Chuyên đề Lượng giác đầy đủ

nx 2 2 2 2cos ;cot ;cos ; sin
4 2 4 2
x xx x         
   
sinx+cosx cos 2 ;cot 2 ;1 sin 2 ;1 tan ;1 cot ;tan cotx x x x x x x    
cosx-sinx cos 2 ;cot 2 ;1 sin 2 ;1 tan ;1 cot ; tan cotx x x x x x x    
Ví dụ 4: Giải phương trình sin sin 2 sin3 0a x b x c x   
HD:  3sin 2 sin cos 3sin 4sin 0PT a x b x x c x x     
www.VNMATH.com
 - 4 - 
  2sin 4sin 2 cos 3 0x x b x a c      
Ví dụ 5: Giải phương trình 1 tan 1 sin 2
1 tan
x x
x

 

HD: ĐK: 
tan 1 4
cos 0
2
x kx
k Z
x x k




   
  
   

PT    
 
1sin cos sin cos 0
1 tan cos
x x x x
x x
 
      
 
2 2
2 2
cos sin 1sin cos 0
cos sin
sin cos 0 tan 1
cos2 1cos sin 1 0
x xx x
x x
x x x
xx x
  
    
    
      
Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: 
Ví dụ 6. Giải phương trình lượng giác: 8 8 17sin cos
32
x x  (4). 
Giải Ta có (4) 
4 4
4 21 cos 2 1 cos 2 17 1 17(cos 2 6 cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x x x             
   
Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có 2 2
1
17 13 26 1 6 0
134 4
2
t
t t t t
t
 
        
  
Vì t[0;1], nên 21 1 cos 4 1 1cos 2
2 2 2 2
xt x      cos4x = 0 
 4 , ( )
2 8 4
π π πx kπ x k k      
Ví dụ 7. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5) 
Giải Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0 
 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0 
 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 
cos 1 2 , ( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*) 
x x k π k
x x x x
   
     

Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | 2t  , khi đó phương trình (*) trở thành: 
2t + t2 – 1 + 1 = 0  t2 + 2t = 0
0
sin -cos , ( )
2 ( 4
t πx x x nπ n
t lo

         

¹i)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
4
πx nπ   ; 2 , ( , ) x k π n k  
Phương pháp 4: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng 
cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. 
Ví dụ 8. Giải phương trình: |sin | cosxπ x (6). 
Giải Điều kiện: x ≥ 0 
Do | sin | 0,x  nên |sin | 0 1xπ π  , mà |cosx| ≤ 1. 
www.VNMATH.com
 - 5 - 
Do đó 
2 2 2 0| sin | 0 , ( )(6)
0| cos | 1 ,( )
k nx k π k π nx x kπ k
xx nπ x nπx x nπ n
         
        
       


(Vì k, n  Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. 
Phương pháp 5: Sử dụng tính chất hàm số. 
Ví dụ 9: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 
2
1 cos
2
x x  . 
Giải Đặt 
2
( )=cos
2
xf x x  . Dễ thấy f(x) = f(x), x  , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy 
trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0. 
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 
 f(x) đồng biến với x≥0 . 
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình. 
Ví dụ 10: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;
2
π 
 
 
thoả mãn phương trình:
2
2sin cos 2
n
n nx x

  . 
Giải 
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x. 
 = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x) 
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0;
2
 
 
 
, ta có minf(x) = f
4
 
 
 
 = 
2
22
n
Vậy x = 
4
 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 
BÀI TẬP 
Giải các phương trình sau: 
1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2
2
x k x n    
2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) 
HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: ; 2
4 3
x k x n        
3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 
ĐS: 7; ; .
4 4 12 12
x k x n x m            
4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:
2
x k  . 
5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội) 
ĐS: 2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l             với 1sin
4
   . 
6. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: 
4
x k   . 
7. sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x         
   
; (Học Viện BCVT) ĐS: 
4 2
x k   
8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x 
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: 
12
x k  . 
www.VNMATH.com
 - 6 - 
9. 1 1 74sin
3sin 4sin
2
x
x x


        
 
 ĐS: 
4
8
5
8
x k
x k
x k






  

  


  

10. 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x   
HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = 
3
k   , 
4
x k    
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx 
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 2 2 ( )
4 3
x k x k k         
12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). 
HD 
(1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. 
2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. 
2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. 
Đặt t=cosx, ĐK 1t  , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. 
=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2. 
 
 
1
12 cos
2sin - 2
t
x
t x

  
 loaïi
 (biết giải) 
13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. 
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0. 
Đặt t=sinx, ĐK 1t  . 
2(1–2cosx)t2–t+cosx=0  =(4cosx–1)2. 
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. 
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. 
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0. 
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp  
15. Giải phương trình lượng giác:  2 cos sin1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x


 
Giải: Điều kiện:  cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
 


Từ (1) ta có: cos .sin 2 2 sin
cos
x x x
x
    
2
4 2
42
4
DK
x k
k x k k
x k






  
      
   

  
16. Giải phương trình:  
4 4sin cos 1 tan cot
sin 2 2
x x x x
x

  (1) 
Giải:Điều kiện: sin 2 0x  
211 sin 2 1 sin cos2(1)
sin 2 2 cos sin
x x x
x x x

    
 
2
2
11 sin 2 1 12 1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x
x x

       
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
17. Giải phương trình: 2 22sin 2sin tan
4
x x x    
 
. 
www.VNMATH.com
 - 7 - 
Giải:Pt 2 22sin 2 sin tan
4
x x x    
 
 (cosx )0 21 cos 2 cos 2sin .cos sin
2
x x x x x        
  
 (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0  sin2x = 1 hoặc tanx = 1. 
18. Giải phương trình:    3sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos s inx 3 3 0x x c x c x x       . 
HD 
2 3 22sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0PT x x x x x x x x         
2
2
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3 cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0 cos 4 ( ai)
x x x x
x
x x
x
x x x
     
 
   
   
     lo
,3
2
x k
k
x k



   


 
19. Giải phương trình: cosx=8sin3
6
x   
 
HD: cosx=8sin3
6
x   
 
 cosx =  33 sin cosx x 
 3 2 2 33 3 sin 9sin cos 3 3 sin cos cos cos 0x x x x x x x     (3) 
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm 
 (3)  3 23 3 tan 8 tan 3 3 tan 0x x x   tan 0 x x k    
20. Giải phương trình: cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x    
Giải: Phương trình  (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 
cos sin 1
cos sin 5 ( )
x x
x x loai
  
   
    222 sin 1 sin sin ( )4 4 4 2
x k
x x k Z
x k
   
 
  
       
  
21. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 
ĐS: x = 
3 2
k 
 (kZ) 
22. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2
8
 
HD: Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2
8
 
 cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2
8
 
  2 2 2 3 2cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin3 sin
2
x x x x x x      2cos 4 ,
2 16 2
x x k k Z       . 
23. Định m để phương trình sau có nghiệm 
24sin 3 sin 4cos 3 cos cos 2 0
4 4 4
x x x x x m                  
     
Giải: Ta có: *  4sin 3 sin 2 cos 2 cos 4x x x x  ; 
*  4cos 3 cos 2 cos 2 cos 4 2 sin 2 cos 4
4 4 2
x x x x x x                    
      
*  2 1 1cos 2 1 cos 4 1 sin 4
4 2 2 2
x x x              
    
Do đó phương trình đã cho tương đương:   1 12 cos 2 sin 2 sin 4 0 (1)
2 2
x x x m     
Đặt cos 2 sin 2 2 cos 2
4
t x x x      
 
 (điều kiện: 2 2t   ). 
www.VNMATH.com
 - 8 - 
Khi đó 2sin 4 2sin 2 cos2 1x x x t   . Phương trình (1) trở thành: 
2 4 2 2 0t t m    (2) với 2 2t   2(2) 4 2 2t t m    
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ) : 2 2D y m  (là đường song song với 
Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): 2 4y t t  với 2 2t   . 
x 2 2 
y’ + 
y 2 4 2 
 2 4 2 
Trong đoạn 2; 2   , hàm số 
2 4y t t  đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại 2t   và đạt giá 
trị lớn nhất là 2 4 2 tại 2t  . 
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2 2 4 2m     
2 2 2 2m    . 
o0o 
Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CỦA BỘ GD&ĐT 
Bài 1: Tìm nghiệm thuộc (0;2 ) của pt: os3 sin 35 sin os2 3.
1 2sin 2
c x xx c x
x
     
 (A 2002) 
ĐS: 1 2
5; .
3 2
x x   
Bài 2: Giải phương trình: 2 2 2 2sin 3 os 4 sin 5 os 6 .x c x x c x   (B 2002) 
ĐS: ; ( ).
9 2
x k x k k    
Bài 3: Tìm x thuộc  0;14 nghiệm đúng pt: cos3 4cos 2 3cos 4 0.x x x    (D 2002) 
ĐS: 3 5 7; ; ;
2 2 2 2
x x x x       . 
Bài 4: Giải phương trình: 2os2 1cot 1 sin sin 2 .
1 tan 2
c xx x x
x
   

 (A 2003) 
ĐS: ( ).
4
x k k    
Bài 5: Giải phương trình: 2cot tan 4sin 2 (1)
sin 2
x x x
x
   (B 2003) 
ĐS: , .
3
x k k     
Bài 6: Giải phương trình: 2 2 2sin tan os 0.
2 4 2
x xx c    
 
 (D 2003) 
ĐS: 2 ( ).
4
x k hay x k k        
Bài 7: Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện 
os2 2 2 os 2 2 osC=3.c c c  Tính ba góc của tam giác ABC. (A 2004) 
ĐS: 
0
0
90
45C
 

  
Bài 8: Giải phươn