Chuyên đề Nhị thức Newton

10
0 1 8 9
9 9 9 9
4 3 3 2 3 2 3 2C C ... C C
10 2 9 10
- - - -Þ = + + + + . 
Vậy 
10 104 3S
10
-= . 
Ví dụ 14. Rút gọn tổng 
2 3 4 n n 1
0 1 2 3 n 1 n
n n n n n n
2 2 2 2 2S 2C C C C ... C C
2 3 4 n n 1
+
-= + + + + + +
+
. 
Giải 
Ta có khai triển: 
( )n 0 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n nn n n n n n1 x C C x C x C x ... C x C x- -+ = + + + + + + 
( )
2 2 2 2 2
n 0 1 2 2 n n
n n n n
0 0 0 0 0
1 x dx C dx C xdx C x dx ... C x dxÞ + = + + + +ò ò ò ò ò 
( )
2n 1 2 2 22 2 n n 1
0 1 n 1 n
n n n n
0 0 0 00
1 x x x x xC C ... C C
n 1 1 2 n n 1
+ +
-+Þ = + + + +
+ +
2 3 n n 1 n 1
0 1 2 n 1 n
n n n n n
2 2 2 2 3 12C C C ... C C
2 3 n n 1 n 1
+ +
- -Þ + + + + + =
+ +
. 
Vậy 
n 13 1S
n 1
+ -=
+
. 
Ví dụ 15. Rút gọn tổng sau: 
2 3 100 101
0 1 2 99 100
100 100 100 100 100
2 1 2 1 2 1 2 1S 3C C C ... C C
2 3 100 101
- + - += + + + + + . 
Giải 
Ta có khai triển: 
( )100 0 1 2 2 99 99 100 100100 100 100 100 1001 x C C x C x ... C x C x+ = + + + + + 
( )
2
100
1
1 x dx
-
Þ + =ò
2 2 2 2
0 1 99 99 100 100
100 100 100 100
1 1 1 1
C dx C xdx ... C x dx C x dx
- - - -
+ + + +ò ò ò ò . 
 8
( )
2101 2 2 22 2 100 101
0 1 99 100
100 100 100 100
1 1 1 11
1 x x x x xC C ... C C
101 1 2 100 101- - - --
+
Þ = + + + + 
101 2 100 101
0 1 99 100
100 100 100 100
3 2 1 2 1 2 13C C ... C C
101 2 100 101
- - +Þ = + + + + . 
Vậy 
1013S
101
= . 
III. Tìm số hạng trong khai triển nhị thức Newton 
1. Dạng tìm số hạng thứ k 
Số hạng thứ k trong khai triển n(a b)+ là k 1 n (k 1) k 1nC a b
- - - - . 
Ví dụ 16. Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển 25(2 3x)- . 
Giải 
Số hạng thứ 21 là 20 5 20 5 20 20 2025 25C 2 ( 3x) 2 .3 C x- = . 
2. Dạng tìm số hạng chứa xm 
i) Số hạng tổng quát trong khai triển n(a b)+ là k n k k f(k)nC a b M(k).x
- = (a, b chứa x). 
ii) Giải phương trình 0f(k) m k= Þ , số hạng cần tìm là 0 0 0
k n k k
nC a b
- và hệ số của số hạng chứa xm 
là M(k0). 
Ví dụ 17. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
18x 4
2 x
æ ö÷ç + ÷ç ÷çè ø
. 
Giải 
Số hạng tổng quát trong khai triển ( )
18
181 1x 4 2 x 4x
2 x
- -æ ö÷ç + = +÷ç ÷çè ø
 là: 
( ) ( )18 k kk 1 1 k 3k 18 18 2k18 18C 2 x 4x C 2 x
-- - - -= . 
Số hạng không chứa x ứng với 18 2k 0 k 9- = Û = . 
Vậy số hạng cần tìm là 9 918C 2 . 
Ví dụ 18. Tìm số hạng chứa x37 trong khai triển ( )202x xy- . 
Giải 
Số hạng tổng quát trong khai triển ( )202x xy- là: 
k 2 20 k k k k 40 k k
20 20C (x ) ( xy) ( 1) C x y
- -- = - . 
Số hạng chứa x37 ứng với 40 k 37 k 3- = Û = . 
Vậy số hạng cần tìm là 3 37 3 37 320C x y 1140x y- = - . 
 9
Ví dụ 19. Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển ( )1021 x x+ + . 
Giải 
Số hạng tổng quát trong khai triển ( ) ( )10 1021 x x 1 x 1 xé ù+ + = + +ë û là k k k10C x (1 x)+ . 
Suy ra số hạng chứa x3 ứng với 2 k 3£ £ . 
+ Với k = 2: 2 2 2 2 2 3 410 10C x (1 x) C (x 2x x )+ = + + nên số hạng chứa x
3 là 2 3102C x . 
+ Với k = 3: 3 3 310C x (1 x)+ có số hạng chứa x
3 là 3 310C x . 
Vậy số hạng cần tìm là ( )3 2 3 310 10C 2C x 210x+ = . 
Cách khác: 
Ta có khai triển của ( ) ( )10 1021 x x 1 x 1 xé ù+ + = + +ë û là: 
0 1 2 2 2 3 3 3 10 10 10
10 10 10 10 10C C x(1 x) C x (1 x) C x (1 x) ... C x (1 x)+ + + + + + + + + . 
Số hạng chứa x3 chỉ có trong 2 2 210C x (1 x)+ và 
3 3 3
10C x (1 x)+ . 
+ 2 2 2 2 2 3 4 2 310 10 10C x (1 x) C (x 2x x ) 2C x+ = + + Þ . 
+ 3 3 3 3 3 4 5 6 3 310 10 10C x (1 x) C (x 3x 3x x ) C x+ = + + + Þ . 
Vậy số hạng cần tìm là 2 3 3 3 310 102C x C x 210x+ = . 
3. Dạng tìm số hạng hữu tỉ 
i) Số hạng tổng quát trong khai triển n(a b)+ là 
m r
k n k k k p q
n nC a b C . .
- = a b ( , a b là hữu tỉ). 
ii) Giải hệ phương trình 0
m
p (k , 0 k n) k
r
q
ìïï Îïïï Î £ £ Þíïï Îïïïî
¥
¥
¥
. 
Số hạng cần tìm là 0 0 0k n k knC a b
- . 
Ví dụ 20. Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển 
10
31 5
2
æ ö÷ç + ÷ç ÷çè ø
. 
Giải 
Số hạng tổng quát trong khai triển 
101 1
10 2 331 1 2 .55
2 2
æ ö÷ç ÷æ ö ç + ÷ç÷ç ÷+ =÷ çç ÷÷ çç ÷è ø ç ÷ç ÷çè ø
 là 
k k
k 2 3
10
1 C 2 .5
32
. 
Số hạng hữu tỉ trong khai triển thỏa điều kiện: 
( )
k
k 02 k , 0 k 10
k k 6
3
ìïï Î éï =ï êÎ £ £ Þí êï =êï ëÎïïî
¥
¥
¥
. 
+ Với k = 0: số hạng hữu tỉ là 010
1 1C
32 32
= . 
 10
+ Với k = 6: số hạng hữu tỉ là 6 3 210
1 2625C 2 .5
32 2
= . 
Vậy số hạng cần tìm là 1
32
 và 2625
2
. 
4. Dạng tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Newton 
Xét khai triển n(a bx)+ có số hạng tổng quát là k n k k knC a b x
- . 
Đặt k n k kk nu C a b , 0 k n
-= £ £ ta có dãy hệ số là { }ku . 
Để tìm số hạng lớn nhất của dãy ta thực hiện các bước sau: 
Bước 1: giải bất phương trình k
k 1
u
1
u +
³ ta tìm được k0 và suy ra 
0 0k k 1 n
u u ... u+³ ³ ³ . 
Bước 2: giải bất phương trình k
k 1
u
1
u +
£ ta tìm được k1 và suy ra 
1 1k k 1 0
u u ... u-³ ³ ³ . 
Bước 3: số hạng lớn nhất của dãy là { }
0 1k k
max u , u . 
Chú ý: 
Để đơn giản trong tính toán ta có thể làm gọn như sau: 
Giải hệ bất phương trình k k 1 0
k k 1
u u
k
u u
+
-
ì ³ïï Þíï ³ïî
. Suy ra hệ số lớn nhất là 0 0 0k n k knC a b
- . 
Ví dụ 21. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển ( )171 0, 2x+ . 
Giải 
Khai triển ( )171 0, 2x+ có số hạng tổng quát là k k k17C (0, 2) x . 
Ta có: 
( ) ( )
( ) ( )
k k k 1 k 1
17 17
k k k 1 k 1
17 17
17 ! 17 !5
C (0, 2) C (0, 2) k ! 17 k ! (k 1) ! 16 k !
17 ! 17 !C (0, 2) C (0, 2) 5
k ! 17 k ! (k 1) ! 18 k !
+ +
- -
ìïï ³ïìï ï³ - + -ïï ïÛí íï ï³ï ïï ³î ïï - - -ïî
5(k 1) 17 k
2 k 3
18 k 5k
ì + ³ -ïïÛ Û £ £íï - ³ïî
. 
+ Với k = 2: hệ số là 2 217C (0, 2) 5, 44= . 
+ Với k = 3: hệ số là 3 317C (0, 2) 5, 44= . 
Vậy hệ số lớn nhất là 5,44. 
 11
Ví dụ 22. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển 
102x1
3
æ ö÷ç + ÷ç ÷çè ø
. 
Giải 
Khai triển ( )
10
10
10
2x 11 3 2x
3 3
æ ö÷ç + = +÷ç ÷çè ø
 có số hạng tổng quát là k 10 k k k1010
1 C 3 2 x
3
- . 
Ta có: 
( ) ( )
( ) ( )
k 10 k k k 1 9 k k 1
10 10
k 10 k k k 1 11 k k 1
10 10
10! 10!3 2
C 3 2 C 3 2 k ! 10 k ! (k 1) ! 9 k !
10! 10!C 3 2 C 3 2 2 3
k ! 10 k ! (k 1) ! 11 k !
- + - +
- - - -
ìïï ³ïìï ï³ - + -ïï ïÛí íï ï³ï ïï ³î ïï - - -ïî
3(k 1) 2(10 k) 17 22k k 4
2(11 k) 3k 5 5
ì + ³ -ïïÛ Û £ £ Þ =íï - ³ïî
. 
Vậy hệ số lớn nhất là 4 6 41010
1 1120C 3 2
273
= . 
5. Dạng tìm hệ số chứa xk trong tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (tham khảo) 
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với công bội q khác 1 là: 
n
n 1 2 n 1
1 qS u u ... u u
1 q
-= + + + =
-
. 
Xét tổng m 1 m 2 m nS(x) (1 bx) (1 bx) ... (1 bx)+ + += + + + + + + như là tổng của n số hạng đầu tiên 
của cấp số nhân với m 11u (1 bx)
+= + và công bội q (1 bx)= + . 
Áp dụng công thức ta được: 
n m n 1 m 1
m 1 1 (1 bx) (1 bx) (1 bx)S(x) (1 bx)
1 (1 bx) bx
+ + +
+ - + + - += + =
- +
. 
Suy ra hệ số của số hạng chứa xk trong S(x) là 1
b
 nhân với hệ số của số hạng chứa k 1x + trong khai 
triển m n 1 m 1(1 bx) (1 bx)+ + ++ - + . 
Ví dụ 23. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển và rút gọn tổng sau: 
( ) ( ) ( ) ( )4 5 6 15S(x) 1 x 1 x 1 x ... 1 x= + + + + + + + + . 
Giải 
Tổng S(x) có 15 – 4 + 1 = 12 số hạng nên ta có: 
12 16 4
4 1 (1 x) (1 x) (1 x)S(x) (1 x)
1 (1 x) x
- + + - += + =
- +
. 
Suy ra hệ số của số hạng chứa x4 là hệ số của số hạng chứa x5 trong 16(1 x)+ . 
Vậy hệ số cần tìm là 516C 4368= . 
Nhận xét: 
Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức: 
 12
4 4 4 4 5
4 5 6 15 16C C C ... C C+ + + + = . 
Ví dụ 24*. Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển và rút gọn tổng sau: 
( ) ( ) ( ) ( )2 99 100S(x) 1 x 2 1 x ... 99 1 x 100 1 x= + + + + + + + + . 
Giải 
Ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )98 99S(x) 1 x 1 2 1 x ... 99 1 x 100 1 xé ù= + + + + + + + +ê úë û. 
Đặt: 
( ) ( ) ( ) ( )2 98 99f(x) 1 2 1 x 3 1 x ... 99 1 x 100 1 x= + + + + + + + + + 
( ) ( ) ( ) ( )2 3 99 100F(x) (1 x) 1 x 1 x ... 1 x 1 x= + + + + + + + + + + 
S(x) f(x) xf(x)Þ = + và /F (x) f(x)= . 
Suy ra hệ số của số hạng chứa x2 của S(x) bằng tổng hệ số số hạng chứa x và x2 của f(x), bằng tổng 2 
lần hệ số số hạng chứa x2 và 3 lần hệ số số hạng chứa x3 của F(x). 
Tổng F(x) có 100 số hạng nên ta có: 
100 1011 (1 x) (1 x) (1 x)F(x) (1 x)
1 (1 x) x
- + + - += + =
- +
. 
Suy ra hệ số số hạng chứa x2 và x3 của F(x) lần lượt là 3101C và 
4
101C . 
Vậy hệ số cần tìm là 3 4101 1012C 3C 12582075+ = . 
Nhận xét: 
Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức: 
2 2 2 2 2 3 4
2 3 4 99 100 101 1012C 3C 4C ... 99C 100C 2C 3C+ + + + + = + . 
Ví dụ 25*. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển và rút gọn tổng sau: 
( ) ( ) ( ) ( )2 n 1 nS(x) 1 x 2 1 x ... (n 1) 1 x n 1 x-= + + + + + - + + + . 
Giải 
Ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )n 2 n 1S(x) 1 x 1 2 1 x ... (n 1) 1 x n 1 x- -é ù= + + + + + - + + +ê úë û. 
Đặt: 
( ) ( ) ( ) ( )2 n 2 n 1f(x) 1 2 1 x 3 1 x ... (n 1) 1 x n 1 x- -= + + + + + + - + + + 
( ) ( ) ( ) ( )2 3 n 1 nF(x) (1 x) 1 x 1 x ... 1 x 1 x-= + + + + + + + + + + 
S(x) f(x) xf(x)Þ = + và /F (x) f(x)= . 
Suy ra hệ số của số hạng chứa x của S(x) bằng tổng hệ số số hạng không chứa x và chứa x của f(x), 
bằng tổng hệ số số hạng chứa x và 2 lần hệ số số hạng chứa x2 của F(x). 
Tổng F(x) có n số hạng nên ta có: 
n n 11 (1 x) (1 x) (1 x)F(x) (1 x)
1 (1 x) x
+- + + - += + =
- +
. 
 13
Suy ra hệ số số hạng chứa x và x2 của F(x) lần lượt là 2n 1C + và 
3
n 1C + . 
Vậy hệ số cần tìm là 2 3n 1 n 1
n(n 1)(2n 1)C 2C
6+ +
+ ++ = . 
Nhận xét: 
Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức: 
2 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1)1 2 3 ... (n 1) n
6
+ ++ + + + - + = . 
B. BÀI TẬP 
Tính giá trị của các biểu thức 
1) 
3 2
5 5 5
2 2
A A P
M
P P
-
= + 2) 
2
5 4 3 2 5
4 3 2 1
3 25 5 5 5
P P P P A
M
P 2PA A A A
æ ö÷ç ÷ç= + + + ÷ç ÷ç -è ø
Rút gọn các biểu thức 
3) n n 1M P P -= - 4) 1 2 3 2007M 1 P 2P 3P ... 2007P= + + + + + 
5) k k 1n 1 n 1M A kA
-
- -= + , với 2 k n£ < 6) 
n 2 n 1
n k n kM A A
+ +
+ += + , với 2 k n£ < 
7) 
2 2