Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán - Thể tích khối chóp

 A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o .
BD' hợp với đáy ABCD một góc 600 .
Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
 Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
2) Tam giác BDC' là tam giác đều.
3) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn 
A = 600 .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
2) Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng a/2
3) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
Bµi 2 : thÓ tÝch khèi l¨ng trô (2)
Chó ý:
1, C¸ch t×m kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm ®Õn mÆt ph¼ng.
	2, C¸ch t×m gãc gi÷a ®­êng th¼ng víi mÆt ph¼ng, gi÷a ®­êng th¼ng vµ ®­êng th¼ng. gi÷a hai mÆt ph¼ng.
VD 1. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là và hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ.
VD 2. Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 600 .
	1, Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
	2, Tính thể tích lăng trụ .
VD 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = AD =. Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
VD 4. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = và . Gọi M là trung điểm CC1. CM: MB^MA1 và tính k/c từ A đến (A1BM).
VD 5. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, 
AA1 = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA1 và BC1. CM: MN là đường vuông góc chung của AA1 và BC1. Tính thể tích MA1BC1?
VD 6. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. CM: BM ^ B1C và tính d(BM, B1C).
VD 7. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo 1 thiết diện có diện tích bằng . Tính thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’
VD 8. (ĐH A- 2008) Cho laêng truï ABC.A’B’C’ coù ñoä daøi caïnh beân baèng 2a, ñaùy ABC laø D vuoâng taïi A, AB=a, AC= vaø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A’ leân mp(ABC) laø trung ñieåm cuûa caïnh BC. Tính theå tích A’.ABC vaø cosin goùc giöõa 2 ñöôøng thaúng AA’ vaø B’C’. VD 9. (ĐH D-08). Cho laêng truï ñöùng ABC.A’B’C’ coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng , AB=BC=a, caïnh beân AA’= . Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Tính theo a theå tích cuûa khoái laêng truï ABC.A’B’C’ vaø khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng AM, B’C. 	
VD 10. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và A’B’.
a. Tính thể tích khối đa diện ABA'B’C’.
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và (CEB’)
VD 11.(ĐH khối D-2009): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác 
vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’. Gọi I là giao điểm của AM và A’C. Tính thể tích khối tứ diện IABC và tính khoảng cách từ A đến mp(IBC). 
VD 12. (B- 09) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng
600; tam giác ABC vuông tại C và = 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên (ABC)
trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
Bµi tËp rÌn luyÖn kü n¨ng:
Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp với đáy ABCD một góc 45o . Tính thể tích lăng trụ. 
Bài 2: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ. 
Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và và biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ.
Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách đều A,B,C biết AA' = .Tính thể tích lăng trụ. 
Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt BB'C'C hợp với đáy ABC một góc 60o .
Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'. 
Bài 6: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC 1 góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .
Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.
Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'. 
Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.
Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
Tính thể tích lăng trụ. 
Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của A' trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc 60o .
Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.
Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.
Tính thể tích của hộp. 
Bµi 1 :hÖ to¹ ®é trong kh«ng gian
Chó ý : (§äc vµ viÕt tãm t¾t c¸c néi dung)
1. Hệ trục Oxyz.
2. Tọa độ của véctơ.
3. Tọa độ điểm .
4. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng.
5. Phương trình mặt cầu:
VD 1. Trong hệ tọa độ Oxy cho , , .
Tìm tọa độ các véctơ
 1, 	 2, 	3, 
VD 2. Cho ®iÓm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm M:
	1, Trªn c¸c mÆt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz.	
	2, Trªn c¸c trôc täa ®é: Ox, Oy, Oz
VD 3. Cho ®iÓm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cña ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm M:
	1, Qua gèc täa ®é O 	 2, Qua mÆt ph¼ng Oxy	3, Qua Trôc Oy.
VD 4. Tính 
 1, 	 2,
 3, 	 4, 
VD 5. Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
1, Tính .
2, Chứng tỏ rằng OABC là một hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật đó.
3, Cho S(0;0;5).Chứng tỏ rằng S.OABC là hình chóp.Tính thể tích khối chóp đó
VD 6. Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)
1, Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện. 
2, Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
3, Tính các góc của tam giác ABC.
4, Tính diện tích tam giác BCD.
5, Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
VD 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), 	A’(0;0;3), C’(1;2;3).
1, Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
2, Tính thể tích hình hộp.
3, Chứng tỏ rằng AC’ đi qua trọng tâm của hai tam giác A’BD và B’CD’.
4, Tìm độ dài đường cao DH của D A’C.
VD 8. Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;3;4). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của A lên ba trục tọa độ Ox;Oy,Oz và N1, N2, N3 là hình chiếu của A lên ba mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx.
	1, Tìm tọa độ các điểm M1, M2, M3 và N1, N2, N3.
	2, Chứng minh rằng N1N2 ^ AN3 .
VD 9. 1, Cho ba điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4), C(x; y; 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng
 2, Cho hai điểm A(-1 ; 6 ; 6), B(3 ; -6 ; -2). Tìm M (Oxy): ( MA + MB )min.
 3, Tìm trên Oy điểm cách đều hai điểm A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).
4, Tìm trên mp(Oxz) điểm cách đều ba điểm A(1 ; 1; 1), B(-1 ; 1 ; 0), C(3 ;1 ; -1).
VD 10.Trong không gian Oxyz cho A(1 ; 1 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; 2), D(1 ; 1 ; 1)
1, Chứng minh bốn điểm đó không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.
2, Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD.
3, Tính diện tích các mặt của tứ diện ABCD
4, Tính độ dài các đường cao của tứ diện ABCD
5, Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
VD 11.Cho bốn điểm A(2 ; -1 ; 6), B(-3 ; -1 ; -4), C(5 ; -1 ; 0).
1, Chứng minh ABC là tam giác vuông. 
2, Tính bán kính đường tròn nội, ngọai tiếp tam giác ABC.
3, Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác ABC vẽ từ đỉnh C.
VD 12. Tìm tâm và bán kính các mặt cầu sau:
 1, x2 + y2 + z2 -2x + 4y -8z +12 = 0 	2, x2 + y2 + z2 –6y +2z –6 =0 
 3, 2x2 + 2y2 + 2z2 +8x –4y +2z –3 =0 
VD 13.Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
1, Tâm I(1 ; 0 ; -1), đường kính bằng 8.
2, Đường kính AB với A(-1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2 ; 3)
3, Tâm O(0 ; 0 ; 0) tiếp xúc với mặt cầu tâm I(3 ; -2 ; 4) và bán kính R = 1
4, Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1).
5, Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và tiếp xúc mp(Oxy).
VD 14. Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
 	1, Đi qua A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).
 	2, Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
 	3, Đi qua bốn điểm A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1)
VD 15. Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0.Tìm m để nó là phương trình một mặt cầu và tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
VD 16. Chứng tỏ rằng phương trình luôn là phương trình của một mặt cầu. Tìm để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
Bµi 2 : ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
Chó ý : (§äc vµ viÕt tãm t¾t c¸c néi dung)
1, Phương trình mặt phẳng.
2, Công thức khoảng cách.
 3, Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
VD 1. Lập phương trình mặt phẳng (a) trong các trường hợp sau:
 	1, (a) đi qua M(-3;2;0) có VTPT 
 	2, (a) đi qua M(1;4;2) có cặp VTCP 
 	3, (a) đi qua M(-2;1;1) và //mặt phẳng (b):x –3y +z –2 =0 
 4, (a) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(-1;4;3) ; B(1;2;1)
VD 2. Lập phương trình mặt phẳng (a) trong các trường hợp sau:
 	1, (a) đi qua 3 điểm A(-4;3;1); B(1;-2;2); C(-1;1;3)
 	2, (a) chứa trục Oy và // CD; với C(3;-1;0); D(4;2;-3)
 	3, (a) chứa trục Oz và ^ mặt phẳng (b): x –2y +3z –1 =0 
VD 3. Lập phương trình mặt phẳng (a) trong các trường hợp sau:
 	1, (a) đi qua A(3;-2;2) ; B(1;3;1) và vuông góc mặt phẳng (b): 2x –z +3 =0 
 	2, (a) đi qua A(-1;4;2) và ^ (P):