Chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Phương trình và bất phương trình chứa căn thức

Chuyên đề 3: 
 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 CHỨA CĂN THỨC 
TÓM TẮT GIÁO KHOA 
I. Các điều kiện và tính chất cơ bản : 
* A có nghĩa khi A 0 ≥
* 0≥A với A 0 ≥
* AA =2 & 
⎩⎨
⎧
<
≥=
 0A nếu A-
0A nếu A
A 
* ( ) AA =2 với A 0 ≥
* BABA .. = khi A , B 0 ≥
* BABA −−= .. khi A , B ≤ 0 
 13
II. Các định lý cơ bản : 
 a) Định lý 1 : Với A 0 và B ≥ 0 thì : A = B ≥ ⇔ A2 = B2
 b) Định lý 2 : Với A 0 và B 0 thì : A > B ≥ ≥ ⇔ A2 > B2
 c) Định lý 3 : Với A, B bất kỳ thì : A = B ⇔ A3 = B3
 A > B ⇔ A3 > B3 
III. Các phương trình và bất phương trình căn thức cơ bản & cách giải : 
 * Dạng 1 : 
A 0 (hoặc B 0 )
A B
A B
≥ ≥⎧= ⇔ ⎨ =⎩ 
 * Dạng 2 : 2
B 0
A B
A B
≥⎧⎪= ⇔ ⎨ =⎪⎩
 * Dạng 3 : 
2
A 0
A B B 0
A B
⎧ ≥⎪⎨⎪ <⎩
 * Dạng 4: 
2
A 0
B 0
A B
B 0
A B
⎡ ≥⎧⎨⎢ ⇔ ⎢ ≥⎧⎪⎢⎨⎢ >⎪⎩⎣
IV. Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng : 
 * Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản 
 Ví dụ 1 : Giải phương trình sau : 
 1) 42 −=− xx 
 2) 02193 2 =−++− xxx 
 3) 411222 =+−+++ xxx 
 Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau: 
 1) 
23x x 1y
x 1 x 5
− += + + − 
 2) 
2
2
x x 1y
2x 1 x 3x 1
− += − + − + 
 Ví dụ 3: Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 
 1222 +=++ xmxx 
 * Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức 
 Ví dụ : Giải phương trình sau : 
 1) 13492 ++−=+ xxx 
 2) 012315 =−−−−− xxx 
 * Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ pt đại số 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) xxxx 33)2)(5( 2 +=−+ 
 2) 5)4)(1(41 =−++−++ xxxx 
 4) 1123 −−=− xx 
 5) 2 2x 3x 3 x 3x 6 3− + + − + = 
 * Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số : A.B = 0 
 hoặc A.B.C = 0 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) xx
x
x −=−−− 12323
2
 2) 2x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1+ − = − + − + − + 
V. Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng : 
 * Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
 1) 1342 +<+− xxx 2) 32542 ≥++− xxx 
 3) 142 −+ xxx 
 * Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức 
 Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 
 1) x 3 2x 8 7 x+ > − + − 
 14
 2) x 11 2x 1 x 4+ − − ≥ − 
 * Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số 
 Ví dụ : Giải phương trình sau : 
 1) 342452 22 ++≤++ xxxx 
 2) 123342 22 >−−++ xxxx 
 * Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số hoặc thương 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
 1) 0232)3( 22 ≥−−− xxxx 
 2) 1
4
35 <−
−+
x
x 
----------------------------------Hết-------------------------------------- 
 15