Chuyên đề : Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên

trường hợp
n =2k (kN) A= 4k2, chia hết cho 4.
n= 2k+1(k N)A = 4k2 +4k +1
 =4k(k+1)+1,
chia cho 4 dư 1(chia cho 8 cũng dư 1)
vậy số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.
Chú ý: Từ bài toán trên ta thấy:
-Số chính phương chẵn chia hết cho 4
-Số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1( chia cho 8 cũng dư 1).
c) Các số 19932,19942 là số chính phương không chia hết cho 3 nên chia cho 3 dư 1,còn 19922 chia hết cho 3.
Vậy M chia cho 3 dư 2,không là số chính phương.
 Các số 19922,19942 là số chính phương chẵn nên chia hết cho 4.
 Các số 19932,19952 là số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1.
Vậy số N chia cho 4 dư 2,không là số chính phương.
d) Mọi số của dãy đều tận cùng là 11 nên chia cho 4 dư 3.Mặt khác số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1.
 Vậy không có số nào của dãy là số chính phương. 
Chú ý 3:Khi chứng minh về tính chất chia hết của các luỹ thừa,ta còn sử dụng các hằng đẳng thức bậc cao và công thức Niu-tơn sau đây:
 (1)
an -bn =(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+...+abn-2+bn-1)
 (2) )an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-...-abn-2+bn-1) 
 với mọi số lẻ n.
Công thức Niu-tơn
(a+b)n= an+c1an-1b+c2an-2b2+...+cn-1abn-1+bn
 Trong công thức trên, vế phải là một đa thức có n+1 hạng tử ,bậc của mỗi hạng tử đối với tập hợp các biến là a,b là n.Các hệ số c1,c2,...cn-1 được xác định bởi tam giác Pa -xcan:
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
 ............. c1 c2 c3 c4 
 Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào tính chia hết, ta có với mọi số tự nhiên a,b và số tự nhiên n :
 an -bn chia hết cho a-b (a b)
a2n+1 +b2n+1 chia hết cho a+b ( a-b)
(a+b)n =Bs a+bn (Bs a là bội của a).
Đặc biệt chú ý đến:
 (a+1)n = Bs a +1
 ( a -1)n = Bs a+ 1
 (a-1)2n+1= Bs a - 1
Ví dụ 4.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16n -1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn.
Giải: Cách 1:Nếu n chẵn (n=2k, kN) thì
 A= 162k -1 = (162)k -1 chia hết cho 162 -1
Theo hằng đẳng thức (1)
Mà 162 -1 =255 chia hết cho 17.
Vậy A chia hết cho 17
 Nếu n lẻ thì A = 16n +1 -2,
 mà 16n+1 chia hết cho 17 theo hằng đẳng thức (9),nên A không chia hết cho 17
 vậy A chia hết cho 17 n chẵn.
 Cách 2: A=16n -1 =(17-1)n -1
 = Bs 17 +(-1)n -1(theo công thức Niu-tơn)
Nếu n chẵn thì A =Bs 17 +1-1 =Bs 17
Nếu n lẻ thì A = Bs 17 -1 -1 = Bs 17 -2
Không chia hết cho 17.
Chú ý 4: Người ta còn dùng phương pháp phản chứng,nguyên lý Di ríchlet để chứng minh quan hệ chia hết.
 Ví dụ 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội số của 2003 có dạng
 2004 2004 .......2004
Giải: Xét 2004 số :
 A1 =2004
 A2 =2004 2004
 ...
 A2004=2004 2004....2004 (Nhóm 2004 có mặt 2004 lần).
 Theo nguyên lý Dirich let, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2003.
 Gọi hai số đó là am và an (1nm2004)
 Thì am -an chia hết cho 2003.Ta có
am -an = 2004 2004......2004000....000
 =. 104n
Do ( 104m, 2003) =1 nên 
Chia hết cho 2003.
Bài tập tương tự: 
Bài 1. Chứng minh rằng n6 + n4 - 2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n.
Giải:
Ta có n6 + n4 - 2n2 
 = n2 ( n4 +n2 - 2)
 =n2 (n4 -1 + n2 -1 )
 = n2 [ (n2 -1)(n2 +1) +(n2 -1)]
 = n2 (n-1)(n+1)(n2 +2)
+Xét các trường hợp n= 2k, n=2k+1
 n6 + n4 - 2n2 8
+Xét các trường hợp n = 3a, n=3a 1
n6 + n4 - 2n2 9
vậy n6 + n4 - 2n2 72 với mọi số nguyên n
Bài 2. Chứng minh rằng 32n -9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n
Giải:
Ta có B =32n -9= 9n - 9,nên B 9
Mặt khác B = 32n - 9 = (3n -1)(3n +1) -8
Do 3n -1,3n +1 là hai số chẵn liên tiếp nên 
 B 8
Vậy B 72
* Bài tập tự làm
Chứng minh rằng 
1.n3+6n2+8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn
2.n4-10n2+9 chia hết cho 384 với mọi sốn lẻ
DẠNG 2.Tìm số dư
Ví dụ 6: Tìm số dư khi chia 2100 
a) cho 9; b) cho 25; c) cho 125.
Giải:
a) Luỹ thừa của 2 sát với một bội so ácủa 9 là 23 = 8 = 9-1
Ta có 2100 =2( 23)33 = 2(9-1)33=2(BS9-1)
 = BS 9 -2= BS9+ 7
Số dư khi chia 2100 cho 9 là 7.
b) Luỹ thừa của 2 sát với bội số của 25 là
210 = 1024 =BS 25 -1
Ta có 2100= (210)10 =(BS 25 -1)10 =BS25 +1
Số dư khi chia 2100 cho 25 là 1.
c) Dùng công thức Niu-tơn:
 2100 = (5 - 1)50 
=550-50.5049+....+.52 -50.5+1.
Không kể phần hệ số của khai triển Niu-tơn thì 48 số hạng đầu đã chứa luỹ thừa của 5 với sô mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên chia hết cho 125, số hạng cuối là 1 .
 Vậy 2100 chia cho 125 dư 1.
Chú ý: Tổng quát hơn,ta chứng minh được rằng nếu một số tự nhiên n không chia hết cho 5 thì n100 chia cho 125 có số dư là 1.
 Thật vậy, n có dạng 5k 1,5k2.Ta có
(5k1)100=(5k)100...+(5k)2100.5k+1
 = BS 125 +1
(5k2)100=(5k)100...+(5k)2.298 100.5k .299+ 2100
 = BS 125 +2100 
Ta lại có 2100 chia cho 125 dư 1
Do đó (5k2)100 chia cho 125 dư 1.
Ví dụ 7: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 khi viết trong hệ thập phân.
Giải: Theo ví dụ trên ta có 
 2100 = BS 125 +1,mà 2100 là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876.
 Mà 2100 chia hết cho8 nên ba chữ số tậncùng của nó phải chia hết cho 8.Trong 4 số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này.
 Vậy ba chữ số tận cùng của 2100 là 376.
Chú ý: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của n100 là 376.
Ví dụ 8: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 viết trong hệ thập phân.
Giải: 
Cách 1. Ta thấy số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng bằng 0625.Do đó 
51994=54k+2 =25(54k)=25(0625)k
 = 25.(...0625) = .....5625
Cách 2. Ta thấy 54k -1 chia hêt cho 54 -1
= (52 -1)(52 +1) nên chia hết cho 16.
Ta có: 51994 = 56( 5332 -1) +56
Do 56 chia hết cho 54, còn 5332 -1 chia hết cho 16 nên 56( 5332 -1) chia hết cho 10000
Và 56 = 15625.
Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5
Bài tập tương tự
1.CMR với mọi số tự nhiên n thì 7n và 7n+4 có hai chữ số tận cùng như nhau.
+ Cho hs đặt câu hỏi: Khi nào hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau?
- Khi hiệu của chúng chia hết cho 100
 Giải:	Xét hiệu của 7n +4- 7n = 7n( 74 -1) 
 = 7n .2400
 	Do đó 7n+1 và 7n có chữ số tận cùng giống nhau.
2.Tìm số dư của 2222+5555 cho 7.
+ Xét số dư của 22 và 55 cho 7?
 Giải:	Ta có 2222 + 5555 =(Bs 7 +1)22 +(Bs 7 -1)55
 = Bs 7 +1+ Bs7 -1
 = Bs 7
 	Vậy2222 + 5555 chia hết cho 7
DẠNG 3. Tìm điều kiện để chia hết
 Ví dụ 9: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B:
	A= n3 +2n2 -3n+2 , B= n2 -n
Giải: Đặt tính chia:
 n3 +2n2 -3n+2 n2 -n
 - n3 - n2 n +3 
 3n2 -3n +2
 - 3n2 -3n
 2
 Muốn chia hết, ta phải có 2 chia hếùt cho n(n-1),do đó 2 chia hết cho n(vì n là số nguyên)
Ta có:
n
1
-1
2
-2
n-1
0
-2
1
-3
n(n-1)
0
2
2
6
loại
loại
 Vậy n= -1; n = 2
Ví dụ 10
 Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1.
Giải: Ta có 
 n5 +1 n3 +1
n2 (n3+1) - (n2 -1) (n+1)(n2 -n +1)
 (n-1)(n+1) (n+1)(n2 -n +1)
 n -1 n2 -n +1 (vì n+1 0)
Nếu n =1 thì ta được 0 chia hết cho 1
Nếu n>1 thì n -1< n(n-1) +1=n2 -n +1, do đó không thể chia hết cho n2 - n +1.
 Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1.
 Ví dụ 11
 Tìm số nguyên n để n5 +1 chia hết cho n3+1.
Giải: Theo ví dụ trên ta có:
 n -1 n2 -n +1 
 n(n-1) n2 -n +1
 n2 -n n2 -n +1 
(n2 -n +1) -1 n2 -n +1
 1 n2 -n +1
 Có hai trường hợp
n2 -n +1 =1 n( n -1) =0 n=0; n=1. Các giá trị này thoả mãn đề bài.
n2 -n +1= -1 n2 -n +2 =0 không tìm được giá trị của n
 Vậy n= 0; n =1 là hai số phải tìm.
Ví dụ 12
 Tìm số tự nhiên n sao cho 2n -1 chia hết cho 7.
Giải:
 Nếu n = 3k (k N) thì 2n -1 = 23k -1 = 8k -1
 Chia hết cho 7
-Nếu n =3k +1(kN) thì 
2n -1= 23k+1 - 1=2(23k -1) +1 = Bs 7 +1
Nếu n = 3k +2 ( kN) thì
2n -1= 23k+2 -1 =4(23k - 1)+3 =Bs 7 +3
 Vậy 2n -1 chia hết cho 7 n = 3k(kN).
*Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a2+3a +2 chia hết cho 6.
Giải:
Ta có a2 +3a + 2 = (a+1)(a+2) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2
Do đó a2 +3a +2 3 a2 +2 3
a2 : 3 dư 1 a không chia hết cho 3.
 Điều kiện phải tìm là a không chia hết cho 3.
Bài 2:
Tìm điều kiện của số tựï nhiên a để a4 -1 chia hết cho 240.
Bài 3:
Tìm số nguyên tố p để 4p +1 là số chính phương.
Bài 4. Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a2 + 3a + 2 chia hết cho 6.
 Giải:
Ta có a2 + 3a + 2 =( a+1)(a+2)
Là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
Do đó a2 + 3a + 2 3
a2 + 2 3 a2 chia cho 3 dư 1
a không chia hết cho 3.
Điều kiện phải tìm là a không chia hết cho 3.
Bài 5. 
 Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a,b,c sao cho a2 + b2 + c2 cũng là số nguyên tố
 Giải: Xét hai trường hợp
+ Trong 3 số a,b,c có một số bằng 3.
Khi đó 22 + 32 + 52 =38 là hợp số (loại)
Còn 32 + 52 + 72 =83 là số nguyên tố.
+ Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 3.
Khi đó a2, b2, c2 đều chia cho 3 dư 1 nên 
a2 + b2 + c2 chia hết cho 3,là hợp số (loại)
Vâïy ba số phải tìm là 3,5,7.
* Các bài tập tổng hợp các dạng toán trên
Bài 1. : Cho bốn số nguyên dương a,b,c,d thảo mãn a2 +b2 = c2 + d2 .Chứng minh rằng a+ b+c+ d là hợp số. 
Giải:
Xét biểu thức
A= (a2 -a)+(b2 -b)+( c2 -c)+ (d2 -d)
Dễ thấy A là số chẵn (vì biểu thức trong mỗi dấu ngoặc là tích của hai số nguyên liên tiếp) nên
(a2 + b2 + c2 +d2) -(a+b + c+ d) là số chẵn
mà a2 +b2 = c2 + d2 nên a2 +b2 + c2 + d2 
là số chẵn.
Vậy a + b+ c + d là số chẵn,tổng này lớn hơn 2 nên là hợp số.
Bài 2. : Cho các số nguyên a,b,c đều chia hết cho 6. Chư