Chuyên đề luyện thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Hệ phương trình đại số, vô tỉ

x 2y 1
x 14y 1 4xy
− = + − =
 Chú ý: Kh i rút ẩn x ( h oặc y) p h ải đảm bảo được biểu th ức rút được là đơn giản nhất. 
2. Hệ p h ương trình đối xứng loại I với h ai ẩn x và y: 
 a.Định ngh ĩa: 
 Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi. 
 b.Cách giải: 
Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với 2 4S P≥ ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P. 
Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn 2 4S P≥ . 
Bước 3: Với mỗi cặp S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình : 
 2 0X SX P− + = ( định lý Viét đảo ). 
Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ do đó 
hệ có nghiệm duy nhất thì 0 0x y= . 
Ví du 1ï: Giải các hệ phương trình sau : 
 1) 


=++
=++
2
422
yxxy
yxyx
 2) 
2 2
7
3 3 16
x y xy
x y x y
+ + = − + − − =
 3) 


=+
=++
30
11
22 xyyx
yxxy
 4)


=+++
=+
092)(3
1322
xyyx
yx
 3 
 5) 
 =+
=+
35
30
33
22
yx
xyyx
 6) 


=+
=+
20
6
22 xyyx
xyyx
 7) 


=−+
=+
4
4
xyyx
yx
 8)


=+
=+
2
3444
yx
yx
1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10)− − + − − + 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 
4) 
10 10 10 10(3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 )2 2 2 2− − − + − − − − − + 5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1) 
7) (4;4) 8) (1 2;1 2), (1 2;1 2)− + + − 
Ví dụ2 : Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm: 


−=+
=+
myyxx
yx
31
1
Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm: 
x 2 y 3 5
x y m
 − + + = + =
3. Hệ phương trình đối xứng loại II với hai ẩn x và y: 
a.Định nghĩa: 
Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì phương trình nầy trở thành phương trình 
kia của hệ. 
b. Cách giải thường dùng: 
• Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số. 
• Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ . 
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: 
 1) 
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x y y
y x x
 + = − + = −
 2) 
 =+
=+
yxyy
xxyx
32
32
2
2
 3) 
2 3 2
2 3 2
3 2
3 2
y x x x
x y y y
 = − + = − +
 4) 
2
2
1
3
1
3
x y
x
y x
y
 + = + =
 5) 



+=
+=
2
2
2
2
23
23
y
x
x
x
yy
 6) 
3 2
3 2
x 2x 2x 1 2y
y 2y 2y 1 2x
 − + + = − + + =
III. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai: 
 a. Dạng : 
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
 + + = + + =
 b. Cách giải : 
Đặt ẩn phụ 
x
t
y
= hoặc 
y
t
x
= . Giả sử ta chọn cách đặt 
x
t
y
= . 
 Khi đó ta có thể tiến hành hai cách giải như sau: 
 Cách 1: 
Bước 1: Kiểm tra xem (x, 0) có phải là nghiệm của hệ hay không ? 
Bước 2: Với y≠ 0 ta đặt x = ty. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y .Từ 2 phương trình ta 
 4 
 khử y để được 1 phương trình chứa t . 
Bước 3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x, y. 
 Cách 2 : Khử hệ số tự do ( không chứa x hoặc y). 
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: 
 1) 
2 2
2 2
3 2 11
2 5 25
x xy y
x xy y
 + + = + + =
 2) 
 =−−
=−−
495
5626
22
22
yxyx
yxyx
 3) 
3 2
3 2
2 3 5
6 7
x x y
y xy
 + = + =
IV. Các hệ phương trình khác: 
 Ta có thể sử dụng các phương pháp sau: 
a. Đặt ẩn phụ: 
 Ví dụ : Giải các hệ phương trình : 
 1) 


=++−+
−=+−
6
3
22 xyyxyx
yxxy
 2) 


=−−
=−−+
36)1()1(
1222
yyxx
yxyx
 3)
2 2
3 2 2 3
5
6
x y x y
x x y xy y
 − + − = − − + =
 4) 
2
2
x 1 y(y x) 4y
(x 1)(y x 2) y
 + + + = + + − =
b. Sử dụng phép cộng và phép thế: 
 Ví dụ: Giải hệ phương trình : 
2 2
2 2
x y 10x 0
x y 4x 2y 20 0
 + − = + + − − =
c. Biến đổi về tích số: 
 Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau: 
 1) 
 +=+
+=+
)(322
22
yxyx
yyxx
 2) 
 ++=+
+=+
2
77
22
33
yxyx
yyxx
 3) 



+=
−=−
12
11
3xy
y
y
x
x
 . 
 4) 
5 5
9 9 4 4
x y 1
x y x y
 + =


 + = +
; 5) 
3 3
5 5 2 2
x y 1
x y x y
 + =


 + = +
d) Phương pháp đánh giá 
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: 
 1) 
2 2
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 4
x y

 + + + =



 + + + =

 2) 
3 3
2 2
x y 1
x y 1
 + =


 + =
; 3) 
4 4
6 6
x y 1
x y 1
 + =


 + =
; 
e. Sử dụng đạo hàm 
 Kiến thức: 
 5 
* Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình 
f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). (do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì x0 
đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) 
* Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì 
phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao 
cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)). 
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: 
 1) 
3 2
3 2
x 1 2(x x y)
y 1 2(y y x)
 + = − +


 + = − +
; 2) 
3 2
3 2
3 2
x 3x 5x 1 4y
y 3y 5y 1 4z
z 3z 5z 1 4x
 − + + =

 − + + =


 − + + =

; 
3) 
3 2
x y y y 2
3 2
y z z z 2
3 2
z x x x 2
 = + + −


 = + + −



 = + + −

 4) 
3 2
2x 1 y y y
3 2
2y 1 z z z
3 2
2z 1 x x x
 + = + +


 + = + +



 + = + +

. 
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Gi¶i c¸c hƯ ph−¬ng tr×nh sau : 
1, + + = − − + = − 2 2
1( 99)6
x xy y MTCNx y y x 2,
 + = − − + =
2 2
4 2 2 4
5 ( 98)
13
x y NT
x x y y
3,  + = − + =
2 2
3 3
30( 93)
35
x y y x BK
x y
 4,  + = − + = +
3 3
5 5 2 2
1 ( 97)x y AN
x y x y
5,  + + = − + + =
2 2
4 4 2 2
7 ( 1 2000)
21
x y xy SP
x y x y
 6, + + = − + + + = 2 2
11 ( 2000)3( ) 28
x y xy QGx y x y 
7,
 + = + − + =
7 1
( 99)
78
x y
y x xy HH
x xy y xy
 8,
 + + = − + + =
2 2
2 2
1( )(1 ) 5
( 99)1( )(1 ) 49
x y xy NT
x y x y
9,
 + + + = − + + + =
2 2
2 2
1 1 4
( 99)1 1 4
x y x y AN
x y x y
 10, + + = − + + = 2
( 2)(2 ) 9 ( 2001)4 6
x x x y ANx x y 
11,
 + + + + + + + + + = − + + + − + + + + − =
2 2
2 2
1 1 18( 99)
1 1 2
x x y x y x y y AN
x x y x y x y y
 6 
12, + + = − + + − = 2
(3 2 )( 1) 12( 97)2 4 8 0
x x y x BCVTx y x 13,
 + = − + =
2 2
2 2 2
6 ( 1 2000)
1 5
y xy x SP
x y x
14, + = − + + = 2 2 3 3
4 ( 2001)( )( ) 280
x y HVQHQTx y x y 15,
 − = − − − = −
2 2
2 2
2 3 2( 2000)
2 3 2
x x y QG
y y x
16,  = − − = −
2
2
3 ( 98)
3
x x y MTCN
y y x
 17,
 + = − + =
1 32
( 99)1 32
x y x QG
y x y
18,  = + − = +
3
3
3 8 ( 98)
3 8
x x y QG
y y x
 19,
 + = − + =
2
2
32
( 2001)32
x y x TL
y x y
20,  + + − = − + + − =
5 2 7( 1 2000)
5 2 7
x y NN
y x
 21,
 += − + =
2
2
2
2
23
( 2003)23
yy x KhèiBxx y
22,  − = − − − =
2
2 2
3 2 16 ( )
3 2 8
x xy HH TPHCM
x xy x
 23,  + = − + = −
3 3 3
2 2
1 19 ( 2001)
6
x y x TM
y xy x
24,  − + = − − + =
2 2
2 2
2 3 9 ( )
2 13 15 0
x xy y HVNH TPHCM
x xy y
 25,  − = − + =
2 2
2 2
2 ( ) 3 ( § 97)
( ) 10
y x y x M C
x x y y
Đề dự bị năm 2007. 
4 3 2 2
3 2
x x y x y 1
x y x xy 1
 − + =


 − + = −
; 
2
23
2
23
2xy
x x y
x 2x 9
2xy
y y x
y 2y 9

 + = +

 − +


 + = +
 − +
; 
Bµi tËp THAM KHẢO 
1. giải các hệ phương trình: 
a)
2 29 4 36
2 5
x y
x y
 + = + =
 ; b)
2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy
 − + = − =
 ; c)
2 2 1
3
x xy y
x y xy
 + + = − − =
d)
2 2 58
10
x y
x y
 + = + =
 ; e) 
2 2 28
4
x y
xy
 + = =
 ; g) 
2 2 4
2
x xy y
x xy y
 + + = + + =
;' h)
13
6
5
x y
y x
x y
 + = + =
l)
2 2 164
2
x y
x y
 + = − =
 ; m) 
2 2 8
5
x x y y
x xy y
 + + + = + + =
; n) 2 2
11 (DHQG-2000)
3( ) 28
x y xy
x y x y
+ + = + + + =
 7 
I)
2 2 13
2
x xy y
x y
 − + = + = −
; K) 
2 2 2( ) 31
11
x xy y x y
x xy y
 − + − + = − + + =
; u)
2 2 2
1
x y x y
xy x y
 + − + = + − = −
v) 90
9
xy
x y
= − = ; w)
2 2 4
( 1) ( 1) 2
x x y y
x x y y y
 + − + = − + + − =
; p)
2 2 6
3
x xy y x y
xy x y
 + + − + = − + = −
; 
Q)
1 1 7
2
2( ) 3
xy
x y
x y xy
 + + = + =
2. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau. 
a)
2 2
2 2
2 3 2 ( 2000)
2 3 2
x x y
DHQGKB
y y x
 − = − − − = −
; b) 
3 4
( 1997)
3 4
y
x y
x DHQGKA
xy x
y
 − = − − =
c)
2 2
2 2
2 2
2 2
x y x y
y x y x
 − = + − = +
; d)
2
2
2 3
2 3
x xy x
y xy y
 + = + =
 ; 
g)
2
2
2
1
2
1
y
x
y
xy
x
 = − = −
; h)
2
2
2
2
1
1
1
1
y
x
y
xy
x
 −= + − = +
; l)
2 2
2 2
2 3 15
2 8
x xy y
x xy y
 + + = + + =
m)
2 2
2 2
2 3 9 ( , 2000)
2 2 2
x xy y
DHSPTPHCMKA B
x xy y
 + + = − + + =
; n) 
2 2
2 2
2 4 1
3 2 2 7
x xy y
x xy y
 − + = − + + =
. 
3. giải các hệ phương trình sau: 
a)
2 2
2 2
2 17
3 2 2 11
x xy y
x xy y
 + + = + + =
; b) 
2
2 2
3 2 160
3 2 8
x xy
x xy y
 − = − − =
; c)
2 2
2 2
6 2 56
5 49
x xy y
x xy y
 − − = − − =
d:
2 2 5
2 5 2
2
x xy y
y x
x y xy
 + − = − − = −
; e)
2 22 3 0
2
x xy y
x x y y
 + − = + = −
; g)
2
2
13 4
13 4
x x y
y y x
 = + = +
; 
h)
1 12 2
1 12 2
yx
xy
 + − = + − =
; i). ( ) ( )2 2 3 3
4
( 2000)
280
x y
HVQHQT
x y x y
+ = − + + =
k) 
2 2
x 1 x 3 x 5 y 1 y 3 y 5
x y x y 80
 + + + + + = − + − + − + + + =
 8 
 1) 
10 10 4 4
x y
xy
y x ;
x y 8x y
 + = + =
23
23
x 1 y 6 y 1
2) ;
y 1 x 6 x 1
 − +