Chuyên đề Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số cho bởi công thức truy hồi

CHUYÊN ĐỀ 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI
Trong sách giáo khoa 11 có một số bài tập về tìm công thức tổng quát của dãy số, SGK thường hướng dẫn cách đặt; hoặc cho công thức TQ yêu cầu chứng minh bằng qui nạp nhưng không đưa ra tại sao lại có cách đặt hay có được CTTQ đó. Là một giáo viên bồi dưỡng hs giỏi cần dạy hs biết được tại sao đặt được như thế? phải cho các em nắm được cách TQ để giải các dạng tương tự, tôi đã đọc tài liệu và hướng dẫn học sinh phương pháp tổng quát để tìm CTTQ của dãy số; kết quả các em rất hào hứng học, các bài tập dạng tương tự các em nắm bắt một cách nhẹ nhàng. Dưới đây tôi xin đưa ra một số dạng cơ bản về cách xác định số hạng TQ của dãy số cho bởi CT qui nạp, mong các bạn đồng nghiệp tham khảo và góp ý. 
(Tài liệu TK: SGK; Dãy số Nguyễn Tất Thu, Nguyễn Nam Dũng; Trần Duy Sơn; Phan Huy Khải).
I. Nội dung
Ví dụ 1.1.
 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: u1= 1, un= un-1 – 2, .
Giải:
Dễ thấy (un) là một cấp số cộng với cộng bội là d= -2. Suy ra : un = 1 -2( n -1) = -2n + 3 
Ví dụ 1.2
 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: u1= 3, un= 2un-1 , .
Giải:
Ta thấy (un) là một cấp số nhân công bội q= 2. Suy ra : un= 3. 2n-1 .
Ví dụ 1.3
 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: u1= -2, un =3un-1 – 1, .
Giải:
Đặt: vn= un - ta có: Ta có (vn) xác định: v1= -, vn = 3. vn-1.
Suy ra (vn) là cấp số nhân công bội q= 3. Vậy: vn= - Từ đó suy ra: un =
Nhận xét đây là một dãy không phải cấp số cộng cũng không phải cấp số nhân. Các ví dụ SGK thường đặt : vn= un + m sau đó c/m vn là một cấp số nhân, từ đó tìm được vn từ đó suy ra un.
Vấn đề đặt ra là tìm m???.
Tách : ta có: un - = 3(un-1 – ) . Đặt : vn= un - ..
Ở đây việc tách: dựa vào đâu??
Mục đích của ta là tách để đưa về dạng : un + m= 3( un-1 +m) từ đó ta thấy ngay 2m = -1. 
Tổng quát:
Dạng I.
 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: 
 u1= x0, un= aun-1 + b, ; với a, b là hằng số .
 Ta có: 
HD
Với a= 1: (un) là cấp số cộng với công sai là d= b hay: un= x0 +(n-1)b
Với , Đặt: vn = un +. Ta có: vn= a. vn-1 suy ra: vn = v1. an-1 vn = (x0+ ). an-1
 un = (x0+ ). an-1- 
Ví dụ 2.1
 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: u1= 2, un= 2un-1 +3n – 1, .
Giải
Đặt : vn = un +3n +5, ta có: vn =2vn-1 từ đó suy ra: vn = v1. 2n-1 = 10. 2n-1 hay un = 5. 2n – 3n -5.
Vấn đề đặt ra tại sao đặt được: vn = un +3n +5.???.
Mục đích ta đặt để đưa về dạng: vn = un +an +b = 2. [un-1 +a(n -1) +b] = 2. vn-1.
Vậy: 3n -1 = 2. [a(n -1) +b] - an -b . Cho n= 1, n=2. Suy ra: b –a= 2; b= 5 a= 3, b= 5.
Ví dụ 2.2
 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: u1= 2, un= un-1 + 2n + 1, .
Giải. 
Ta phân tich: 2n +1 = an2 + bn- a(n-1)2 – b(n-1) = a[n2 –(n-1)2] + b
Cho n= 0; n= 1 Ta có a= 1, b= 2.
Vậy vn = un – (n2 + 2n) = un-1 – [(n-1)2 + n-1]= vn-1 vn = v1 = -1.
Hay un = n2 + 2n-1
Tổng quát:
Dạng II. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: .
Trong đó f(n) là một đa thức bậc k theo n; a là hằng số.
Nếu a=1: Ta phân tích : f(n)=g(n) –g(n-1) chọn g(n) là đa thức bậc k+1 theo n với hệ số tự do bằng 0.
Nếu a1:Ta phân tích f(n)=g(n) –a.g(n-1) với: g(n) là một đa thức bậc k theo n. 
Khi đó đặt: vn = un - g(n) , ta có: un = [u1 - g1]. an-1 + g(n).
Ví dụ 3.1
 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: u1= 1, un= 3un-1 +2n, .
Giải: Ta phân tích: 2n =a.2n – 3.a.2n-1 Cho n = 1 ta có a= -2. 
Ta có: un + 2. 2n = 3(un-1+ 2. 2n-1)= = 3n-1(u1+ 4)= 5. 3 n-1. Vậy: un = 5. 3 n-1- 2n+1.
Ví dụ 3.2
 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: u1= 1, un= 2un-1 +2n, .
Giải
Để ý rằng không thể phân tích như trên vì sẽ không tồn tại a; vậy ta phân tích như sau: 
 2n= n. 2n – 2(n-1).2n-1
Thay vào ta có: un- n.2n =2.[un-1 – (n-1).2n-1 ]= = 2n-1(u1 -2). Vậy un = (n-1).2n + 1. 2n-1.
Tổng quát:
 Dạng III. 
 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: u1= x0, un= a.un-1 +b. n, .
Với: : 
Với: : với: 
Hướng dẫn:
Với : Phân tích: 
Vậy ta có: . Suy ra: với: 
Với : Phân tích: .
Suy ra: 
 Vậy : .
Ví dụ 4.1
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: 
 u1= 1, un= 5.un-1 +2.3n - 6.7n +12, .
Hướng dẫn:
Phân tích: cho n=1 ta được: k= -3; l= -21
Suy ra: .
Vậy: 
Ví dụ 4.2
 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: u1= 1, un= 2un-1 +3n - n, .
Hướng dẫn:
Phân tích: 
Suy ra: 
Vậy: 
 Tổng quát: 
Dạng IV.
 I1. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: 
Hướng dẫn: Phân tích tương tự dạng III..
I2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: 
Phân tích tương tự dạng II và dạng III.
Ví dụ 5.1
 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: 
 u0= -1, u1= 3, un= 5.un-1 -6.un-2 , .
Phân tích: Ta có: hay là hai nghiệm pt : X2 -5X +6 =0.
Ta chọn: x1 =2, x2 =3 Suy ra: 
Vậy: Quay lại dạng III ta tìm được: 
Tổng quát: : 
Dạng V
 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: 
 u0= m0, u1= m1, un- a.un-1 + b.un-2 =0, .Trong đó a, b hằng số : .
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt: X2 –aX +b =0.
Nếu : thì trong đó k,l là nghiệm của hpt: 
Nếu thì: trong đó k, l là hai nghiệm của hpt: 
Ví dụ 6.1
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: 
Hướng dẫn: 
Đặt , Ta có: 
Chọn t=0 Ta có: Suy ra : . Hay: 
Giải: 
Đặt , suy ra: suy ra: Vậy: .
Nhận xét tại sao biết đặt như trên:
Tổng quát:
Dạng VI
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: 
Hướng dẫn giải: 
Đặt : Ta có: . Chọn: 
Ta có: . Dễ dàng tìm được (vn ) suy ra (un).
Ví dụ 7.1
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: 
Giải
Ta có: . Thay n bởi n-1 ta có: .
Từ đó suy ra un+1 và un là 2 nghiệm của pt: Suy ra: . Đây là bài toán dạng V.
Tổng quát:
Dạng VII.
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: Trong đó: a2 = b2-c2 
II. Một số bài tập ứng dụng
*) Tìm số hạng tỏng quát của dãy số (un) xác định bởi: 
1) u1 = 2 và un + 1= 5un " n ≥ 1. 
2) u1 = 1 và un + 1= un + 7 " n ≥ 1.
3) u1 = 1 ;un + 1 = "n ≥ 1..
4) u1 = 1 và un +1 = un + 2n – 1 "n ≥ 1.
5) u1 = 1 và un +1 = 3un + 2n – 1 "n ≥ 1.
6) u1 = 1 và un +1 = 3un + 5n "n ≥ 1.
7) u1 = 1 và un +1 = 3un + 3n "n ≥ 1.
8) u1 = 1 và un +1 = 3un + 5n+ 2n – 1 "n ≥ 1.
9) .
10) u1 = – 2 và un +1 = "n ≥ 1. 
11) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2
12) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 +1 " n ≥ 3.
13) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 + 5n -2
14) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 + 5.2n
15) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 + 5.2n + 5n -2
16) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 + 2n
 Phương pháp trên còn được mở rộng đối với công thức truy hồi cao hơn nhưng đây tôi chỉ muốn trình bày một số dạng đơn giản trong tầm kiến thức của mình và với tầm tiếp thu của học sinh. Rất mong sự góp ý của các bạn đồng nghiệp. 
 Cẩm xuyên ngày 28 tháng 11 năm 2010
 Nguyễn Đình Nhâm