Chuyên đề Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về phân thức đại số lớp 8

h khối 8 trường THCS Vũ Di trong hai năm học trước 3 đối tượng học sinh:Khá,trung bình,yếu kết quả như sau:
Năm học
Sĩ số
Số h/s giải được bài tập rút gọn phân thức
Số h/s giải được bài tập chứng minh phân thức tối giản
Số h/s giải được bài tập tìm giá trị nguyên của biến để phân thức nguyên
Cuối Kì 1: 2011-2012
38
Cuối Kì 1: 2012-2013
34
Như vậy tỉ lệ học sinh học trung bình và khá môn toán còn thấp, đặc biệt là giải bài toán rút gọn của các em còn yếu, do đó việc đưa ra các dạng toán và phương pháp giải cho từng dạng toán đó là vô cùng quan trọng và cấp thiết trong quá trình giảng dạy ở trường THCS Vũ Di.
2.2.3.Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về phân thức đại số lớp 8:
2.2.3.1.Dạng toán tìm điều kiện của biến để phân thức xác định:
-Với phân thức mà mẫu chỉ là đa thức dạng (ax+b) các em chỉ cần cho mẫu thức khác 0,rồi tìm ra kết quả.
Ví dụ 1:Tìm điều kiện của x để phân thức sau có nghĩa:
a)	b)	c)
Giải:a)
b)
c)
-Với những phân thức mà mẫu lại là một phân thức khác thì cần chú ý tới tử của phân thức mẫu,ví dụ:
Ví dụ 2:Tìm điều kiện của x để phân thức xác định:
a)	b)
Giải :
a)Điều kiện:
b)
-Với những phân thức mà có bậc 2 một biến trở lên thì cần phân tích các mẫu thành nhân tử,rồi làm tương tự như trên.Ví dụ:
Ví dụ 3:Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định:
a)	b)	c)
Giải :
a)Phân tích mẫu thành nhân tử ta có:
	,với chú ý:nên suy ra điều kiện để phân thức có nghĩa là:
b)Ta có:
c)Ta có:
Với những phân thức nhiều ẩn thì học sinh vận dụng làm tương tự,ví dụ:
Ví dụ 4:Tìm điều kiện của biến để phân thức sau xác định:
a)	b)	c)
*Một số bài tập vận dụng cho dạng toán này:
Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định:
a)	b)	c)	d)	e)
g)
2.2.3.2.Dạng toán rút gọn phân thức:
*Phương pháp chung:
-Phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử
-Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
	Đây là dạng toán cơ bản của phân thức đại số 8,với những bài tập mà tử thức và mẫu thức có sẵn các nhân tử chung (hoặc chỉ cần đổi dấu phân thức thì có nhân tử chung)thì ta vận dụng tính chất cơ bản của phân thức là chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó,ví dụ:
Ví dụ 1:Rút gọn phân thức sau:
a)	b)	c)	d)
-Với các phân thức mà không có sẵn nhân tử chúng thì chúng ta sẽ thực hiện theo các bước của bài toán rút gọn,ví dụ:
Ví dụ 2:Rút gọn phân thức sau:
a)	b)	c)
d)
HD:
a)	
Từ đó suy ra kết quả:
b)
Từ đó kết quả là: 
c)
Từ đó ta có kết quả:
d)
Từ đó có kết quả:
Với học sinh khá,giỏi giáo viên có thể linh hoạt cho các em làm những bài rút gọn có biểu thức phức tạp hơn,chẳng hạn:
Ví dụ 3:Rút gọn phân thức:
a) 	b)
c)
HD:
a)đưa các lũy thừa về cơ số là số nguyên tố,sau đó phân tích thành nhân tử,cụ thể như sau:
Từ đó rút gọn ta được kết quả: A = 2
b)phân tích tử thành nhân tử và mẫu biến đổi ta có:
Từ đó suy ra kết quả: 
c)Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ta có:
Mẫu=
Vậy ta có kết quả:
Vẫn là bài toán rút gọn nhưng tồn tại dưới một cái tên khác là “Chứng minh đẳng thức” thì thông thường hướng dẫn học sinh biến đổi vế phức tạp hơn,sau khi rút gọn thì bằng vế kia.Chẳng hạn các ví dụ sau:
Ví dụ 4:Chứng minh đẳng thức:
a)	b)
HD:thực hiện rút gọn vế trái,cuối cùng ra kết quả là vế phải.
*Một số bài toán vận dụng cho dạng toán này:
Bài 1:Rút gọn các phân thức sau:
a)	b)	c) 
d)	e)
Bài 2:Chứng minh các đẳng thức sau;
a)
b)
c)
2.2.3.4.Dạng toán chứng minh phân thức tối giản:
	Học sinh đều nắm được phân thức tối giản là phân thức mà tử và mẫu thức chỉ có nhân tử chung là 1 và -1 nhưng việc chứng minh phân thức tối giản thì các em lại chưa nắm được phương pháp làm nên còn lúng túng trong việc tìm ra lời giải.
	Để chứng minh một thức tối giản ta gọi ước chung lớn nhất của tử và mẫu thức là d,ta chứng minh d = 1 hoặc d = -1.Để chứng minh được điều này ta vạn dụng các kiến thức về chia hết như:tính chất chia hết của một tổng,quan hệ giữa bội và ước…Ví dụ:
Ví dụ 1:Chứng minh các phân thức sau là tối giản:
a)	b)(Với n nguyên dương)
c)(Với n là số tự nhiên)
Giải:
a)Gọi ƯCLN của n-3 và -n+4 là d,ta có: hay:
=>.Do đó d = 1 hoặc -1.Vậy phân thức đã cho tối giản với mọi n.
b)Gọi ƯCLN của và là d(),ta có:
 hay: suy ra :(1)
Mặt khác: (2)
Từ (1) và (2) suy ra:.Do đó d = 1.Vậy phân thức đã cho tối giản.
c)Gọi ƯCLN của và là d.Ta có: (1) và 
 hay: (2)
Từ (1) và (2) suy ra: .Do đó d = 1 hoặc d = -1.Vậy phân thức đã cho tối giản.
Cách giải khác: Gọi ƯCLN của và là d.Ta có: (1) và .Ta có:
Nên . Do đó d = 1 hoặc d = -1.Vậy phân thức đã cho tối giản.
	Qua các ví dụ trên cho thấy khi chứng minh phân thức tối giản thì ta nhân hệ số thích hợp để trừ(cộng) tử và mẫu thức cho nhau,sau đó tiếp tục có thể sử dụng hằng đẳng thức hoặc phân tích đa thức thành nhân tử đối với tử thức hoặc mẫu thức hoặc đối với tử thức và mẫu thức sau khi đã nhân thêm hệ số thích hợp để xuất hiện những biểu thức chia hết cho d.
Ví dụ 2:Chứng minh phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:
a)	b)
Giải:
a),suy ra: hay: 
Hay: .Do đó d = 1.Vậy phân thức đã cho tối giản.
b).Ta có:(1)
mà :(2)
Từ (1) và (2) suy ra:.Vậy phân thức tối giản.
*Một số bài tập vận dụng cho dạng toán:
Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:
a)	b)	c)	
2.2.3.5.Dạng toán tìm giá trị nguyên của biến để phân thức có giá trị nguyên:
	Học sinh cần biết được nếu biến trong phân thức nguyên thì phân thức nhận giá trị nguyên khi tử thức chia hết cho mẫu thức.Nếu phân thức đã cho mà tử thức là một số nguyên còn mẫu là biểu thức chứa biến thì chỉ cần lập luận mẫu thức là ước của tử là xong,ví dụ:
Ví dụ 1:Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên:
a)	b)	c)
Giải:a) là ước nguyên của 2
Nếu 
Nếu 
Nếu 
Nếu 
Phần b),c) làm tương tự
Trong trường hợp tử và mẫu thức đều chứa biến thì ta thực hiên phép chia tử cho mẫu thức tách lấy phân thương và dư,rồi viết phân thức dưới dạng khác,ta lập luận tương tự như trên đối với phần dư chia cho mẫu thức,ví dụ:
Ví dụ 2:Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên:
a)	b)
Giải:
a)Thực hiện phép chia đa thức ta được:
Do đó: 
Vì x nguyên nên x3 cũng nguyên,nên để phân thức có giá trị nguyên thì là số nguyên.Đến đây ta làm tương tự như ví dụ 1
b)Ngoài việc thực hiện phép chia như câu a) ta cũng có thể viết tử thức liên tiếp có chứa mẫu thức dưới dạng sau:
Ta có:
Từ đó ta suy ra: 
Lập luận tương tự như trên ta tìm được kết quả:
*Một số bài tập vận dụng cho dạng toán:
Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên:
a)	b)	c)	d)
2.2.3.6.Dạng toán tính giá trị của phân thức tại một giá trị của biến:
	Nhiều học sinh khi gặp dạng toán này thường hấp tấp thay ngay giá trị của biến vào phân thức rồi thực hiện phép tính mà quên mất rằng có thể rút gọn phân thức rồi mới thực hiện thay và tính toán thì phép tính sẽ nhanh hơn rất nhiều,ví dụ:
Ví dụ 1:Tính giá trị của biểu thức:
a) tại x = -8	b) tại x = 1000001
Giải:
a)Ta có: 
Thay x = -8 vào biểu thức ta có: 
b) 
Thay x = 1000001 vào biểu thức ta có:
Ví dụ 2:Tính giá trị của biểu thức:
a) tại x = 99 và y = 50
b) tại x = 101
Giải:
a)Ta có: 
Thay x = 99 và y = 50 ào biểu thức ta có: 
	Có các bài toán cũng tìm giá trị của biểu thức nhưng không cho giá trị cụ thể của các biến mà cho các điều kiện dàng buộc của các biến thì lúc đó ta phải linh hoạt biến đổi phân thức đã cho dưới dạng có chứa biểu thức điều kiện hoặc biến đổi điều kiện trước rồi thực hiện phép tính,ví dụ bài toán sau:
Ví dụ 3:Cho và .Tính giá trị của biểu thức:
Giải:
Ví dụ 4:Cho ,tính giá trị của biểu thức: 
Giải:
Ta có:
Ví dụ 5:Tính giá trị của biết 
Giải:
Ta có: 
Vì nên .Thay vào biểu thức ta có:
	(Vì y # 0)
Vậy 
Ta có một số bài tập tương tự:
Bài 1:Tính giá trị của biểu thức:
a) tại x = -3	b) tại x = 2 và y =-2
Bài 2:a)Tính giá trị của phân thức biết rằng: và 
b)Biết và .Tính giá trị của biểu thức:
c)Biết và .Tính giá trị của biểu thức:
Bài 3:Cho x,y,z khác 0 và .Tính giá trị của biểu thức: 
2.2.3.7.Dạng toán tìm giá trị của biến để phân thức nhận một giá trị nào đó:
	Đây là dạng toán ngược của dạng toán trên,có hai trường hợp là phân thức nhận giá trị 0 và phân thức nhận giá trị khác 0.Với trường hợp phân thức có giá bằng 0 thì lập luận tử thức bằng 0 và mẫu thức khác 0,ví dụ:
Ví dụ 1:Với giá trị nào của x thì phân thức sau có giá trị bằng 0:
a) 	b)
Giải:
a) khi .Vậy giá trị của phân thức bằng 0 khi x= -1
b) khi 
Vậy giá trị của phân thức bằng 0 khi x = 1
	Có những trường hợp khi cho tử thức bằng 0 lại trùng với điều kiện của biến để phân thức có nghĩa,khi đó ta kết luận không có giá trị nào của biến để phân thức nhận giá trị bằng 0,chẳng hạn:
Ví dụ 2:Tìm giá trị của x để phân thức nhận giá trị bằng 0.
Giải:
 khi .Vậy không có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng 0.
Ví dụ 3:a)Tìm x để giá trị của phân thức bằng 
b)Tìm x để giá trị của phân thức bằng -1
Giải:
a)Ta có: 
b) 
Vì 2x2+6 > 0
Ta có một số bài tập tương tự:
Bài 1:Tìm giá trị của x để các phân thức sau bằng 0:
a)	b)	c)
Bài 2:a)Tìm giá trị của x để phân thức bằng 
b)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1
2.2.3.8.Dạng toán rút gọn biểu thức tổng hợp:
	Đây là dạng toán mà trong yêu cầu của bài toán có tồn tại các dạng toán đã nêu ở trên.Các kiến thức để vận dụng làm toán là:
	-điều kiện của biến để biểu thức xác định.
	-Phân tích đa thức thành nhân tử
	-nhân đa thức với đơn thức,đa thức với đa thức
	-quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
	-Những hằng đẳng thức đáng nhớ
	-nắm được các dạng toán ở trên 
	-Nắm được thứ tự thực hiện phép tính trong phân thức.
Ví dụ 1:Cho phân thức:
a)Với điều kiện nào của x thì giá trị phân thức được xác định?
b)Rút gọn phân thức
c)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1?
d)Có giá trị nào để phân thức bằng 0 hay không?
Giải:
a)
b)Rút gọn phân thức ta được:
c)
d)Không có giá trị nào của x thỏa mãn để phân thức có giá trị bằng 0
	Ta có bài tập tương tự:
Ví dụ 2:Cho phân thức :
a)Với điều kiện nào của x thì phân thức xác định?
b)Rút gọn phân thức
c)Tính giá trị của phân thức tại 
d)Tìm giá trị