Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán - Khảo sát hàm số và ứng dụng

k(x – xo) + yo. 
+ (d) // (D) : y = ax + b : ị (d) : y = ax + m. 
+ (d) ^ (D) : y = ax + b (a ạ 0) : ị (d) : y = x + m
+ 	(C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trỡnh sau cú nghiệm : . Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm.
1.3.Bài toỏn số lượng tiếp tuyến : tỡm M ẻ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đỳng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ẻ (C/) Û g(xo,yo) = 0; (d) qua M: y = k(x – xo) + yo (d) tx (C) : (1). 
Thế k vào (1) được phương trỡnh ẩn x, tham số xo hay yo. 
Đặt đk để pt cú n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tỡm được xo hay yo.
2. Các ví dụ.
Vd 1: Cho hàm số: y = 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2; 0). 
Vd 2: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số: y = (*) (m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2
2. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x - y = 0
Vd 3: Cho hàm số: y = (1) (m là tham số)
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 1/2
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: y = 4x + 2.
Vd 4: Cho hàm số: y = 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 
Vd 5: Cho hàm số: y = 	(1)	có đồ thị (C)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
	2) Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) tại tâm đối xứng và chứng minh rằng D là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 
Hd: Chứng minh tiếp tuyến tại 1 điểm (x0)bất kì luôn có f'(x0) > f'(điểm uốn).
Vd 6: Cho hàm số: y = 
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
 	2) Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số (ở phần 1). 
Vd 7: Cho hàm số: y = -x4 + 2(m + 1)x2 - 2m - 1
	1) Xác định tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm lập thành một cấp số cộng.
	2) Gọi (C) là đồ thị khi m = 0. Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị (C). 
Vd 8: 	Cho hàm số: y = 	
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Vd 9: Cho hàm số: y = 	(1)
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số (1). 
 2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. 
II. Các bài toán về biện luận số nghiệm.
1. Kiến thức cơ bản.
 Vd1:	Cho hàm số: y = (x - 1)(x2 + mx + m) (1) (m là tham số)
 	1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
 	2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 4. 
Vd 2: 1) K/sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số: y = 2x3 - 3x2 - 1
 2) Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm M(0 ; -1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
Vd 3: Cho hàm số: y = x3 - (2m + 1)x2 - 9x (1)
 1) Với m = 1;
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 
 b) Cho điểm A(-2; -2), tìm toạ độ điểm B đối xứng với điểm A qua tâm đối xứng của đồ thị (C).
 2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có các hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Chú ý: Bài toỏn đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm phõn biệt cú hoành độ lập thành 1 cấp số cộng .
B1:Phương trỡnh hoành độ giao điểm của ( C) với trục hoành là ax4 + bx2 + c = 0 (1).
 Đặt t = x2 (điều kiện :t > 0) .Khi đú phương trỡnh (1) trở thành : at2 + bt + c = 0 (2).
 Điều kiện để (C ) cắt trục hoành tại 4 điểm thỡ phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm phõn biệt phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm dương phõn biệt 
B2:Giả sử (2) cú hai nghiệm là 0 < n < m.thỡ phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm là : .
 Để 4 nghiệm lập thành 1 cấp số cộng thỡ m = 9n (3) .
B3:Ap dụng định lớ viet : (4) .
 Kết hợp (3) và (4) để tỡm m và n .Từ đú suy ra cấp số cộng : .
Vd 4: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + 1	(1)
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
 2) Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-3 ; 1) có hệ góc là k. Xác định k để (d) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt. 
Vd 5: Cho đường cong (Cm): y = x3 + mx2 - 2(m + 1)x + m + 3
 và đường thẳng (Dm): y = mx - m + 2	m là tham số.
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C-1) của hàm số với m = -1.
 2) Với giá trị nào của m, đường thẳng (Dm) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt? 
Vd 6: Cho hàm số: y = -x3 + 3x2 - 2
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 	2) Tìm t để phương trình: có 6 nghiệm phân biệt. 
Chú ý: đồ thị hàm số cú chứa dấu giỏ trị tuyệt đối .
1) Hàm số y = f(|x|) .
Phương phỏp : 
B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) .
B2: Giữ nguyờn phần x ≥ 0 , lấy đối xứng phần x > 0 qua Oy 
2) Hàm số y = |f(x)| .
Phương phỏp :
B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) .
B2: Giữ nguyờn phần y ≥ 0 , lấy đối xứng phần y <0 qua Ox3) Hàm số y = |f(|x|)| .
Phương phỏp :
B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) .
B2: Giữ nguyờn phần x ≥ 0 , lấy đối xứng phần x >0 qua Oy
B3: Giữ nguyờn phần y ≥ 0 , lấy đối xứng phần y < 0qua Ox
Vd 7: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (x + 1)2(x - 2).
 	2) Cho đường thẳng D đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc là k. Hãy xác định tất cả giá trị của k để đường thẳng D cắt đồ thị của hàm số sau tại bốn điểm phân biệt:
 y = . 
Vd 8: Cho hàm số: y = f(x) = x3 + ax + 2, 	(a là tham số)
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = -3.
 	2) Tìm tất cả giá trị của a để đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm. 
Vd 9: Cho hàm số: y = x3 - 6x2 + 9x
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 
 2) a) Từ đồ thị hàm số đã cho hãy suy ra đồ thị của hàm số: y = 
 	b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
Vd 10: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4
Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 
Vd 11: Cho hàm số y = x3 - 3x + 2
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 2) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Vd 12 : Cho hàm số: y = 	(1)	có đồ thị (C)
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
 	 2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất. 
Vd 13. Cho hàm số y = x3 + mx2 - m
a) Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
b) Khi nào đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phõn biệt
III. tính đơn điệu và cực trị của hàm số.
1. Kiến thức cơ bản.
1.1. Tính đơn điệu của hàm số.
	+ Nếu y' > 0/(a; b) thì hàm số đồng biến trên (a; b). Đồ thị là một đường liền đi lên từ trái sang phải.
	+ Nếu y' < 0 /(a; b) thì hàm số nghịch biến trên (a; b). Đồ thị là một đường liền đi xuống từ trái sang phải.
1.2. Cực trị.
	1.2.1. Dấu hiệu 1.
	Chú ý: f cú đỳng n cực trị Û f/ đổi dấu n lần.
	1.2.2. Dấu hiệu 2. 
Ÿ f đạt cực đại tại xo Û ; 
Ÿ f đạt cực tiểu tại xo Û 
Chú ý: +) Hàm bậc 3 cú cực trị Û phương trỡnh y’ = 0 cú 2 nghiệm phõn biệt 
	*Tớnh yCĐ.yCT : Ta có:y = y/ (Ax + B) + (Cx + D); 
=> yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dựng Viốte với pt y/ = 0.
	* Đường thẳng đi qua điểm CĐ và CT có phương trình y = Cx + D
2/ Hàm trựng phương: y = ax4 + bx2 + c cú 1 cực trị Û ab ³ 0, 3 cực trị Û ab < 0
2. Ví dụ.
Vd1. Cho hàm số: y = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + 1	(1)
 1) Xác định m sao cho hàm số (1) đồng biến trên tập xác định.
 2) Xác định m sao cho hàm số (1) có một cực đại và một cực tiểu. Tính toạ độ của điểm cực tiểu. 
Vd 2: Cho hàm số: y = (1)	(m là tham số) Xác định m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng: 0 < x < 3
Vd 3: Cho hàm số: y = (1)
	1) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (1; +)
	2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1, gọi đồ thị của hàm số này là (C).
	3) Tìm hai điểm A, B thuộc (C) sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d): x + 3y - 4 = 0. 
Vd 4: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 
 	2) Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang. 
Vd 5: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m. 	Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên (-1; 1).
 Vd 6: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + m. Tìm tất cả các giá trị của hàm số để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng1. 
Vd 7: Cho hàm số: y = x3 + 3mx2 + 3(m2 - 1)x + m3 - 3m
 	 Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu; đồng thời chứng minh rằng khi m thay đổi các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn luôn chạy trên hai đường thẳng cố định. 
Vd 8: Cho hàm số: y = -x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
 	2) Tìm k để phương trình: -x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
 	3) Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số trên. 
Vd 9: Cho hàm số: y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 (1)
 	 Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. 
Vd 10: Cho hàm số: y = -x3 + 3x2 + 3(m2 -1)x - 3m2 - 1 (1) m là tham số
Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc toạ đọ O.
Vd 11: Cho hàm số: y = (x - m)3 - 3x (m là tham số)
 Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Vd 12: Cho hàm số y = f(x) = mx3 + 3mx2 - (m - 1)x - 1
 Xỏc định m để hàm y = f(x) khụng cú cực trị
Vd 13: Cho y = f(x) = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m (m + 1)x + 1(1)
a) Tỡm quĩ tớch điểm cực đại
b) Tỡm quĩ tớch trung điểm đoạn nối điểm CĐ & CT của đồ thị.
Giải. 
a) y’ = 6[x2 - (2m + 1)x + m (m + 1)], y’ = 0 Û 
Đú là hai nghiệm phõn biệt và rừ ràng
y’(x)0