Chuyên đề Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7

 BA )chúng cắt nhau tại C, D. Giao điểm của CD và AB là trung điểm của AB.
*Chú ý: đây cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước.
Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước.
Cách dựng:
Dựng đường tròn ( O; r) cắt a tại A, B.
Dựng đường trung trực của AB.
O
D
B
A
Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng.
Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện.
 I - Cơ sở thực tế
Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo các bước sau:
Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?
Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả.
phần III: một số phương pháp vẽ yêú tố phụ.
Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất để vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7: 
Cách 1: Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H ẻ BC) thì DH = 4cm.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H ẻ BC) và DH = 4cm.
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A.
2) Hướng suy nghĩ:
DABC cân tại A Û AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của AB. Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
A
B
C
H
K
D
A
3) Chứng minh:
GT
DABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm; ; DH ^ BC
DH = 4 cm
KL
D ABC cân tại A.
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC =cm.
Lại có: BD == 5 cm ( do D là trung điểm của AB)
Xét D HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2
ị BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = 9 ị BH = 3 ( cm)
Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)
ị DH // AK ( đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3).
Ta có: DH ^ BC, DH // AK ị AK ^ BC.
Xét D ABK và DACK có:
BK = KC ( theo cách lấy điểm K)
AKB = AKC = 900
AK là cạnh chung
ị D ABK = DACK (c – g – c)
ị AB = AC ị D ABC cân tại A.
4) Nhận xét: 
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thử ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác).
!) Phân tích bài toán:
Bài cho: tam giác ABC có ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC.
A
B
C
I
1
2
1
2
A
B
C
I
1
2
2) Hướng suy nghĩ: 
Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC (Iẻ BC)
3) Chứng minh: 
GT
DABC; 
KL
AB = AC
1
Vẽ tia phân giác AI của BAC (Iẻ BC).
ị. (1) Mà ( gt) 
ị (2)
Xét D ABI và D ACI ta có:
( theo (2))
Cạnh AI chung
( theo (1))
ị D ABI = D ACI ( g – c – g) 
ị AB = AC (2 cạnh tương ứng)
4) Nhận xét:
 Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau.
Cách 2: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạng huyền, yêu cầu chứng minh: 
2) Hướng suy nghĩ: 
Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD.
3) Chứng minh:
GT
DABC; ;
AM là trung tuyến
KL
 Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét D MAC và D MDB ta có:
B
A
C
M
D
1
1
2
MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
M1 = M2 ( vì đối đỉnh)
MB = MC ( Theo gt)
ị D MAC = D MDB ( c - g - c) 
ị AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1)
và (2 góc tương ứng).
ị AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau)
Lại có: AC ^ AB ( gt) 
ị AC ^CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) hay (2)
Xét D ABC và D CDA có:
AB = CD ( Theo (1))
( Theo (2))
AC là cạnh chung
ị D ABC = D CDA ( c – g – c) 
ị BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà ị 
4) Nhận xét: 
Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh ta đã vẽ thêm đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó . Như vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của tam giác.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh BAM và MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. 
Yêu cầu : So sánh BAM và MAC?
2) Hướng suy nghĩ: 
B
A
 C
Đ
M
2
1
1
2
Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC. Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này.
3) Lời giải: 
GT
DABC; AB < AC
M là trung điểm BC
KL
So sánh BAM và MAC?
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét D MAB và D MDC ta có:
MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
M1 = M2 ( vì đối đỉnh)
MB = MC ( Theo gt)
ị D MAB = D MDC ( c - g - c) 
ị AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1)
và (2 góc tương ứng). (2)
Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) ịCD < AC. (3) 
Xét DACD có: 
 CD < AC ( theo (3))
 (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)
Mà ( theo (2))
hay BAM < MAC.
4) Nhận xét: 
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùng một tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. Ta đã chuyển góc A1 và A2 về cùng một tam giác bằng cách vẽ đường phụ như trong bài giải, lúc đó A1 = D, ta chỉ còn phải so sánh D và A2 ở trong cùng một tam giác ADC.
Cách 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng.
B
A
C
D
Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC = BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)
( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)
1) Phân tích bài toán:
 Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. 
Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD.
2) Hướng suy nghĩ:
để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D.
B
A
C
D
3) Chứng minh:
GT
AB // CD; AC // BD
KL
AB = CD; AC = BD
Xét D ABD và D DCA có:
BAD = CDA ( so le trong AB // CD)
AD là cạnh chung
ADB = DAC( so le trong AC // BD)
ị D ABD = D DCA ( g – c – g)
AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng)
4) Nhận xét: 
Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cầnm chứng minh D ABD = D DCA. Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song.
Cách 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. 
Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. 
Chứng minh rằng D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều?
1) Phân tích bài toán: 
Bài cho D ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Yêu cầu ta chứng minh D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều.
 2)Hướng suy nghĩ: 
I
A
B
C
H
M
1
2
3
2
1
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra AB ^ AC và suy ra A = 900.
3) Chứng minh: 
GT
D ABC; AH ^BC; 
trung tuyến AM;
KL
D ABC vuông ;
D ABM đều
Vẽ MI ^ AC ( I ẻ AC)
Xét D MAI và D MAH có:
( gt)
AM là cạnh chung) ị D MAI = D MAH ( cạnh huyền – góc nhọn)
 (gt) ị MI = MH ( 2 cạnh tương ứng) (1)
Xét D ABH và D AMH có:
( gt)
AH là cạnh chung ị D ABHI = D AMH ( g – c - g)
( gt)	 ị BH = MH ( 2 cạnh tương ứng) (2)
Mặt khác: H ẻ BM , Từ (1) và (2) ị 
 Xét D vuông MIC có: nên từ đó suy ra: HAC = 600 .
ị .
Vậy D ABC vuông tại A.
Vì ; 
Lại có AM = ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)
 D ABM cân và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều.
4) Nhận xét: 
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất