Chuyên đề Ôn thi Đại học môn Toán - Cực trị của hàm số

	CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A.Lý thuyết:
	1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên tập D và xo D
	a. xo được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại 1 khoảng (a; b) chứa điểm 
xo sao cho (a; b) D và f(x) < f(xo) với mọi x (a; b) \ {xo}. Khi đó f(xo) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
b. xo được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại 1 khoảng (a; b) chứa điểm xo sao cho (a; b) D và f(x) > f(xo) với mọi x (a; b) \ {xo}. Khi đó f(xo) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. GTCĐ và GTCT được gọi chung là cực trị của hàm số f. Điểm (xo; f(xo)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
	2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị: 
	Định lý 1 : Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm xo. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại xo thì 
f’(xo) = 0. 
	3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
	Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm xo và có đạo hàm 
trên các khoảng (a; xo) và (xo; b). Khi đó:
Nếu f’(x) 0 với mọi x(xo; b) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xo.
Nếu f’(x) > 0 với mọi x (a; xo) và f’(x) < 0 với mọi x(xo; b) thì hàm số đạt cực đại tại điểm xo 
Quy tắc I để tìm cực trị:
B1: Tìm f’(x)
B2: Tìm các điểm xi (i = 1; 2; 3...) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
B3: Xét dấu f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại điểm xi 
Định lý 3: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a; b) chưa điểm xo, f’(xo) = 0 và có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm xo.
Nếu f’’(xo) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xo
Nếu f’’(xo) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xo.
Quy tắc II để tìm cực trị:
B1: Tìm f’(x)
B2: Tìm các nghiệm xi (i = 1; 2; 3....) của phương trình f’(x) = 0 
B3: Tìm f’’(x) và tính f’’(xi)
Nếu f’’(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi
Nếu f’’(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.
Bài tập:
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
f(x) = x3 – x2 – x – 2 
f(x) = – x3 + x2 
f(x) = x4 – 2x2 + 5 
f(x) = – x4 – 2x3 – x2 + 1	
f(x) = 
f(x) = 
f(x) = 
f(x) = x
(x) = (x – 3)
Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số:
f(x) = x4 – 4x3 – 8x2 + 2 
f(x) = cos2x – x
f(x) = sinx + cosx
 f(x) = 2sinx – cos2x + 3
Bài 3: Cho hàm số y = 
Tìm m để:
Hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hàm số đạt cực trị tại 2 điểm x1; x2 thỏa mãn x1 < - 1 < x2 
Bài 4: Cho hàm số y = 3x4 + 4mx3 + 6mx2 + 24mx + 1
CMR: Hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại 
Tìm m để điểm cực tiểu thuộc [- 2; 2]
Bài tập về nhà:
Bài 1: Tìm cực trị của hàm số:
a. f(x) = 2x3 + x2 – 8x – 2 	
b. y = - x3 + 3x2 – 3x + 2 
y = 	
 y = 
y = 	
 y = sin2x 
Bài 2: Chứng minh rằng hàm số: y = x3 – mx2 + (m2 – 1)x – 1 luôn đạt cực đại tại x1 và đạt 
cực tiểu tại x2 và hiệu x1 – x2 không phụ thuộc vào m
Bài 3: Tìm m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 có cực đại và cực tiểu.	
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (Tiếp)
Cách tính giá trị cực trị:
Nếu xo là cực trị của hàm số cã th× 
Với hàm số đa thức thì lấy f(x) chia cho f’(x) thì phân dư của phép chia là giá trị cực trị của hàm số.
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số:
	a. y = x6(4 – x)2
	b. y = 
	c. y = 
	d. y = 
Bài 2: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 1. Khi đó hàm số đạt 
CĐ hay CT. Tính giá trị cực trị đó.
Bài 3: CMR: hàm số không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt 
cực đại tại điểm đó
Bài 4: Tìm a, b để hàm số đạt cực đại bằng 6 khi x = 
Bài 5. Tìm các giá trị của m để h/s có cực đại, cực tiểu. Khi ®ã 
T×m m ®Ó hai ®iÓm cùc trÞ n»m vÒ hai phÝa trôc Oy.
T×m m ®Ó hai ®iÓm cùc trÞ n»m vÒ hai phÝa trôc Ox
Bài 6. Cho h/s . CMR víi mäi m, h/s lu«n cã C§, CT vµ kho¶ng c¸ch gi÷a 
hai ®iÓm C§, CT lµ kh«ng ®æi.
Bài 7. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó h/s cã C§, CT tho¶ m·n .
Bµi tËp VÒ nhÀ 
Bµi 1. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c hµm sè sau cã cùc trÞ:
a. 
b. 
c. 
Bµi 2. Cho hµm sè 
 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sau cã C§, CT hai điểm cực trị của hàm số nằm về 2 
phía của trục Ox
Bµi 3. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó h/s cã C§, CT vµ | yC§ - yCT | > 8.
Bµi 4. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó h/s cã C§, CT vµ hai ®iÓm C§, CT n»m vÒ 
hai phÝa trôc Oy.