Chuyên đề Khảo sát hàm số hữu tỉ - Trương Trọng Nhân

Vấn đề 6: KHẢO SÁT HÀM SỐ ( 0, 0)ax by c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 49 
Vấn đề 6: KHẢO SÁT HÀM SỐ HỮU TỈ 
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
A. Kết quả khảo sát 
1 Tập xác định: 
0
\ { =- }
d
D x
c
= 
 
2. Sự biến thiên của hàm số 
a) Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực: 
0
lim
x x
y
−→
, 
0
lim
x x
y
+→
, lim
x
y
→+∞
, lim
x
y
→−∞
b) Các đường tiệm cận: Tiệm cận đứng 
0
d
x x
c
= = − , tiệm cận ngang ay
c
= 
c) Bảng biến thiên: 
° Đạo hàm 
2( )
ad bc
y
cx d
−
′ =
+
° Dấu của y′ là dấu của ad bc− 
° Kết luận về các khoảng đơn điệu 
3. Đồ thị: 
 ° Cho 0x = đi tính y . Cho 0y = đi tính x . 
 ° Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 
B. Đồ thị: Đồ thị của hàm số ( 0, 0)ax by c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
 có các dạng sau: 
Vấn đề 6: KHẢO SÁT HÀM SỐ ( 0, 0)ax by c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 50 
0ad bc− > 0ad bc− < 
x −∞ 
d
c
− +∞ 
y ′ + + 
y
 +∞ 
a
c
a
c
−∞ 
x −∞ 
d
c
− +∞ 
y ′ + + 
y
a
c
 −∞ 
+∞ 
a
c
∗ Chứng minh đồ thị của hàm số ( 0, 0)ax by c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
 nhận giao điểm 
của hai tiệm cận là tâm đối xứng 
Chứng minh 
Tiệm cận đứng dx
c
= − , tiệm cận ngang ay
c
= 
Gọi ( , )d aI
c c
− là giao điểm hai tiệm cận 
Ta có công thức chuyển tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI

d
x X
c
a
y Y
c
 = −

 = +
Ta có .
d
a X b
ca ad
Y cXY b
c cd
c X d
c
  − +   
+ = ⇔ =− +
  − +   
1
( )
ad
Y b
cX c
⇔ = − Đây là hàm số lẻ nên đồ thị 
của nó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng. 
O x 
y 
I 
x 
y 
O 
I