Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán - Kiến thức cơ bản phần Đại số - Bùi Sang Thọ

hương trình ñối xứng (loại I & II) có nghiệm ( )0 0;x y thì ( )0 0;y x cũng là một nghiệm của 
hệ. Do ñó ñiều kiện ñể hệ phương trình ñối xứng có nghiệm duy nhất là 0 0.x y= 
d) Hệ phương trình 1 1 1
2 2 2
:
a x b y c
a x b y c
+ =

+ =
- Tính các ñịnh thức: 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, , .x y
a b c b a c
D D D
a b c b a c
= = = 
- Nếu 0D ≠ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất tính theo 
.
x
y
D
x
D
D
y
D
 =

 =

- Nếu 
00
00 yx
DD
DD
== 
∪  ≠≠ 
 thì hệ phương trình vô nghiệm. 
 - Nếu 0x yD D D= = = thì hệ phương trình có vô số nghiệm. 
Bài tập 29: Giải các hệ phương trình sau 
Chuyên ñề LTðH – ðại Số 
: Gv Bùi Sang Thọ 
 8 
a) 
2 2
5
5.
x y xy
x y
+ + =

+ =
1 2
2 1
x x
y y
= = 
∪ 
= = 
 b) 
2 2
2 2
2 2
2 2 .
x y x y
y x y x
 − = +

− = +
 0 3x y x y= = ∪ = = −
Bài tập 30: (TSCð – Khối A, B, D – 2008) Tìm giá trị của tham số m ñể hệ phương trình 
1
3
x my
mx y
− =

+ =
 có 
nghiệm ( );x y thỏa mãn 0.xy p 
- Tính các ñịnh thức & tìm ñược nghiệm của hệ là 
2 2
1 3 3
, .
1 1
m m
x y
m m
+ − = = + + 
- Từ ñiều kiện 0xy p thế trực tiếp vào ta ñược 1 3 3.m m− ∪p f 
Bài tập 31: (Dự bị 1 – Khối A – TSðH 2005) Giải hệ phương trình 
( ) ( )
2 2 4
1 1 .
x y x y
x x y y y
 + + + =

+ + + +
- 
2 2 2 2
2 2
4 0 4 0
2.2
x y x y x y x y
Hpt
xyx y x y xy
 + + + − =  + + + − =
⇔ ⇔ 
= −+ + + + = 
- ðặt 
2 0, 22 4 0 2, 2 2, 2
1, 22 1, 2 2, 1.
x y S S PS P S x y x y
xy P S PP x y x y
+ = = = − − + − =  = = − ∪ = − =
⇒ ⇔ ⇒  = = − = −= − = = − ∪ = − =  
Bài tập 32: (ðH Sài Gòn – Khối A – 2007) Giải hệ phương trình 
3
3
2 2
2 2.
x y x
y x y
 = + +

= + +
- Ta có: 
( )( ) ( )
3
33
2 23 3
2 2
2 2
2 22 2
2 2 2 2
1 0
x y x
x y x x yx y x
x y x xy y x yy x y x y x
x xy y
 = + +

 = + + = = + +  
⇔ ⇔  − + + = − − = + + = + +    + + + =
- Giải hệ 
3 1 22 2
 cho ta 
1 2.
x xx y x
y yx y
= − = = + +  
∪  
= − ==  
- Hệ 
3
2 2
2 2
1 0
x y x
x xy y
 = + +

+ + + =
 vô nghiệm vì 2 2 1 0x xy y+ + + = có ( )23 1 0y∆ = − + p nên vô nghiệm. 
Bài tập 33: (Cð Kinh Tế ðối Ngoại – Khối A, D) ðịnh m ñể hệ phương trình 
2 2 1
x y xy m
x y xy m
+ + =

+ = −
vô nghiệm. 
- ðặt 
x y S
xy P
+ =

=
 thì hệ phương trình thành 
1 1
1 1 1.
S P m S S m
SP m P m P
+ = = = −  
⇔ ∪  
= − = − =  
- Hệ vô nghiệm 
( )
( )
2
2
1 4 1 0
4 0 5 4 3.
1 4 0
m
S P m
m
 − −
⇔ − ⇔ ⇔
− −
p
p p p
p
Bài tập 34: (TSðH – Khối B – 2003) Giải hệ phương trình 
2
2
2
2
2
3
2
3 .
y
y
x
x
x
y
 +
=

+ =

- Nhận xét: Do vế phải dương nên ñiều kiện của x, y là 0, 0.x yf f 
Chuyên ñề LTðH – ðại Số 
: Gv Bùi Sang Thọ 
 9 
- ( )( )
2 2
2 2
3 2 0
3 0 ... 1.
3 03 2
yx y x y
Hpt x y xy x y x y
xy x yxy x
 = + − =
⇔ ⇒ − + + = ⇔ ⇔ ⇔ = =  + + == + 
CÁC BÀI TOÁN TRONG ðỀ TSðH & Cð 
Bài tập 35: Giải các phương trình sau: 
 a) (TSðH – Khối D – 2006) ( )22 1 3 1 0 .x x x x− + − + = ∈ ¡ 1, 2 2x x= = − 
b) (Cð Tài Chánh – Hải Quan – 2007) 3 7 1 2.x x+ − + = 1, 3x x= − = 
c) (TSðH – Khối D – 2005) 2 2 2 1 1 4.x x x+ + + − + = 3x = 
d) (TSðH – Khối A – 2002) 24 4 2 12 2 16.x x x x+ + − = − + − 5x = 
e) (Dự bị 1 – Khối B – TSðH 2005) 3 3 5 2 4.x x x− − − = − 2, 4x x= = 
f) (Dự bị 1 – Khối B – TSðH 2006) 23 2 1 4 9 2 3 5 2.x x x x x− + − = − + − + 2x = 
g) (Dự bị 2 – Khối D – TSðH 2006) 22 7 2 1 8 7 1.x x x x x+ − = − + − + − + 4, 5x x= = 
h) (ðH Sài Gòn – Khối B – 2007) 2 23 5 10 5 .x x x x− + = − 2, 3x x= = 
Bài tập 36: Giải các bất phương trình 
a) (Cð Kinh Tế TPHCM) 1 1 4.x x− + + ≤ 
65
1
16
x≤ ≤ 
b) (Cð Bán Công Hoa Sen – Khối D – 2007) 2 4 3.x x x− −f 
9
2
x f 
 c) (TSðH – Khối A – 2005) 5 1 1 2 4.x x x− − − −f 2 10x≤ ≤ 
 d) (TSðH – Khối A – 2004) 
( )22 16 7
3 .
3 3
x x
x
x x
− −
+ −
− −
f 10 34x −f 
 e) (TSðH – Khối D – 2002) ( )2 23 2 3 2 0.x x x x− − − ≥ 1 3 2
2
x x x≤ − ∪ ≥ ∪ = 
 f) (Dự bị 2 – Khối B – TSðH 2005) 28 6 1 4 1 0.x x x− + − + ≤ 
1 1
4 2
x x= ∪ ≥ 
 g) (Dự bị 1 – Khối D – TSðH 2005) 2 7 5 3 2.x x x+ − − ≥ − 
2 14
1 5
3 3
x x≤ ≤ ∪ ≤ ≤ 
 h) (ðH Cao Thắng – 2007) Giải bất phương trình 2 25 10 1 7 2 .x x x x+ + ≥ − − 3 1x x≤ − ∪ ≥ 
Bài tập 37: Giải các hệ phương trình sau 
 a) (TSðH – Khối D – 2008) ( )
2 22
, .
2 1 2 2
xy x y x y
x y
x y y x x y
 + + = −
∈
− − = −
¡ 
5
2
x
y
=

=
b) (TSðH – Khối A – 2006) 
3
.
1 1 4
x y xy
x y
 + − =

+ + + =
3
3
x
y
=

=
c) (TSðH – Khối B – 2002) 
3
2.
x y x y
x y x y
 − = −

+ = + +
1 3 2
1 1 2
x x
y y
= = 
∪ 
= = 
0
. 0 0
0
B
A B B
A
=

≥ ⇔  ≥
f 
Chuyên ñề LTðH – ðại Số 
: Gv Bùi Sang Thọ 
 10 
d) (Dự bị 2 – Khối A – TSðH 2005) 
2 1 1
3 2 4.
x y x y
x y
 + + − + =

+ =
2
1
x
y
=

= −
e) (Cð Bán Công Hoa Sen – Khối A – 2007) 
2 2
6
20.
x y y x
x y y x
 + =

+ =
1 4
4 1
x x
y y
= = 
∪ 
= = 
f) (TSðH – Khối A – 2008) 
( )
2 3 2
4 2
5
4
5
1 2 .
4
x y x y xy xy
x y xy x
 + + + + = −

 + + + = −

3
3
5 41
3 2 25 16
xx
y y
 == 
∪ 
= − = − 
g) (TSðH – Khối B – 2008) 
4 3 2 2
2
2 2 9
.
2 6 6
x x y x y x
x xy x
 + + = +

= +
4
17 4
x
y
= −

= −
h) (TSðH – Khối A – 2003) 
3
1 1
2 1.
x y
x y
y x
 − = −

 = +
1 1 5
1 2
x
x y
y
= − ±
∪ = =
=
k) (Dự bị 1 – Khối A – TSðH 2006) 
( )
( )( )
( )
2
2
1 4
, .
1 2
x y y x y
x y
x y x y
 + + + =
∈
+ + − =
¡ 
1 2
2 5
x x
y y
= = − 
∪ 
= = 
l) (Dự bị 2 – Khối B – TSðH 2006) 
( )( )
( )( )
( )
2 2
2 2
13
, .
25
x y x y
x y
x y x y
 − + =
∈
+ −
¡ 
2 2
3 3
x x
y y
= = − 
∪ 
= = − 
m) (Dự bị 1 – Khối D – TSðH 2006) 
( )
( )
( )
2 2
22 2
3
, .
7
x xy y x y
x y
x xy y x y
 − + = −
∈
+ + = −
¡ 
0 2 1
0 1 2
x x x
y y y
= = = −  
∪ ∪  
= = = −  
7. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit: 
a) Phương trình mũ: 
- Dạng cơ bản: Với 0 1a ≠p thì ( ) ( ) log .f x aa b f x b= ⇔ = 
- ðưa về cùng cơ số: Với 0 1a ≠p thì ( ) ( ) ( ) ( ).f x g xa a f x g x= ⇔ = 
- ðặt ẩn phụ: ðặt ( ) , 0.xt a tϕ= f ðưa về phương trình ẩn t ñã biết cách giải. 
- ðoán nghiệm & chứng minh nghiệm ñó là duy nhất: Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ. 
b) Bất phương trình mũ: 
- Nếu 1a f thì ( ) ( ) ( ) ( ).f x g xa a f x g x⇔f f 
- Nếu 0 1ap p thì ( ) ( ) ( ) ( ).f x g xa a f x g x⇔f p 
c) Phương trình lôgarit: ðiều kiện tồn tại ( )loga f x là 
( ) 0
0 1.
f x
a


≠
f
p
- Dạng cơ bản: Với 0 1a ≠p thì ( ) ( )log .ba f x b f x a= ⇔ = 
- ðưa về cùng cơ số: Với 0 1a ≠p thì ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
log log
.
a a
f x g x
f x g x
f x g x
 ∪
= ⇔ 
=
f f
- ðặt ẩn phụ: ðặt ( )log .at f x= ðưa về phương trình ẩn t ñã biết cách giải. 
Chuyên ñề LTðH – ðại Số 
: Gv Bùi Sang Thọ 
 11 
- ðoán nghiệm & chứng minh nghiệm ñó là duy nhất: Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số lôgarit. 
d) Bất phương trình lôgarit: 
- Nếu 1a f thì ( ) ( )
( )
( ) ( )
0
log log
.
a a
g x
f x g x
f x g x

⇔ 

f
f
f
- Nếu 0 1ap p thì ( ) ( )
( )
( ) ( )
0
log log
.
a a
f x
f x g x
f x g x

⇔ 

f
f
p
Bài tập 38: Giải các phương trình sau 
 a) (ðH Kế Toán HN – 1999) 1 4 24 2 2 16.x x x+ + ++ = + 2 0xt x= ⇒ = 
b) (ðHDL Kỹ Thuật Công Nghệ - Khối D – 1999) ( ) ( )2 3 2 3 4.x x− + + = ( )2 3 1
x
t x= − ⇒ = ± 
c) (ðH Cần Thơ – Khối D – 1997) 3.16 2.81 5.36x x x+ = Chia hai vế cho 16 0, 1 2x x x⇒ = = 
d) (ðH An Ninh – Khối D, G – 2000) ( )
27
6. 0,7 7.
100
x
x
x
= + ( ) 0,70,7 log 7
x
t x= ⇒ = 
e) (ðH Tổng Hợp – Khối A – 1995) 23 4 5 .
x
x − = 2x = 
f) (ðH Bách Khoa HN – 1999) ( ) ( )
2lg 100lg 10 lg4 6 2.3 .
xx x− = 
HD: 
lg lg 2lg lg
lg lg lg 24 6 2 24.4 6 18.9 0 4 18 0 4. 18 0 10 .
9 9 3 3
x x x x
x x xpt x −
       ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇒ =       
       
g) ( ðHQG HN – Khối D – 2000) 8.3 3.2 24 6 .x x x+ = + 
HD: ( ) ( ) ( )( )8.3 3.2 8.3 3 .2 8 3 3 2 . 3 3 3 3 2 8 0 1, 3.x x x x x x x x xpt x x⇔ + = + ⇔ − = − ⇔ − − = ⇒ = = 
h) (Bộ ñề TSðH) ( )2 23.25 3 10 .5 3 0.x xx x− −+ − + − = 2 55 2, 2 log 3xt x x−= ⇒ = = − 
Bài tập 39: Giải các phương trình sau 
 a) (ðHDL Kỹ Thuật Công Nghệ - 1999) ( ) ( )9 3log 8 log 26 2 0.x x+ − + + = 1, 28x x= = 
b) (ðH Huế - Khối D – 1999) ( )4log 2 .log 2 1.xx + = 
HD: 
( ) ( ) 2 2
lg 2 lg 2
. 1 lg 2 2lg lg 2 2.
lg 4 lg
x
pt x x x x x x
x
+
⇔ = ⇔ + = = ⇔ + = ⇔ = 
c) (ðH An Giang – Khối D – 2000) ( ) ( )4 2 2 4log log log log 2.x x+ = 
HD: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
log log log log 2 log log 1 log log 2 ... 16.
2 2 2
pt x x x x x
 ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ ⇔ = 
 
d) (ðH Bách Khoa HN – Khối A – 2000) ( ) ( )2 34 82log 2 2 log 4 log 4 .x x x+ + = − + + 
HD: ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2log 2 log 4 log 4 log 4 log 4 2 log 16 2,2 2 6.pt x x x x x x⇔ + + = − + + ⇔ + = − ⇔ = − 
e) (ðH Huế - Khối A – 2000) ( )2log 9 2 3.xx + − = 
HD: ( ) 3 32 2log 9 2 log 2 9 2 2 ... 0, 3.x x x xpt x x− −⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ = = 
f) (ðHQG HN – Khối B – 2000) ( )5 7log log 2 .x x= + 
HD: 
( )lg 2lg
0.
lg 5 lg 7
xx
pt
+
⇔ − = Chứng minh 5x = là nghiệm duy nhất. 
Nhớ rằng: 
2log 2 log , 0a ax x x= ≠
Chuyên ñề LTðH – ðại Số 
: Gv Bùi Sang Thọ 
 12 
g) 1 lg 0,01.xx − = (Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế rồi dùng ẩn phụ lgt x= ) 
h) 
1
5 5
1
log 5 125 log 6 1 .
2
x
x
 
+ = + + 
 
Bài tập 40: Giải các bất phương trình sau 
 a) (ðH GTVT – 1997) 12.4 2 0.x x+− + f 0x p 
b) (ðH An Giang – Khối D – 2000) ( ) ( ) 12,5 2. 0, 4 1,6 0.x x+− + p ( ) ( ) 12,5 0, 4 1x xt t x−= ⇒ = ⇒ −p 
c) (ðH Y Dược TPHCM – 2001) 
2 1
1
1 1
3 12.
3 3
x x
+
   +   
   
f 
1
1
1 0
3
x
t x
 = ⇒ − 
 
p p 
d) (ðH Bách Khoa – 1995) ( )22log 3 2.x x+ ≤ 4 3 0 1x x− ≤