + 2 = 0
tìm m để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn 4 < < < 6
4) Giải phương trình
 a.
 b.
 c.
 d.
 e.
 f.
@ Phương pháp sử dụng tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
Ví dụ 1. Giải phương trình: + x = + 4 (1)
Giải.
Đk: , x + 2 > 0 x > 3.
(1) – = 4 – x = 4 – x lg(x – 3) = 4 – x (2)
Nhận xét: x = 4 là nghiệm của (2).
y = lg(x – 3); y' = > 0 là hàm đồng biến
y = 4 – x là nghịch biến 
 x = 4 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2. Giải phương trình 
 = (1)
Giải.
Đk: 
(1) = (2)
Đặt: a = 7 + 4; t = 
(2) = (3)
Đặt: y = . (3) = + = 1 (4)
y = 1 là nghiệm của (4)
y > 1 VT < VP 
y VP
 y = 1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3. Giải phương trình: = x.
Giải.
Đk: x > – 3
– 3 < x 0: phương trình vô nghiệm.
x > 0: Đặt = t 3+=1 (*)
t = 1 là nghiệm. VT của (*) là hàm nghịch biến t = 1 là nghiệm duy nhất x = 2 là nghiệm duy nhất.
Bái tập áp dụng: 
1) Tìm m để phương trình: + lgx = m
a) có nghiệm.
b) có nghiệm thoả mãn: 1 < x < 10.
2) Giải phương trình: =.
Bài tập
Bài tập 1: Giải các phương trình sau
	a. 	b. 
	c. d.
	e.
Bài tập 2: Giải các phương trình sau
	a. b.
	c. d.
	e. f.
Bài tập 3: Giải các phương trình sau
	a. b.
	c. d.
	e. f.
	g. h.
	i.
Bài tập 4: Giải các phương trình sau
	a. b.
	c. d.
III/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT 
Các phương pháp giải thường sử dụng
1. Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương và phép thế
Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau : 
 1) 6) 
	2) 7) 
	3) 8) 
	4) 9) 
	5) 10) 
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ 
Ví dụ 2 : Giải các hệ phương trình sau :
 1) 2) 
 3) 4) 
 5) 
Bài tập
 Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau :
 a/ b/ 
 c/ d/ 
 d/
 Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau :
 a.	b.
 c.	d.