Chuyên đề luyện thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Số phức - Lượng giác - Hình học

SỐ PHỨC - LƯỢNG GIÁC – HÌNH HỌC
Số phức – các công thức cơ bản:
Định nghĩa và các phép tính cơ bản:
Số ảo i là số thoả: .
Số phức z có dạng: trong đó a được gọi là phần thực, b gọi là phần ảo.
Cho 2 số phức . Khi đó:
.
(Các phép toán với số phức vẫn thực hiện y như với số thực, chỉ cần nhớ thêm ).
Với số phức thì đại lượng gọi là môđun của số phức z. Ký hiệu . Ý nghĩa của sẽ được làm rõ trong các phần tiếp theo.
Số phức gọi là số phức liên hợp của z và được ký hiệu là . Ta có: . 
Công thức De – Moivre:
Có thể nói công thức De – Moivre là một trong những công thức thú vị và là nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác sau này như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler. Chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu chuỗi công thức kỳ diệu này .
Trước hết ta có:
Công thức 1: 
Thật vậy:
Nếu thì hoàn toàn chẳng có gì mới cả, nhưng ở đây nên ta sẽ thu được:
Bây giờ nếu áp dụng công thức 1 cho trường hợp đặc biệt y=x thì ta sẽ được:
và tiếp tục là:
Bằng phép quy nạp ta sẽ thu được công thức 2. 
Công thức 2 (Công thức De - Moivre):
Từ những phép tính không mấy phức tạp ta đã thu được 1 công thức rất hay J.
Bây giờ ta sẽ tìm hiểu các ứng dụng của công thức này.
Các ứng dụng của công thức De – Moivre:
Tính – rút gọn các tổng lượng giác:
Các bạn học lượng giác chắc đã từng phải rút gọn các tổng sau:
Dùng công thức De - Moivre ta có thể tính khá dễ dàng A, B và hơn nữa là tính đồng thời cả A, B. Thật vậy:
Ta áp dụng công thức nhân 2 để rút gọn VP:
So sánh phần thực và phần ảo 2 vế ta thu được kết quả :
Vậy ta đã rút gọn được các tổng A, B. Tuy nhiên có 1 lưu ý nhỏ là với thì dễ dàng tính trực tiếp A, B mà không cần dùng đến công thức De – Moivre (và thật sự không thể dùng công thức De – Moivre, vì sao?).
Ngoài ra các bạn cũng có thể rút gọn phân số
bằng công thức De – Moivre, phần này dành cho các bạn xem như bài tập .
Luỹ thừa – Khai căn số phức:
Luỹ thừa:
VD: tính .
Ta có: 
nên 
Như vậy để áp dụng công thức De – Moivre cho luỹ thừa số phức, ta chỉ cần chuyển 1 số phức bất kỳ thành dạng lượng giác, và điều này luôn có thể làm được! Thật vậy, với số phức ta có:
với và góc được gọi là argument của z, ký hiệu là .
Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai căn.
Khai căn 1 số phức: Giả sử t là căn bậc n của số phức
Ta có :
Do đó:
(Tại sao ta chỉ lấy ?)
Vậy 1 số phức có đúng n căn bậc n.
Về các căn bậc n của số 1 có nhiều điều khá thú vị, ở đây xin nêu 1 phối hợp giữa chúng với định lý Viet để tính tổng, cụ thể ta sẽ tính tổng sau đây:
Trước hết ta có nhận xét hữu ích sau:
Nhận xét:
Nếu t là căn bậc n của 1 và thì t là nghiệm của phương trình 
.
Thật vậy:
Với 2n căn bậc 2n+1 của số 1 là:
ta có thể áp dụng nhận xét trên và suy ra 2n số phức này là 2n nghiệm phân biệt (?) của phương trình :
do đó theo định lý Viet thì:
đồng nhất phần thực 2 vế ta được:
Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu kỹ hơn về ý nghĩa hình học của số phức và của công thức De – Moivre.
Ý nghĩa hình học của số phức:
Trước hết ta có thể coi 1 số phức như là 1 điểm hay là . 
Nếu ta xem mỗi số thực k như là một ‘lệnh’, tức là là ‘lệnh’ biến vectơ thành 1 vectơ mới cùng phương với và có độ dài gấp lần độ dài của , thì ta sẽ thấy là các số thực chưa đủ để biểu diễn hết các ‘lệnh’(tức các phép biến hình), vì các số thực chỉ ứng với các ‘lệnh‘ (PBH) cùng phương, còn các ‘lệnh’ khác như phép quay, phép đồng dạng, phép đối xứng thì sao? Rõ ràng là để biểu diễn các PBH này ta cần thêm những số mới, nằm ngoài tập số thực, và câu trả lời thật bất ngờ, các số phức chính là biểu diễn của phép quay, phép đồng dạng.
Thật vậy ta xét lại phép nhân 1 vectơ trong mặt phẳng phức với số phức . Ta có:
nếu các bạn nhớ lại công thức toạ độ của phép quay (mà tôi đã có dịp trình bày) thì đây chính là phép quay với góc .
Vậy số phức có thể đồng nhất với phép quay góc . Đặc biệt số ảo i chính là phép quay góc vì: . Với cách nhìn mới này thì đẳng thức trở nên hoàn toàn hợp lý, vì chính là thực hiện liên tiếp 2 phép quay góc nên kết quả sẽ là phép quay góc 1800, tức là bằng –1.
Và cũng với cách giải thích này công thức 1 (hay công thức De – Moivre) cũng có ý nghĩa hh rất rõ ràng đó là: tích của 2 phép quay góc x và góc y chính là phép quay với góc x+y.
Tổng quát thì số phức sẽ biểu diễn 1 phép đồng dạng gồm phép quay với góc và phép vị tự với tỉ lệ r. Cm chi tiết của điều này dành cho các bạn.
Sau đây xin chuyển sang 1 công thức kỳ diệu khác mang tên nhà toán học vĩ đại Euler, công thức này sẽ cho ta thấy hoá ra các hàm lượng giác và hàm mũ có ‘bà con’ rất gần với nhau.
Công thức Euler: 
Tại sao Euler lại có thể nghĩ ra 1 công thức táo bạo như thế? Điều này có thể lý giải nhờ vào sự tương tự giữa công thức De – Moivre với tính chất của hàm mũ . Ta nhớ lại hàm có tính chất sau đây:
.
Và nếu ta xét hàm thì do công thức De – Moivre hàm cũng có tính chất y như hàm , i.e: .
Điểm giống nhau cơ bản này có lẽ là cơ sở để Euler đề ra công thức tuyệt vời của mình.
Dĩ nhiên để cm chặt chẽ công thức này còn phải dùng đến công cụ khá mạnh đó là khai triển Taylor của các hàm . Ở đây chúng ta chấp nhận các công thức khai triển này, cụ thể ta có:
Áp dụng các công thức khai triển này ta sẽ cm được công thức Euler, chi tiết dành cho các bạn.
Cuối cùng xin nêu ra cách giải bằng số phức của một bài toán hình học khá thú vị trên Berkeley Math Circle (BMC).
Một bài toán hình thú vị trên BMC:
Bài toán: Cho đa giác đều n-cạnh nội tiếp trong đường tròn và 1 điểm M di động trên đường tròn này. Đặt 
. 
Với những giá trị nào của số tự nhiên k thì không phụ thuộc vị trí của M trên đường tròn ?
Nếu ta tấn công ngay lập tức bài toán tổng quát này thì sẽ gặp khó khăn, do đó ta hãy giải bài toán với những giá trị cụ thể của n. Đầu tiên với giá trị nhỏ nhất n=3 ta có:
Bài toán 1: cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn và điểm M di động trên đường tròn này. Tìm các giá trị tự nhiên của k sao cho tổng
không phụ thuộc vị trí của M.
Phân tích:
Rõ ràng k=1 không thoả (?).
k=2 thoả. Có thể cm tổng không phụ thuộc M bằng cách dùng công thức tâm tỉ cự.
Với việc tính tổng trở nên khá phức tạp, nhất là với k lẻ thì ta không còn dùng được công cụ vectơ (có thể các bạn tìm được ra cách lý luận để xử lý riêng trường hợp k lẻ) để tính tổng này. Còn với k chẵn thì khi k=4 ta cần tính tổng:
.
có thể tính theo bằng cách dùng hằng đẳng thức tuy nhiên tính toán cũng khá dài và do đó cách này cũng không thể mở rộng cho các số mũ k lớn hơn.
Để giải quyết những khó khăn nói trên, tôi đã nghĩ đến việc chuyển sang dùng định lý hàm sin và thật bất ngờ cách này đã cho tôi lời giải cho trường hợp k chẵn và 1 số gợi ý cho trường hợp k lẻ. Cụ thể như sau:
Đặt . Do tính đối xứng nên ta có thể giả sử , khi đó dùng định lý hàm sin ta tính được:
Không mất tính tổng quát ta có thể cho R=1. Khi đó 
và bài toán trở thành:
Tìm các giá trị của k sao cho tổng 
không phụ thuộc .
Để cho tiện tôi cũng ký hiệu là . Ta nhận thấy
xét 3 góc . Dễ kiểm chứng là , do đó:
Suy ra 3 số đều là nghiệm của phương trình 
Từ đây ta có thể dùng định lý Viet cho phương trình bậc 3 và được:
Khi đã biết các biểu thức đối xứng cơ bản này thì ta có thể tính được mọi tổng:
nhờ vào công thức truy hồi và 3 tổng đầu tiên .
Tuy nhiên chú ý rằng đây chưa phải là các tổng mà ta cần tính vì . Do đó chỉ với những k chẵn thì , còn k lẻ thì .
Ta xét 1 số trường hợp :
k=4: 
k=3: 
với .
Rõ ràng phụ thuộc vào góc .
Tuy nhiên cách giải này khi mở rộng lên trường hợp n-giác đều thì sẽ bị 1 số khó khăn việc tính các sẽ trở nên phức tạp và do đó tính càng phức tạp hơn. Do đó ta lại phải tìm 1 hướng khác. 
Một suy nghĩ khá tự nhiên khi gặp các lũy thừa bậc cao của các hàm lượng giác là tìm cách hạ bậc chúng (vd: ).
Ở đây ta có thể “hạ bậc” 1 lũy thừa bất kỳ nhờ vào sự trợ giúp của số phức. Từ ý tưởng này tôi đã tìm được lời giải hoàn chỉnh cho trường hợp k chẵn, k=2l. Xin nêu lên các ý chính của bài toán tổng quát cho n-giác đều.
Trước hết cũng đặt và dùng định lý hàm sin ta được:
Do đó tổng cần tính trở thành:
Như vậy ta chỉ cần tính tổng
Dùng công thức nhân 2 ta có:
Sở dĩ ta đưa về các góc là vì chúng có mối “liên quan” đến các căn bậc n của đơn vị mà ta sẽ thấy ngay sau đây. Dùng công thức Euler và nhận xét về tính chất của các căn bậc n của đơn vị ta có thể cm được bổ đề quan trọng sau:
Bổ đề: Với số tự nhiên m và góc bất kỳ, đặt 
Khi đó:
nếu không là bội số của n thì tổng sẽ không phụ thuộc . Chính xác hơn là .
Nếu m là bội số của n thì .
Đến đây chắc các bạn đã nhận ra được điều cần làm, đó là liên kết tổng với các tổng . Thật vậy dùng công thức khai triển nhị thức cho từng số hạng của tổng ta được: 
Suy ra:
Đến đây ta chỉ cần “hạ bậc” các số hạng là liên kết được tổng
với tổng . Việc “hạ bậc” này được thực hiện bằng quy nạp và dựa vào công thức biểu diễn theo .
Tóm lại quy trình giải bài toán tổng quát là như sau:
Tìm công thức “hạ bậc hoàn toàn” cho .
Thế công thức “hạ bậc” vào để tính các tổng (*).
Cuối cùng thế kết quả vào công thức (**) để tính .
Ví dụ với m=4 ta có công thức hạ bậc , thế vào ta được:
Trong đó
 khi 4 không là bội của n.
Và khi 2 không là bội của n.
Do đó: 
.
Tương tự với m=2: 
Và với m=3: 
Thế vào công thức (*) tính được: 
Tổng quát với các số mũ m<n thì các tổng đều là hằng số và khi các tổng này không còn là hằng số nữa, do đó , còn phụ thuộc góc , . 
Như vậy vấn đề duy nhất còn lại là cm bổ đề. Xin nhường để các bạn suy nghĩ xem như 1 bài tập.