Chuyên đề Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

 12 12C y x x= − + ; d: y = –4 
HT 49. Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C): 
1) 3 2( ) : 9 17 2C y x x x= − + + ; A(–2; 5) 2) 3 2
1 4 4
( ) : 2 3 4; ;
3 9 3
C y x x x A
  = − + +   
HT 50. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng d có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C): 
1) 3 2( ) : 6 9 1C y x x x= − + − ; : 2d x = 2) 3( ) : 3C y x x= − ; : 2d x = 
 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 
 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 17 
Dạng toán 3: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó 
vuông góc với nhau 
Gọi M(xM; yM). 
 • Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM 
 •∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm: 
( ) ( ) (1)
'( ) (2)
M M
f x k x x y
f x k
 = − +

 =
 • Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f′ (x) + yM (C) 
 • Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) ⇔ (C) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. 
 • Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau ⇔ f′ (x1).f′ (x2) = –1 
 Từ đó tìm được M. 
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì 
1 2
(3) 2
( ). ( ) 0
coù nghieäm phaân bieät
f x f x


 <
Bài tập cơ bản 
HT 51. Chứng minh rằng từ điểm A luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau. Viết phương trình các tiếp 
tuyến đó: 
2 1( ) : 2 3 1; 0;
4
C y x x A
  = − + −  
HT 52. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau: 
1) 3 2( ) : 3 2C y x x= − + ; d: y = –2 2) 3 2( ) : 3C y x x= + ; d là trục hoành 
Dạng toán 4: Các bài toán khác về tiếp tuyến 
HT 53. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận 
tại A và B. 
 1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB. 
 2) Chứng minh diện tích của ∆IAB là một hằng số. 
 3) Tìm điểm M để chu vi ∆IAB là nhỏ nhất. 
 4) Tìm M để bán kính, chu vi, diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. 
 5) Tìm M để bán kính, chu vi, diện tích đường tròn nội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. 
 6) Tìm M để khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là lớn nhất. 
1) 
2 1
( ) :
1
x
H y
x
−
=
−
 2) 
1
( ) :
1
x
H y
x
+
=
−
 3) 
4 5
( ) :
2 3
x
H y
x
−
=
− +
HT 54. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc hypebol (H) cắt hai đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện 
tích bằng S: 
1) 
2 3
( ) : ; 8
mx
H y S
x m
+
= =
−
 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 
 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 18 
 VẤN ĐỀ 7: KHOẢNG CÁCH 
Kiến thức cơ bản: 
 1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = 2 2( ) ( )B A B Ax x y y− + − 
 2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0: 
 d(M, ∆) = 0 0
2 2
ax by c
a b
+ +
+
 3) Diện tích tam giác ABC: 
 S = ( )
2
2 21 1. . sin . .
2 2
AB AC A AB AC ABAC= −
 
Bài tập cơ bản 
HT 55. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 
1) 
2
( ) :
2
x
H y
x
+
=
−
 2) 
2 1
( ) :
1
x
H y
x
−
=
+
 3) 
4 9
( ) :
3
x
H y
x
−
=
−
HT 56. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất. 
1) 
1
( ) :
1
x
H y
x
−
=
+
 2) 
2 1
( ) :
2
x
H y
x
+
=
−
 3) 
4 9
( ) :
3
x
H y
x
−
=
−
HT 57. Cho hypebol (H). Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (H) sao cho độ dài AB là nhỏ nhất. 
1) 
1
( ) :
1
x
H y
x
−
=
+
 2) 
2 3
( ) :
2
x
H y
x
+
=
−
 3) 
4 9
( ) :
3
x
H y
x
−
=
−
HT 58. Cho (C) và đường thẳng d. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài AB là nhỏ nhất. 
1
( ) : ; : 2 0
1
x
H y d x y m
x
+
= − + =
−
 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 
 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 19 
ÔN TẬP TỔNG HỢP 
PHẦN I: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
HT 1. Cho hàm số 3 21 ( 1) (3 2)
3
y m x mx m x= − + + − (1).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng 
biến trên tập xác định của nó. Đ/s: 2m ≥ 
HT 2. Cho hàm số 3 23 4y x x mx= + − − (1).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên 
khoảng ( ; 0)−∞ . Đ/s: 3m ≤− 
HT 3. Cho hàm số x3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y m x m m x= − + + + + có đồ thị (Cm).Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 
(2; )+∞ Đ/s: 1m ≤ 
HT 4. Cho hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + − + − + + . Tìm m để hàm đồng biến trên ( )0;+∞ . Đ/s:
5
4
m≥ 
HT 5. Cho hàm số 4 22 3 1y x mx m= − − + (1), (m là tham số).Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). 
Đ/s: ( ;1m ∈ −∞  . 
HT 6. Cho hàm số 4mxy
x m
+
=
+
 (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng 
( ;1)−∞ .Đ/s: 2 1m− < ≤− . 
HT 7. Cho hàm số 3 23y x x mx m= + + + . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Đ/s:⇔ 9
4
m = 
PHẦN II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
HT 8. Cho hàm số 3 2(1 – 2 ) (2 – ) 2y x m x m x m= + + + + (m là tham số) (1). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 
(1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Đ/s: 
5 7
4 5
m< < . 
HT 9. Cho hàm số 3 2( 2) 3 5y m x x mx= + + + − , m là tham số.Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của 
đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. Đ/s: 3 2m− < < − 
HT 10. Cho hàm số 3 2 32 3( 2) 6(5 1) (4 2).y x m x m x m= − + + + − + Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại (0 1;2x ∈  
Đ/s: 
1
0
3
m− ≤ < 
HT 11. Cho hàm số 4 21 3
2 2
y x mx= − + (1).Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. 
Đ/s: 0m ≤ 
HT 12. Cho hàm số 4 22 4 ( ).
m
y x mx C= − + − Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của ( )
m
C đều nằm 
trên các trục tọa độ. Đ/s: 2; 0m m= ≤ 
HT 13. Cho hàm số 3 2 2(2 1) ( 3 2) 4y x m x m m x= − + + − − + − (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có 
các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Đ/s:1 2m< < . 
HT 14. Cho hàm số 3 21 (2 1) 3
3
y x mx m x= − + − − (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm 
cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. Đ/s:
1
1
2
m
m
 ≠

 >
HT 15. Cho hàm số 3 23 – 2y x x mx m= + + + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại 
 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 
 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 20 
và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. Đ/s: 3m < 
HT 16. Cho hàm số 3 2 31 4( 1) ( 1) ( ).
3 3
y x m x m C= − + + + Tìm m để các điểm cực trị của hàm số (C) nằm về hai phía 
(phía trong và phía ngoài) của đường tròn có phương trình: 2 2 4 3 0.x y x+ − + = Đ/s: 
1
2
m < 
HT 17. Cho hàm số 3 2 33 4y x mx m= − + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và 
cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Đ/s:
2
2
m = ± 
HT 18. Cho hàm số 3 23 3 1y x mx m= − + − − . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu 
đối xứng với nhau qua đường thẳng : 8 74 0d x y+ − = . Đ/s: 2m = 
HT 19. Cho hàm số 3 2 2 3 23 3(1 )y x mx m x m m= − + + − + − (1).Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị 
của đồ thị hàm số (1). Đ/s: 22y x m m= − + . 
HT 20. Cho hàm số 3 23 2 ( ).
m
y x x mx C= − + + Tìm m để ( )
m
C có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị 
của hàm số cách đều đường thẳng : 1 0.d x y− − = Đ/s: 0m = 
HT 21. Cho hàm số 3 23 2y x x mx= − − + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và 
cực tiểu cách đều đường thẳng 1y x= − . Đ/s: 
3
0;
2
m
   = − 
   
HT 22. Cho hàm số 3 23y x x mx= − + (1). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm 
cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng : – 2 – 5 0d x y = . Đ/s: 0m = 
HT 23. Cho hàm số 3 23( 1) 9 2y x m x x m= − + + + − (1) có đồ thị là (Cm). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có 
điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng 
1
:
2
d y x= . Đ/s: 1m = . 
HT 24. Cho hàm số 3 21 1( 1) 3( 2)
3 3
y x m x m x= − − + − + , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt 
cực trị tại 1 2,x x sao cho 1 22 1x x+ = . Đ/s:
4 34
4
m
− ±
= . 
HT 25. Cho hàm số 3 23( 1) 9y x m x x m= − + + − , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 
1 2,x x sao cho 1 2 2x x− ≤ .Đ/s: 3 1 3m− ≤ <− − và 1 3 1.m− + < ≤ 
HT 26. Cho hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + − + − + + , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt 
cực trị tại 1 2,x x sao cho 1 2
1
3
x x− > .Đ/s: 
3 29
1
8
m m
+
> ∨ <− 
HT 27. Cho hàm số 3 24 – 3y x mx x= + . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị 1 2,x x thỏa 1 24x x= − . Đ/s:
9
2
m = ± 
HT 28. Tìm các giá trị của m để hàm số 3 2 21 1 ( 3)
3 2
y x mx m x= − + − có cực đại 1x , cực tiểu 2x đồng thời 1x ; 2x là 
độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 
5
2
 Đ/s:
14
2
m = 
HT 29. Cho hàm số 3 2 22 ( 1) ( 4 3) 1.
3
y x m x m m x= + + + + + + Tìm m để hàm số có cực trị. Tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức 1 2 1 22( )A x x x x= − + với 1 2,x x là các điểm cực trị cửa hàm số. 
 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 
 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 21 
Đ/s: 
9
2
A ≤ khi 4m = − 
HT 30. Cho hàm số 3 23( 1) 9 (1)y x m x x m= − + + − với m là tham số thực. Xác định m để hàm số (1) đạt cực đại , 
cực tiểu sao cho 2
CD CT
y y+ = Đ/s: 
1
3
m
m
 =
 = −
HT 31. Cho hàm số (C3 2 21 ( 1) 1 ).
3 m
y x mx m x= − + − + Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và: D 2C CTy y+ > 
Đ/s: 
1 0
1
m
m
− < <
 >
HT 32. Cho hàm số 3 2– 3 2y x x= + (1). Tìm điểm M thuộc đường thẳng : 3 2d y x= − sao tổng khoảng cách từ M 
tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. Đ/s: 
4 2
;
5 5
M
     
HT 33. Cho hàm số 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m m= − + − − + (1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng 
cách từ điểm cực đại của đồ thị hà