Chuyên đề Lượng giác

 phương trình: 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin3 6 2 cos 1 0x x x x    (3). 
Giải 
Ta có: 
3 3 3
2 2
2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2
2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2
2
cos 2 (1 cos 4 )
2
2
cos 2 .cos 2
4
2
cos 2
2 8
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x
π
x x
    
  
      
  
  
 
     , ( )kπ k 
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: 
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: 8 8
17
sin cos
32
x x  (4). 
Giải 
Ta có (4) 
4 4
4 21 cos 2 1 cos 2 17 1 17(cos 2 6cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x
x x
    
         
   
 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 4 
Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có 2 2
1
17 13 2
6 1 6 0
134 4
2
t
t t t t
t


        
  

Vì t[0;1], nên 2
1 1 cos 4 1 1
cos 2
2 2 2 2
x
t x

     
 cos4x = 0 4 , ( )
2 8 4
π π π
x kπ x k k      
Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5) 
Giải 
Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0 
 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0 
 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*) 
x x k π k
x x x x
   
     

Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | 2t  , khi đó phương trình (*) trở thành: 
2t + t
2
 – 1 + 1 = 0  t2 + 2t = 0
0
sin -cos ,( )
2 ( 4
t π
x x x nπ n
t lo

         

¹i)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
4
π
x nπ   ; 2 , ( , ) x k π n k  
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách 
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. 
Ví dụ 6. Giải phương trình: |sin | cosxπ x (6). 
Giải 
Điều kiện: x ≥ 0 
Do | sin | 0,x  nên |sin | 0 1xπ π  , mà |cosx| ≤ 1. 
Do đó 
2 2 2 0| sin | 0 ,( )
(6)
0| cos | 1 ,( )
k nx k π k π nx x kπ k
xx nπ x nπx x nπ n
         
        
       


(Vì k, n  Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. 
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số. 
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 
2
1 cos
2
x
x  . 
Giải 
Đặt 
2
( )=cos
2
x
f x x  . Dễ thấy f(x) = f(x), x  , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ 
xét với x ≥ 0. 
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0  
f(x) đồng biến với x≥0 . 
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình. 
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;
2
π 
 
 
 thoả mãn 
phương trình:
2
2sin cos 2
n
n nx x

  . 
Giải 
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x. 
 = nsinx.cosx(sin
n-2
x – cosn-2x) 
 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 5 
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0;
2
 
 
 
, ta có minf(x) = f
4
 
 
 
 = 
2
22
n
Vậy x = 
4

 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 
BÀI TẬP 
Giải các phƣơng trình sau: 
1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 
2 ; 2
2
x k x n

    
2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) 
HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: ; 2
4 3
x k x n
 
       
3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thƣơng Mại) 
ĐS: 
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
   
         
4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:
2
x k

 . 
5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội) 
ĐS: 2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l

            với 
1
sin
4
   . 
6. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: 
4
x k

  . 
7. sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
    
     
   
; (Học Viện BCVT) ĐS: 
4 2
x k
 
  
8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x 
HD: sin
2
x.sinx.cos3x+cos
2
x. cosx.sin3x=sin
3
4x ĐS: 
12
x k

 . 
9. 
1 1 7
4sin
3sin 4
sin
2
x
x
x


 
   
   
 
 
 ĐS: 
4
8
5
8
x k
x k
x k







 

  


  

10. 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x   
HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = 
3
k

  , 
4
x k

   
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx 
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 
2
2 ( )
4 3
x k x k k
 
        
12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). 
Giải 
(1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. 
2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. 
2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. 
Đặt t=cosx, ĐK 1t  , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. =(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2. 
 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 6 
 
 
1
1
2 cos
2
sin - 2
t
x
t x

  

 loaïi
 (biết giải) 
13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. 
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0. 
Đặt t=sinx, ĐK 1t  . 
2(1–2cosx)t2–t+cosx=0  =(4cosx–1)2. 
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. 
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. 
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(cos
2
x–sin2x)=0. 
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp  
15. Giải phƣơng trình lƣợng giác: 
 2 cos sin1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x


 
Giải 
Điều kiện: 
 cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
 


Từ (1) ta có: 
 2 cos sin1 cos .sin 2
2 sin
sin cos 2 cos cos
1
cos sin 2 sin
x x x x
x
x x x x
x x x

  
 
2sin .cos 2 sinx x x  
 
2
2 4
cos
2
2
4
x k
x k
x k





 
   
   

 
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là  2
4
x k k

    
16. Giải phƣơng trình:  
4 4sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x

  
Giải 
 
4 4sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x

  (1) 
Điều kiện: sin 2 0x  
211 sin 2
1 sin cos2(1)
sin 2 2 cos sin
x
x x
x x x

 
   
 
2
2
1
1 sin 2
1 12 1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x
x x

       
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
17. Giải phƣơng trình: 2 22sin 2sin tan
4
x x x
 
   
 
. 
Giải 
Pt 2 22sin 2sin tan
4
x x x
 
   
 
 (cosx )0 21 cos 2 cos 2sin .cos sin
2
x x x x x
  
      
  
 (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0  sin2x = 1 hoặc tanx = 1. 
18. Giải phƣơng trình:    3sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos s inx 3 3 0x x c x c x x       . 
Giải 
 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 7 
3
2 3 2
sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0
2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0
x x x x x x
x x x x x x x x
      
        
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2 2  xxxxxxxx 
2
2
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3 cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0
cos 4 ( ai)
x x x x
x
x x
x
x x
x
     
 
   
   
    

lo
,3
2
x k
k
x k




  


 
19. Giải phƣơng trình: cosx=8sin3
6
x
 
 
 
Giải 
cosx=8sin
3
6
x
 
 
 
 cosx =  
3
3 sin cosx x 
 3 2 2 33 3 sin 9sin cos 3 3 sin cos cos cos 0x x x x x x x     (3) 
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm 
 (3)  3 23 3 tan 8tan 3 3 tan 0x x x   
tan 0 x x k    
20. Giải phƣơng trình lƣợng giác: 
 2 cos sin1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x


 
Giải 
Điều kiện: 
 cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
 


Từ (1) ta có: 
 2 cos sin1 cos .sin 2
2 sin
sin cos 2 cos cos
1
cos sin 2 sin
x x x x
x
x x x x
x x x

  
 
2sin .cos 2 sinx x x  
 
2
2 4
cos
2
2
4
x k
x k
x k





 
   
   

 
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là  2
4
x k k

     
21. Giải phƣơng trình: cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x    
Giải 
Phương trình  (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 
cos sin 1
cos sin 5 ( cos sin 2)
x x
x x loai vi x x
  
 
   
   
2
22 sin 1 sin sin ( )
4 4 4
2
x k
x x k Z
x k
   
 
  
       
  
22. Giải phƣơng trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 
 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 8 
Giải 
3 sin cos 2cos3 0x x x    sin
3

sinx + cos
3

cosx = – cos3x. 
 cos cos3
3
x x
 
  
 
  cos cos( 3 )
3
x x


 
   
 
 3 2 ( )
3
k
x
k
x k
 



 

  

  x = 
3 2
k 
 (kZ) 
23. Giải phƣơng trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 
2 3 2
8

Giải 
Ta có: cos3xcos
3
x – sin3xsin3x = 
2 3 2
8

 cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 
2 3 2
8

  2 2
2 3 2
cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin3 sin
2
x x x x x x

     
2
cos4 ,
2 16 2
x x k k Z
 
      . 
24. Định m để phƣơng trình sau có nghiệm 
24sin3 sin 4cos 3 cos cos 2 0
4 4 4
x x x x x m
       
           
     
Giải 
Ta có: 
*  4sin 3 sin 2 cos 2 cos 4x x x x  ; 
*  4cos 3 cos 2 cos 2 cos4 2 sin 2 cos4
4 4 2
x x x x x x
        
            
      
*  2
1 1
cos 2 1 cos 4 1 sin 4
4 2 2 2
x x x
     
         
    
Do đó phương trình đã cho tương đương: 
 
1 1
2 cos 2 sin 2 sin 4 0 (1)
2 2
x x x m     
Đặt cos2 sin 2 2 cos 2
4
t x x x
 
    
 
 (điều kiện: 2 2t   ). 
Khi đó 2sin 4 2sin 2 cos 2 1x x x t   . Phương trình (1) trở thành: 
2 4 2 2 0t t m    (2) với 2 2t   
2(2) 4 2 2t t m    
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ) : 2 2D y m  (là đường song song với Ox 
và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): 2 4y t t  với 2 2t   . 
x 2 2 
y’ + 
y 2 4 2 
 2 4 2 
Trong đoạn 2; 2   , hàm số 
2 4y t t  đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại 2t   và đạt giá trị 
lớn nhất