Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán - Tổng quan về số phức

Tổng quan về số phức 
1.0 Giới thiệu sự ra đời của số phức 
Số phức là gì ? Hệ thống số thực – Hệ số ảo ? 
Như chúng ta đã biết là những công việc trước đây luôn cần đến 1 hệ thống số . Chính vì 
thế hệ thống số đó đã lớn lên qua những thực tiển của nó . Người nguyên thuỷ cần sử 
dụng đến phép đếm, chính vì thế các ký hiệu ngày nay 1, 2, 3 đã được sử dụng và ta đã 
gọi chúng là số đếm, số tự nhiên hay số nguyên dương . Các phép toán cộng, nhân đã 
được xây dựng trên các hệ thống số này . 
 Nếu a và b là các số nguyên dương thì a + b = p và 
a.b = q (p và q là các số nguyên dương). Bên trong hệ số nguyên này, các phương trình 
đại số đơn giản đã được giải quyết 
Ví dụ : x + 5 = 9 thì x = 4 . 
 Tuy nhiên chúng ta không thể giải quyết bài toán 
a + 9 = 5 nếu chúng ta không có số mới ra đời khác . Chính vì thế con người đã tưởng 
tượng và phát triển 1 hệ thống số mới chứa số nguyên âm và 0 để giải quyết tình huống 
trên. 
 Hơn thế nữa, để xác định tất cả các giá trị của a và b, q sao cho a.b = q chẳng hạn 
như nếu b = 9 và q = 5 thì số nguyên a không tồn tại. Từ đó người ta đã mở rộng và phát 
triển hệ thống số hữu tỉ. Những số này có dạng a
b
, trong đó a , b là các số nguyên (b ≠ 0) 
với các phép toán được định nghĩa trên tập số hữu tỉ. 
• a c ad bc
b d bd
+
+ = phép cộng 
• a c ac
b d bd
× = phép nhân 
 Ngày nay số hữu tỉ còn được biểu diễn như là một cặp thứ tự (a , b), ( )0b ≠ , với 
ký hiệu này phép cộng và phép nhân được xác định bởi : 
• ( ) ( ) ( ), , ,a b c d ad bc bd+ = + phép cộng 
• ( ) ( ) ( ), , ,a b c d ac bd× = phép nhân. 
 Với hệ thống số hữu tỉ trên, ta có thể giải phương trình 
ax + b = 0 (a, b là các số hữu tỉ) 
 Tập các số nguyên chính là tập con của tập hợp số hữu tỉ. Số nguyên a chính là số 
hữu tỉ có dạng a
b
, với b = 1. 
 Xa hơn nữa, người ta có thể xây dựng 1 hệ thống số hữu tỉ khác có dạng như 
2, , .........epi nhưng những số này không biểu diễn được dưới dạng a
b
(đó là những số thập 
phân không tuần hoàn).Chính vì thế chúng được gọi là số vô tỉ. 
 Tập hợp các số vô tỉ cùng với tập hợp các số hữu tỉ lập thành 1 tập số thực. Tất cả 
những số này được biểu diễn trên trục số thực. 
 Với hệ thống số thực 
trên, ta có thể giải được phương trình có dạng ax + b = 0, hơn nữa cũng giải được phương 
trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 nếu b2 – 4ac 0≥ 
 Để giải phương trình bậc hai trong trường hợp 2 4 0b ac− < , sự cần thiết là phải tiến 
xa hơn hệ thống số thực. Một lần nữa, con ngừơi đã tưởng tượng theo và phát triển một 
hệ thống số mới. Đó là hệ thống số phức ( tập số phức) mà trong đó người ta giới thiệu 
“số i” với tính chất riêng của nó là i2 = -1 
Để nhập môn về số phức ta có thể xem qua 2 ví dụ sau: 
Ví dụ 1 : 
Chúng ta đã học về phương trình bậc hai, xét một Parabol đơn giản 
y = x2 + 1 , nó không cắt trục hoành . Điều này có nghĩa là phương trình bậc 2: x2 +1 = 
0 không có nghiệm thực. 
Nó có thể giải bằng số ảo i với i2 = -1. 
x2 + 1 = 0 ⇔ x2 – i2 = 0 ⇔ (x + i).(x - i) = 0 
⇔ x = i hay x = - i 
Ví dụ 2 : 
Xét phương trình bậc hai x2 – 4x + 13 = 0 
Theo công thức nghiệm ta có: 
2 4
2
b b ac
x
a
− ± −
=
4 16 52 4 6 1 4 6
2 2 2
i± − ± − +
= = = hay 4 6
2
i− 
 = 2 + 3i hay 2 – 3i 
 Chúng ta có thể quan sát đồ thị của Parabol có phương trình là: y = x2 – 4x + 13 
• b2- 4ac < 0. 
• đồ thị của nó không cắt trục hoành. 
• Qua 2 ví dụ trên ta có nhận xét: mọi số có dạng a + ib với a, b là các số thực được 
gọi là số phức, ví dụ như 2 + 3i, 2 - 3i ở trên. 
Hệ thống số đã phát triển như ta đã biết từ N qua Z , rồi từ Z qua Q và số vô tỷ sau 
đó được ra đời(như các số 2 , số pi , số e , .... ). Từ đó hình thành tập hợp số thực 
và đến thế kỷ thứ XVIII người ta đã thêm vào số phức . 
Sự hình thành số được mô tả qua bao hàm thức như sau : 
 N⊂ Z ⊂ Q ⊂ R⊂ C 
1.1 Giới thiệu số phức 
Định lí 1 (thừa nhận) 
Tồn tại một tập hợp C chứa R sao cho : 
- C được trang bị một phép toán cộng và một phép toán nhân thoả tất cả các tính 
chất như trong R (có nghĩa là các phép toán thực hiện trên R vẫn đúng trong C) 
- Có một phần tử i sao cho 2 1i = − . 
- Mọi phần tử z trong C được viết dưới dạng : 
z = a + ib. 
a là phần thực của z, ký hiệu Re(z) 
b là phần ảo của z, ký hiệu Im(z) 
Nếu b = Im(z) = 0, z được gọi là số thực 
Nếu a = Re(z) = 0, z được gọi là số thuần ảo 
Chú ý : Sau này, khi cho một số phức z = a + ib ( ),a b∈ r ta sẽ viết gọn là a + ib. 
Sự bằng nhau của hai số phức 
Hai số phức được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi các phần thực và phần ảo tương ứng 
của chúng bằng nhau. 
Nghĩa là: 
Nếu a + ib = x + iy (a,b,x,y là các số thực) thì a = x và b = y 
Đặc biệt: nếu z = a + ib = 0 thì a = b = 0 
1.2 Biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ 

 Xét mặt phẳng ( )1 2, ,O e e
 

 được gọi là mặt phẳng phức (trong đó O là giao điểm 
của hai trục vuông góc nhau (như hình vẽ), 1 2,e e

 


 là 2 vectơ đơn vị vuông góc 
nhau. 

 z = x + iy (x , y ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(x,y). 

 M được gọi là ảnh của z và z được gọi là toạ độ phức (affixe) của điểm M hay 
của vectơ ( ),u x y = OM



 . 

 Ở hình trên , các điểm A , B , C , D lần lượt có toạ độ phức (affixe) là 1 , i , – 2 + 
i , -1 – i . 
Hệ quả 
- Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng toạ độ phức ( cùng affixe). 
- Hai điểm trùng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng toạ độ phức (cùng affixe). 
1.3 Các phép toán 
Tổng và tích 
Xét hai số phức z = a + ib và z’ = a’ + ib’ 
Định lí 1 (ở phần 1.1) cho ta tính 
z + z’ = (a + a’) + i(b + b’) 
z.z’ = (a + ib)(a’ + ib’) = (aa’ – bb’) + i(ab’ + ba’) 
(vì 2 1i = − ) 
Ngoài ra ta còn có – z = – a – ib 
Nên z – z’ = (a – a’) + i(b – b’) 
Định lí 2 
Với mọi số phức z = a + ib khác 0 tồn tại một số phức nghịch đảo z’. Điều đó có nghĩa 
là z’ thỏa z.z’ =1. 
 Kí hiệu z’ =
1
z
 hay 1
1
z
z
−
= 
Ta chứng minh được 
1
2 2 2 2
−
 
= + − + + 
a b
z i
a b a b
Chứng minh : 
Giả sử z = a + ib và số nghịch đảo z-1 = x + iy 
Có nghĩa là : ( )( ) ( ) ( )1 0 1 0+ + = + ⇔ − + + = +a ib x iy i ax by ay bx i i 
⇒
1
0
− =

+ =
ax by
bx ay
Giải hệ trên ta được kết quả : 
2 2
2 2
a
x
a b
b
y
a b

= +

−
=
 +
Vậy 1
2 2 2 2 2 2
−
−
= − =
+ + +
a ib a ib
z
a b a b a b
Ví dụ 
1. Với 4 3z i= + thì z-1 
1 1 1 4 3 4 3
.
4 3 4 3 4 3 25 25
−
= = = = −
+ + −
i i
z i i i
2. Viết các số phức sau dưới dạng đại số 
1
3 4i−
 và 
1
1
i
i
−
+
( )( ) 2 2
1 3 4 3 4 3 4
3 4 3 4 3 4 3 4 25 25
i i
i
i i i
+ +
= = = +
− − + +
và 
( )( )
( )( )
1 11 2
1 1 1 2
i ii i
i
i i i
− −
− −
= = = −
+ + −
 = 0 + (-1)i. 
1.4 Số phức liên hợp 
Định nghĩa 
Cho số phức z = a + ib , số phức có dạng a – ib được gọi là số phức liên hợp cuả số phức 
z , ký hiệu là z . Vậy nếu z = a + ib thì z a ib= − . 
Ví dụ 
1. Các số phức liên hợp của -3 , i , 1 – 5i lần lượt là -3 , -i , 
 và 1 + 5i 
2. Phân tích 2 4 13x x− + thành nhân tử 
Ta có : ( ) ( ) ( )2 22 24 13 4 4 9 2 3x x x x x i− + = − + + = − − 
( )( )2 3 2 3x i x i= − − − + (chú ý : 2 + 3i và 2 – 3i là 2 số phức liên hợp) 
Hệ quả 

 z là số thực ⇔ z = z 

 z là số thuần ảo ⇔ z = - z 

 z z= 

 Nếu z = a + ib thì 2 2.z z a b= + và 1
2 2 2 2
a b
z i
a b a b
−
−
= +
+ +
Minh hoạ bằng đồ thị : 
Xét mặt phẳng phức, với M(z) là ảnh cuả z ta có thể thấy sự đối xứng lẫn nhau của 
các điểm biểu diễn các số phức liên hợp, số phức đối của z. 

 z và z là hai số phức mà ảnh của chúng đối xứng qua đâu ? 

 z và –z là hai số phức mà ảnh của chúng đối xứng qua đâu ? 

 z và –z là hai số phức mà ảnh của chúng đối xứng qua đâu ? 

 z và – z là hai số phức mà ảnh của chúng đối xứng qua đâu ? 
Định lí 3 
Với mọi số phức z và z’, ta luôn có : 
' 'z z z z+ = + ; z z− = − ; ' . 'zz z z= ; 
1 1
' 'z z
 
= 
 
 và 
' '
z z
z z
 
= 
 
 với ' 0z ≠ 
( )nnz z= , { }0n∈N \