Chuyên đề Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

u ): 1
1
1
; 2n
n
n
pu q
u u n
ru s
α −
−
+
= = ∀ ≥
+
. ðể tìm CTTQ của dãy (xn) 
ta làm như sau: 
ðặt 
n n
u x t= + , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có: 
2
1 1
1 1
( ) ( )
n n
n
n n
px pt q p rt x rt p s t q
x t
ru rt s rx rt s
− −
− −
+ + − − + − +
= − =
+ + + +
 (13). 
Ta chọn 2: ( ) 0t rt s p t q+ − − = . Khi ñó ta chuyển (13) về dạng: 
1
1 1
n n
a b
x x
−
= + 
Từ ñây ta tìm ñược 1
n
x
, suy ra 
n
u . 
Ví dụ 1.21: Xác ñịnh CTTQ của hai dãy số 1
1
2
( ),( ) :
1n n
u
u v
v
 =

=
 và 
2 2
1 1
1 1
2
 2
2
n n n
n n n
u u v
n
v u v
− −
− −

= + ∀ ≥
=
. 
Giải: 
Ta có: 
2 2 2
1 1 1 1
2
1 1 1 1
2 2 ( 2 )
2 2 2 2 ( 2 )
n n n n n n n
n n n n n n n
u u v u v u v
v u v u v u v
− − − −
− − − −

= + + = + 
⇒ 
= − = −  
1 1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 ( 2 ) (2 2)
2 ( 2 ) (2 2)
n n
n n
n n
n n
u v u v
u v u v
− −
− −
 + = + = +
⇒ 
 − = − = −
1 1
1 1
2 2
2 2
1
(2 2) (2 2)
2
1
(2 2) (2 2)
2 2
n n
n n
n
n
u
v
− −
− −
  
= + + −    ⇒ 
  = + − −  
. 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 20 - 
Nhận xét: Từ 
2
1
2 22 2
11 11 1
1 1 1 1 1
1
2
22
2 2
2
n
nn n nn n n
n n n n n n n
n
u
vu u vu u v
v u v v u v u
v
−
−
− −− −
− − − −
−
−
 
+   += +  ⇒ = =
=     
 
Do vậy nếu ta ñặt n
n
n
u
x
v
= ta ñược dãy số 
1
2
1
1
2
( ) : 2
2
n n
n
n
x
x x
x
x
−
−
 =

+
=

. Ta có bài toán sau: 
Ví dụ 1.22: Xác ñịnh CTTQ của dãy số 
1
2
1
1
2
( ) : 2
 2
2
n n
n
n
x
x x
x n
x
−
−
 =

+
= ∀ ≥

. 
Giải: 
Xét hai dãy 1
1
2
( ),( ) :
1n n
u
u v
v
 =

=
 và
2 2
1 1
1 1
2
 2
2
n n n
n n n
u u v
n
v u v
− −
− −

= + ∀ ≥
=
. 
Ta chứng minh n
n
n
u
x
v
= (14). 
 • 22
2
2 2 2
u
n x n
v
= ⇒ = = ⇒ = (14) ñúng. 
 • Giả sử 
2 2 2
1 1 1 1
1
1 1 1 1
2 2
(14)
2 2
n n n n n
n n
n n n n n
u x u v u
x x
v x u v v
− − − −
−
− − − −
+ +
= ⇒ = = = ⇒ ñược chứng 
minh 
Theo kết quả bài toán trên, ta có: 
1 1
1 1
2 2
2 2
(2 2) (2 2)
2
(2 2) (2 2)
n n
n nn
x
− −
− −
+ + −
=
+ − −
. 
Dạng 11: 
 1) Từ hai ví dụ trên ta có ñược cách tìm CTTQ của hai dãy số ( ),( )
n n
u v ñược xác ñịnh 
bởi: 
2 2
1 1 1
1 1 1
. ; 
2 ; 
n n n
n n n
u u a v u
v v u v
α
β
− −
− −

= + =

= =
 (trong ñó a là số thực dương) như sau: 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 21 - 
Ta có: 
2 2 2
1 1 1 1 1
2
1 1 1 1 1
. ( )
. 2 . ( )
n n n n n n n
n n n n n n n
u u a v u au u au
a v a v u u au u au
− − − − −
− − − − −

= + + = + 
⇒ 
= − = −  
1 1
1 1
2 2
2 2
1
( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
n n
n n
n
n
u a a
v a a
a
α β α β
α β α β
− −
− −
  
= + + −    ⇒ 
  = + − −  
. 
2) Áp dụng kết quả trên ta tìm ñược CTTQ của dãy 
1
2
1
1
( ) :
2
n n
n
n
x
x x a
x
x
α
−
−
 =

+
=

. 
Xét hai dãy 
2 2
1 1 1
1 1 1
. ; 
( ),( ) :
2 ; 1
n n n
n n
n n n
u u a v u
u v
v v u v
α
− −
− −

= + =

= =
Khi ñó: 
1 1
1 1
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
n n
n n
n
n
n
u a a
x a
v a a
α α
α α
− −
− −
+ + −
= =
+ + −
. 
Ví dụ 1.23: Cho dãy 1
2
1 1
1
( ) :
5 24 8 2
n
n n n
u
u
u u u n
− −
 =

= + − ∀ ≥
. Tìm 
n
u ? 
Giải: 
Ta có: 
2 3 4
9; 89; 881u u u= = = . Giả sử: 
1 2n n n
u xu yu
− −
= + 
9 89 10
89 9 881 1
x y x
x y y
 + = = 
⇒ ⇔ + = = −  
. Ta chứng minh: 
1 2
10
n n n
u u u
− −
= − 3n∀ ≥ 
Từ công thức truy hồi của dãy ta có: 2 2
1 1
( 5 ) 24 8
n n n
u u u
− −
− = − 
2 2
1 1
10 8 0
n n n n
u u u u
− −
⇔ − + + = (15) thay n bởi 1n − , ta ñược: 
2 2
2 2 1 1
10 8 0
n n n n
u u u u
− − − −
− + − = (16). 
Từ 
2
(15),(16) ,
n n
u u
−
⇒ là hai nghiệm của phương trình : 2 2
1 1
10 8 0
n n
t u t u
− −
− + − = 
Áp dụng ñịnh lí Viet, ta có: 
2 1
10
n n n
u u u
− −
+ = . 
Vậy ( ) ( )1 16 2 6 25 2 6 5 2 6
2 6 2 6
n n
n
u
− −
− +
= − + + . 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 22 - 
Dạng 12: 
1) Dãy 1
2
1 1
1
( ) :
5 8 2
n
n n n
u
u
u u au n
− −
 =

= + − ∀ ≥
là dãy nguyên 24a⇔ = . 
Thật vậy: 
2
5 8 5u a t= + − = + ( 8t a= − ∈ ℕ ) 2 2
3
5 ( 8)( 5) 8u t t⇒ = + + + − 
2 2 2
3
( ) ( 8)( 5) 8 ( )u f t t t m m⇒ ∈ ⇔ = + + − = ∈ℤ ℤ . 
Mà 2 2 2 2( 5 4) ( ) ( 5 14)t t f t t t+ + < < + + kết hợp với ( )f t là số chẵn ta suy ra 
2 5m t t x= + + với { }6,8,10,12x ∈ . Thử trực tiếp ta thấy 4 24t a= ⇒ = . 
2) Với dãy số 1
2
1 1
( ) :
 2
n
n n n
u
u
u au bu c n
α
− −
 =

= + + ∀ ≥
, với 2 1a b− = ta xác ñịnh 
CTTQ như sau: 
Từ dãy truy hồi 2 2 2 2
1 1 1 1
( ) 2 0
n n n n n n n
u au bu c u au u u c
− − − −
⇒ − = + ⇔ − + − = 
Thay n bởi 1n − , ta có: 2 2
2 1 2 1
2 0
n n n n
u au u u c
− − − −
− + − =
2 1
2
n n n
u u au
− −
⇒ + = . 
3) Với dãy 
1
1
2
1
( ) :
 2nn
n
n
u
uu
u n
a cu b
α
−
−
 =


= ∀ ≥

+ +
 ,trong ñó 0; 1aα > > ; 2 1a b− = ta 
xác ñịnh CTTQ như sau: 
Ta viết lại công thức truy hồi dưới dạng: 
2
1 1
1
n n n
a b
c
u u u
−
−
= + + . ðặt 
1
n
n
x
u
= 
Ta có 2
1 1n n n
u au bx c
− −
= + + ñây là dãy mà ta ñã xét ở trên. 
Ví dụ 1.24: Cho dãy 
1 2
2
1
2
1
( ) : 2
 2n n
n
n
u u
u u
u n
u
−
−
 = =

+
= ∀ ≥

. Tìm 
n
u ? 
Giải: 
Ta có: 
3 4 5
3; 11; 41u u u= = = . Ta giả sử 
1 2n n n
u xu yu z
− −
= + + .Từ 
3 4
3; 11;u u= = 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 23 - 
5
41u = ta có hệ phương trình: 
1 2
3 4
3 11 1 4
11 3 41 0
n n n
x y z x
x y z y u u u
x y z z
− −
 + + = =
 
+ + = ⇔ = − ⇒ = − 
 + + = = 
Ta chứng minh 1 2
1 2
1
( ) :
4 3n
n n n
u u
u
u u u n
− −
 = =

= − ∀ ≥
. 
 • Với 
3 2 1
3 4 3 3n u u u n= ⇒ = − = ⇒ = ñúng 
 • Giả sử 
1 2
4
k k k
u u u
− −
= − . Ta có: 
( )22 2 21 2 1 1 2 2
1
1 1 1
4 22 16 8 2k kk k k k k
k
k k k
u uu u u u u
u
u u u
− −
− − − −
+
− − −
− ++ − + +
= = = 
2
1 1 2 1 3
1 2 3
1
16 8
16 8k k k k k
k k k
k
u u u u u
u u u
u
− − − − −
− − −
−
− +
= = − + 
1 2 2 3 1
4(4 ) (4 ) 4
k k k k k k
u u u u u u
− − − − −
= − − − = − 
Theo nguyên lí quy nạp ta có ñpcm ( ) ( )1 13 1 3 12 3 2 3
2 3 2 3
n n
n
u
− −+ −
⇒ = − + + . 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 24 - 
II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ðỂ XÁC ðỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 
Nhiều dãy số có công thức truy hồi phức tạp trở thành ñơn giản nhờ phép thế lượng giác. 
Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố gợi cho ta nhớ ñến những công thức lượng 
giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác. Ta xét các ví dụ sau 
Ví dụ 2.1: Cho dãy 1
2
1
1
( ) : 2
2 1 2
n
n n
u
u
u u n
−

=

 = − ∀ ≥
. Xác ñịnh CTTQ của dãy ( )
n
u . 
Giải: 
Từ công thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng ñến công thức nhân ñôi của hàm số côsin 
Ta có: 2
1 2
1 2
cos 2 cos 1 cos
2 3 3 3
u u
pi pi pi
= = ⇒ = − = 
2
3 4
2 4 8
2cos 1 cos cos
3 3 3
u u
pi pi pi
⇒ = − = ⇒ = .... 
Ta chứng minh 
12
cos
3
n
n
u
pi−
= . Thật vậy 
 • Với 
2 1
2
2 2
2 cos cos
3 3
n u
pi pi−
= ⇒ = = (ñúng) 
 • Giả sử 
2 1 1
2 2
1 1
2 2 2
cos 2 1 2cos 1 cos
3 3 3
n n n
n n n
u u u
pi pi pi− − −
− −
= ⇒ = − = − = 
Vậy 
12
cos
3
n
n
u
pi−
= 1n∀ ≥ . 
Dạng 13: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy số 1 2
1
( ) :
2 1 2n
n n
u
u
u u n
−


= − ∀ ≥
 ta làm như 
sau: 
 • Nếu 
1
| | 1u ≤ , ta ñặt 
1
cosu α= . Khi ñó ta có: 1cos2n
n
u α−= . 
 • Nếu 
1
| | 1u > ta ñặt 
1
1 1
( )
2
u a
a
= + ( trong ñó 0a ≠ và cùng dấu với 
1
u ). 
Khi ñó 2 2 4
2 32 2 4
1 1 1 1 1 1
( 2 ) 1 ( ) ( )
2 2 2
u a a u a
a a a
= + + − = + ⇒ = + .... 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 25 - 
Ta chứng minh ñược 
1
1
2
2
1 1
( ) 1
2
n
nn
u a n
a
−
−
= + ∀ ≥ . Trong ñó a là nghiệm (cùng dấu 
với 
1
u ) của phương trình : 2
1
2 1 0a u a− + = . Vì phương trình này có hai nghiệm có 
tích bằng 1 nên ta có thể viết CTTQ của dãy như sau 
1 12 2
2 2
1 1 1 1
1
1 1
2
n n
n
u u u u u
− − 
    = − − + + −   
    
 
. 
Ví dụ 2.2: Xác ñịnh CTTQ của dãy số 1
3
1 1
3
( ) : 2
4 3 2
n
n n n
u
u
u u u n
− −

=

 = − ∀ ≥
. 
Giải: 
Ta có: 
2
3
1 2 3
3 3
cos 4 cos 3cos cos 3 cos
2 6 6 6 6 6
u u u
pi pi pi pi pi
= = ⇒ = − = ⇒ = ..... 
Bằng quy nạp ta chứng minh ñược: 
13
cos
6
n
n
u
pi−
= . 
Dạng 14: 
1) ðể tìm CTTQ của dãy 1 3
1 1
( ) :
4 3 2n
n n n
u p
u
u u u n
− −
 =

= − ∀ ≥
, ta làm như sau 
 • Nếu | | 1 0; : cosp pα pi α ≤ ⇒ ∃ ∈ =  . 
 Khi ñó bằng quy nạp ta chứng minh ñược : 1cos 3n
n
u α−= . 
 • Nếu | | 1p > , ta ñặt 
1
1 1
2
u a
a
 
= + 
 
 (a cùng dấu với 
1
u ) 
Bằng quy nạp ta chứng minh ñược 
1
1
3
3
1 1
2
n
nn
u a
a
−
−
 
= + 
 
 
. 
Hay 
1 13 3
2 2
1 1 1 1
1
1 1
2
n n
n
u u u u u
− − 
    = − − + + −   
    
 
. 
2) Từ trường hợp thứ hai của bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ của dãy số 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 26 - 
1
3
1 1
( ) :
4 3 2n
n n n
u p
u
u u u n
− −
 =

= + ∀ ≥
 bằng cách ñặt 
1
1 1
( )
2
u a
a
= − . Khi ñó bằng quy nạp 
ta chứng minh ñược : 
1 1
1
1
3 3
3 2 2
1 1 1 1
3
1 1 1
1 1
2 2
n n
n
nn
u a u u u u
a
− −
−
−
       = − = + + + − +              
. 
Chú ý : Trong một số trường hợp ta xác ñịnh ñược CTTQ của dãy ( )
n
u cho bởi: 
1
3 2
1 1 1
 2
n n n n
u
u u au bu c n
− − −


= + + + ∀ ≥
. 
Bằng cách ñưa vào dãy phụ ñể chuyển dãy ñã cho về mộ