Chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Cực trị trong đại số

B MH AB MAMB⊥ ⇒ = 
MAB vuông tại M theo định lí Pitago có: 
 2 2 2 24 .MA MB AB R+ = = 
 ,MABP MA MB AB= + + AB không đổi 
 2 2 2( ) 2 .MA MB MA MB MAMB+ = + + 
 29
Do đó MABP lớn nhất MA MB⇔ + lớn nhất 
2( )MA MB⇔ + lớn nhất .MAMB⇔ lớn nhất 
MABS⇔ lớn nhất M⇔ là trung điểm 
AB (câu a) 
Ví dụ 5: 
Cho nửa đường tròn ( )O đường kính 2 .AB R= Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn 
( )O và tiếp xúc với ( )O tại điểm M cắt Ax tại D cắt By tại E. Xác định vị trí của M trên nửa 
đường tròn ( )O sao cho: 
a) AD BE+ đạt giá trị nhỏ nhất. 
b) .ODOE đạt giá trị nhỏ nhất. 
Lời giải: 
a) Vẽ , .DH By H By⊥ ∈ 
Tứ giác ADHB có    90OA B H= = = nên ADHB là hình chữ nhật 2DH AB R⇒ = = 
Ta có ,AD MD BE ME= = (tính chất hai tiếp tuyến của ( )○ cắt nhau tại một điểm). 
Do đó AD BE MD ME DE+ = + = màDE DH≥ (vì ,DH By E By⊥ ∈ ) 
Do vậy 2AD BE R+ ≥ (không đổi) 
Dấu " "= xảy ra E H DE AB⇔ ≡ ⇔  
OM AB M⇔ ⊥ ⇔ là trung điểm AB . 
b) DA và DM là tiếp tuyến của ( )○ OD⇒ là phân giácAOM . 
Tương tự OE là phân giácMOB . 
AOM vàMOB kề bù. 
Do đó  90oEOD = 
ODE vuông tại O , OM DE⊥ nên 
. .ODOE OM DE= 
. .ODOE R DE= 
.ODOE nhỏ nhất DE⇔ nhỏ nhất M⇔ là trung điểmAB (câu a). 
▼ Dang 2: Vận dụng các bất đẳng thức trong tam giác và quy tắc các điểm : 
I. Kiến thức cần nắm: 
• Tam giác ABC có 
a) .AB AC BC AB AC− < < + 
b)   .ABC ACB AC AB≤ ⇔ ≤ 
• Tam giác ABC và tam giác ' ' 'A B C có 
' ', ' 'AB A B AC A C= = thì:  ' ' '.BC B C A A≤ ⇔ ≤ 
• Quy tắc ba điểm , ,A B C . 
a) .BC AB AC≤ + 
Dấu" "= xảy ra [ ]A BC⇔ ∈ 
b) .BC AB AC≥ − 
Dấu" "= xảy ra , ,A B C⇔ thẳng hàng. 
 30
Quy tắc n điểm 1 2; ;...; nA A A 
Ta có 1 1 2 2 3 3 4 1...n n nA A A A A A A A A A−≤ + + + + 
Dấu " "= xảy ra 1 2 1; ;...; ;n nA A A A−⇔ thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó. 
II. Một số bài tập ví dụ: 
Ví dụ 1: 
Cho hai điểm A và B nằm trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d ,hai điểm ,M N thuộc d và 
độ dài MN không đổi. Xác định vị trí hai điểm ,M N để đường gấp khúc AMNB đạt giá trị nhỏ 
nhất. 
Lời giải 
Dựng hình bình hành 'BNMB (hình bên) 'BB MN a⇒ = = (không đổi); ', 'NB MB B= cố định. 
Gọi 'A là điểm đối xứng của A qua đường thẳng d . 
Ta có 'AM A M= , 'A cố định. 
Xét ba điểm ', , 'A M B ta có ' ' ' 'A M MB A B+ ≥ 
Do đó ' 'AM MN NB A M MN MB+ + = + + 
 ( ' ')A M MB MN= + + 
 ' 'A B a≥ = không đổi 
Dấu " "= xảy ra [ ' '].M A B⇔ ∈ 
Ví dụ 2: 
Cho góc nhọn xOy . A là điểm nằm trong góc đó. Hãy tìm trên hai tiaOx và Oy lần lượt hai 
điểm B vàC sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. 
Lời giải: 
Gọi 1A và 2A lần lượt là điểm đối xứng của A qua hai tiaOx vàOy . 
A cố định, xOy cố định nên 1A và 2A cố định. 
Theo tính chất đối xứng trục ta có: 
1 ;AB A B= 2 .AC A C= 
ABCP AB BC AC= + + 
1 2A B BC A C= + + 
Xét các điểm 1 2, , ,A B C A ta có 1 2 1 2A B BC A C A A+ + ≥ 
Do đó 1 2ABCP A A≥ (không đổi) 
Dấu " "= xảy ra 1 2, , ,A B C A⇔ thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó. 
Ví dụ 3: 
Cho hình vuông ABCD . , , ,M N P Q là đỉnh của tứ giácMNPQ lần lượt thuộc các 
cạnh , , ,AB BC CD DA (MNPQ gọi là tứ giác nội tiếp hình vuông). Tìm điều kiện tứ giácMNPQ có 
chu vi nhỏ nhất. 
Lời giải: 
Gọi , ,E F G lần lượt là trunh điểm của các đoạn thẳng 
, , .MQ MP NP 
AMQ vuông góc tại A có 
AE là trung điểm nên
1
2
AE MQ= 2 .MQ AE⇒ = 
 31
Tương tự 2NP GC= 
Mặt khác ,EF FG lần lượt là đường trung bình 
của các tam giác MPQ và NPM 
nên
1
2
EF PQ= và
1
2
FG MN= 
Suy ra 2PQ EF= và 2 .MN FG= 
Do đó MNPQP MN NP PQ QM= + + + 
 2 2 2 2FG GC EF AE= + + + 
 2( )AE EF FG GC AC= + + + ≥ (không đổi ) 
(Xét các điểm , , , ,A E F G C ) 
Dấu " "= xảy ra , , , ,A E F G C⇔ thẳng hàng. 
MN AC PQ⇔   và .MQ BD NP  
Khi đó MNPQ là hình chữ nhật. 
Ví dụ 4: 
Cho đường tròn ( ; )O R đường kính AB cố định,C là một điểm cố định nằm giữa A và .O M di động 
trên đường tròn ( ; ).O R Tìm vị trí củaM trên ( ; )O R tương ứng lúc độ dài CM lớn nhất, nhỏ nhất. 
Lời giải: 
Xét ba điểm , ,C O M ta có OM CO CM CO OM− ≤ ≤ + 
OA OM OB R= = = 
Do đó CA CM CB≤ ≤ 
CM CB≤ (không đổi) 
Dấu " "= xảy ra M B⇔ ≡ 
Vậy khiM B≡ thì đoạn thẳngCM có độ dài lớn nhất. 
Mặt khácCM CA≥ (không đổi) 
Dấu " "= xảy ra M A⇔ ≡ 
Vậy khiM A≡ thì đoạn thẳng CM có độ dài nhỏ nhất. 
Ví dụ 5: 
Cho hai đường tròn ngoài nhau ( ; )O R và ( '; ').O R A nằm trên đường tròn ( )O , B nằm trên đường 
tròn ( ').O Xác định vị trí các điểm ,A B để đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất, nhỏ nhất. 
Lời giải: 
( ')OO cắt ( )O tại ,C D và cắt ( ')O tại , .E F 
Xét ba điểm , ',A O B , ta có 
' ' ' 'O A O B AB O A O B− ≤ ≤ + 
Xét ba điểm , , 'O A O , ta có 
' ' 'O O OA O B OA OO− ≤ ≤ + 
Mà OA OC OD R= = = và 
' ' ' 'O B O E O F R= = = 
Do đó ' ' ' 'OO OD O E AB OC OO O F− − ≤ ≤ + + 
DE AB EF⇒ ≤ ≤ 
* AB EF≤ (không đổi) 
Dấu " "= xảy ra ,A C⇔ ≡ B F≡ 
 32
Vậy AB có độ dài lớn nhất khi A C≡ và B F≡ 
* AB DE≥ (không đổi) 
Dấu " "= xảy ra A D⇔ ≡ và B E≡ 
Vậy AB có độ dài nhỏ nhất khi A D≡ và B E≡ . 
▼ Dang 3: Vận dụng bất đẳng thức trong đường tròn. 
I. Kiến thức cần nhớ: 
- Đường kính dây cung lớn nhất của đường tròn. 
- Trong đường tròn ( )O : AB và CD 
là hai dây cung, H và K lần lượt là 
hình chiếu vuông góc trên AB và CD . 
Ta có OH OK AB CD≥ ⇔ ≤ 
  
AB CD AOB COD⇔ ≤ ⇔ ≤ 
Ví dụ 1: 
Cho đường tròn ( ; );O R AC là đường kính.BD là dây cung của ( ; )O R và BD vuông góc với AC . 
Xác định vị trí của dây BD để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất. 
Lời giải 
AB CD⊥ (gt) 
Nên 
1
. .
2ABCD
S AC BD R BD= = 
Mà BD là dây cung của ( ; )O R 
do đó 2BD R≤ 
Vậy 22ABCDS R≤ . 
Dấu " "= xảy ra BD là đưòng kính của ( )O . 
Ví dụ 2: 
Cho nửa đường tròn ( ; )O R đường kính AB . M là điểm di động trên nửa đường tròn. Qua M 
vẽ tiếp tuyến với đường tròn, gọi D,C lần lượt là hình chiếu, của A; B trên tiếp tuyến ấy. Xác 
định vị trí của điểm M để diện tích cùa tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất. 
Lời giải 
Ta có AD DC⊥ (gt) 
BC DC⊥ (gt) AD BC⇒  
ABCD⇒ là hình thang mà  90oD = 
nên ABCD là hình thang vuông. 
OM DC⊥ nên OM AD và O là trung điểm AB 
Nên OM là đường trung bình của hình thang ABCD 
2
AD BC
OM
+
⇒ = 
Do đó . .
2ABCD
AD BC
S DC OM DC
+
= = 
Vẽ AE BC⊥ . Tứ giác ADCE là hình chữ nhật 
  ( 90 )OADC DCE AEC= = = DC AE⇒ = 
 90OAEC = E⇒ thuộc đường tròn đường kính AB. 
 33
 AE⇒ là dây cung của đường tròn ( )O . 
 2DC R⇒ ≤ (trong đường tròn đường kính là dây cung lớn nhất) 
Do đó 2.2 2ABCDS R R R≤ = 
Dấu " "= xảy ra AE⇔ là đường kính của ( )O 
OM AB M⇔ ⊥ ⇔ là trung điểm AB . 
Ví dụ 3: 
Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn ( ; )O R . M là điểm di động trên trên ( )O . Xác 
định các vị trí của điểm M để tổng MA MB MC+ + đạt giá trị lớn nhất. 
Lời giải 
Xét M thuộc cung BC. 
Trên dây MA lấy điểm D sao cho 
MD MB MBD= ⇒ cân. 
  60oBMA BCA= = (hai góc nội tiếp cùng chắn AB ) 
Do dó MBD đều. 
,BD MB⇒ =  60oDBM = 
   60oABD ABC DBC DBC= − = − 
   60oMBC MBD DBC DBC= − = − 
Suy ra  ABD MBC= . 
Xét MBC và DBA có 
MB BD= , MBC ABD= ,BC AB= ( ABC đều) 
Do đó MBC = DBA (c.g.c) 
Suy ra MC DA= 
Ta có MA MD DA MB MC= + = + 
2.MA MB MC MA⇒ + + = . 
MA là dây cung của ( ; )O R 2MA R⇒ ≤ 
(Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn) 
Do đó 4MA MB MC R+ + ≤ (không đổi) 
Dấu " "= xảy ra MA⇔ là đường kính của ( )O 
M⇔ là trung điểm cung BC. 
Lập luận tương tự ta có ba vị trí để MA MB MC+ + đạt giá trị lớn nhấ là trung điểm các cung 
BC; AC; AB. 
Ví dụ 4: 
Cho đường tròn ( ; )O R ; BC là dây cung cố định ( 2BC R≠ ). A là điểm chuyển động trên cung 
lớn BC. Xác định vị trí của A để chu vi tam giác ABC lớn nhất. 
Lời giải 
.ABCP AB AC BC= + + 
BC không đổi. 
Trên tia đối tia AB lấy điểm D sao cho AD AC= 
ADC cân tại A  2BAC ADC⇒ = 
BAC không đổi ADC⇒ không đổi. 
BDC không đổi, BC cố định 
 34
D⇒ thuộc cung chứa góc có số đo 
1
4
sđBC của ( )O 
dựng trên đoạn thẳng BC. 
ABCP lớn nhất ( )max ( )maxAB AC AB CD⇔ + ⇔ + 
maxBD⇔ ⇔BD là đường kính 
của cung chứa góc nói trên. 
Khi đó  90oBDC = . 
Mà     90oABC BDC ACB ACD+ = + = 
 BDC ACD= ( )AC AD= 
Do đó    ABC ACB AB AC= ⇔ = ⇔A là trung điểm cung lớn BC. 
Ví dụ 5 : 
Cho đường tròn ( ; )O R .A điểm cố định trong đường tròn ( A O≠ ). Xác định vị trí của diểm B 
trên đường tròn ( )O sao cho OBA lớn nhất. 
Lời giải 
Vẽ dây BC của đường tròn ( )O qua A. 
OBC cân ( )OB OC= 

180
2
o BOC
OBC
−
= 
vẽ OH BC⊥ ( )H BC∈ 
A BC∈ nên OH OA≤ (không đổi) 
Dấu " "= xảy ra H A⇔ ≡ AB OA⇔ ⊥ tại A. 
Ta có OBA lớn nhất BOC⇔ nhỏ nhất 
BC⇔ nhỏ nhất ⇔ dây BC nhỏ nhất 
⇔ OH lớn nhất H A⇔ ≡ AB OA⇔ ⊥ tại A. 
▼ Dạng 4:Vận dụng bất đẳng thức đại số 
I. Kiến thức cần nắm: 
● Bất đẳng thức côsi cho 2 số dương: 
Cho 2 số dương a và b ta có: 
2
a b
ab
+
≥ 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b . 
● Bất đẳng thức Bunhiacopxki Sraxo (B.C.S): 
Cho 4 số thực a,b,x,y ta có: 
 ( ) ( )( )2 2 2 2 2ax by a b x y+ ≤ + + 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ax=by. 
II. Một số bài tập ví dụ: 
Ví dụ 1: 
Cho đoạn thẳng AB=a. C là điểm trên đoạn thẳng AB. Vẽ các hình vuông ABCD và CBFG. 
Xác định vị trí diểm C để ACDE CBFGS S+ đạt giá trị nhỏ nhất. 
Lời giải: 
Đặt AC = x 
 35
Ta có CB a x= − (0 x a≤ ≤ ) 
2
ACDES x= ,
2( )CBFGS a x= − 
2 2( )ACDE CBFGS S x a x+ = + − 
2 2 22x a ax x= + − + 
2 2
22( )
4 2
a a
x ax= − + + 
2 2 2
2
2 2 2
a a a
x = − + ≥ 
 
(không đổi) 
Dấu " "= xảy ra 0
2 2
a a
x x⇔ − = ⇔ = 
Ví dụ 2: 
Cho đoạn thẳng BC cố định. A là điẻm di động sao cho tam giac ABC nhọn. AA’ là đường cao 
và H là trực tâm của tam giác ABC. Xác định vị trí điểm A để 
'. 'AA HA đạt giá trị lớn nhất. 
Lời giải: 
Xét 'A BH và 'A AC có   ( )  ' ' 90 , ' 'oBA H AA C A BH A AC= = = 
(hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) 
Do đó 
' '
' ' '. ' ' . ' .
' '
HA A B
A BH A AC AA HA A B A C
A C AA
⇒ = ⇒ = ∼ 
Ta có 2' . ' ' ( ' ) ' . 'A B A C A B BC A B A B BC A B= − = − 
2
2( ' . ' )
4 2
BC BC
A B BC A B= − − + 
22 2
' .
4 2 4