Chuyên đề Học sinh giỏi Toán 7 - Chuyên đề V: Dạng toán dãy số và chia hết, phân thức

CHUYÊN ĐỀ V :
DẠNG TOÁN DÃY SỐ VÀ CHIA HẾT, PHÂN THỨC
GV: HỒ ĐẠI ĐOÀN
Dạng I : Dãy số viết theo qui luật (lớp 6&7)
Bài toán 1: So sánh giá trị biều thức với các số 98 và 99.
Ta có: =
 với B = > 0 Nên A
< 99.
Ta có với mọi k nên 
Do đó . Vậy 
Tổng quát:
Bài toán 2: Viết số trong hệ thập phân. Tìm ba số đầu tiên bên trái số đó?
	Giải: Ta có ; Đặt gồm có 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1000 (1)
Đặt C = gồm 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1001 (2). Vì B < A < C và B, C đều có 3001 chữ số nên từ (1) và (2) suy ra A có 3001 chữ số nên ba chữ số ầu tiên bên trái của A là 100.
Bài toán 3: 
Cho . Chứng minh rằng .
	Giải : Ta có 
. (1)
Với từ (1) ta có: . Từ đó :
Với . Suy ra .
Với từ (1) ta có: . Từ đó :
Với . Suy ra . Vậy 
Tổng quát:
Bài toán 4: Tính biết :
 ; .
	Giải: 
Với các số nguyên dương n và k ta có .
Với k = 30 ta có :
Với k = 1978 ta có : 
. 
Từ (1) và (2) suy ra .
Bài toán 5: Tính tổng sau: .
	Giải: 
Với thì 
Do đó .
Bài toán 6: Tính các tổng sau:
 (*) ; 
	Giải: 
Ta có:.
	Từ bài toán (*) suy ra .
Nếu . Tính giá trị của B = 3A với B = 3A thì B = (n-1)n(n+1) với n = 100
. Do đó hay Vậy 
Công thức tính tổng các bình phương n số tự nhiên 
Bài toán 7: Tính biết:
.	.
Ta có và Nên:
. 
Do đó 
Bài toán 8:Goi A là tích các số nguyên liên tiếp từ 1 đến 1001 và B là tích các số nguyên liên tiếp từ 1002 đến 2002. Hỏi A + B chia hết cho 2003 không?
	Giải:
Ta có: và .
Ta viết B dưới dạng: . Khai triển B có một tổngngoài số hạng . Tất cả các số hạng khác của tổng đều chứa một thừa số 2003. Nên 
 với n là số tự nhiên. Do đó: là một số chia hết cho 2003.
	Cách giải khác:
Nếu a và là các số nguyên và n là số tự nhiên lẻ thì 
Ta có các cặp số nguyên sau có cùng số dư khi chia cho 2003 ; . Do đó và có cùng số dư khi chia cho 2003. Nên chia hết cho 2003
Dạng II :Phương pháp tách trong biến đổi phân thức đại số (lớp 8)
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.
 với . Từ kết quả trên ta có thể suy ra hằng đẳng thức: (*) trong đó x ; y; z đôi một khác nhau.
	Thực chất ở đây ta thay x – y bởi z – y thay z - x bởi y – x giữ nguyên thừa số kia sẽ có hai số hạng ở vế phải, Vận dụng hằng đẳng thức (*) giải các bài tập sau:
Bài toán 1:
 Cho chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c.
Áp dụng hằng đẳng thức (*)
Bài toán 2: Cho . Rút gọn biểu thức 
Giải Vận dụng công thức (*) ta đ ược 
Bài toán 3: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
Biến đổi vế trái, ta được: =
=
=. Sau khi biến đổi vế trái bằng vế phải. Đẳng thức được chứng minh.
Bài toán 4: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh:
Giải: Ta có (1)
Tương tự ta có: (2)
	 (3)
Từ (1) ;(2) và (3) ta có 
 (đpcm)
Bài toán 5: Rút gọn biểu thức:
 với 
	Giải:
 Ta có: (1)
Tương tự: (2) (3)
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có 
Bài toán 6: Cho ba phân thức ; ; . Chứng minh rằng tổng ba phân thức bằng tích của chúng.
	Giải:
Ta có : nên 
 (đpcm).
Bài toán 7: Cho ba số nguyên dương a, b, c tuỳ ý, tổng sau có phải là số nguyên dương không? 
Giải: 
Ta có hay M > 1 .
 hay M < 2
Vậy 1 < M <2 . Do đó M không thể là số nguyên dương.
Bài toán 8: Đơn giản biểu thức
Giải: MTC là : Nên 
 Với 
Bài toán 9: Tính giá trị của biểu thức:
Giải: Đặt a = 2004 Khi đó:
. Vậy P = 1
bài 10: Chứng minh rằng
	A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hết cho 102
Bài 11	Biết rằng :12+22+33+...+102= 385. Tính tổng : S= 22+ 42+...+202
Bài 12:
	a) Tính: A = 1 + 
	b) Tìm n Z sao cho : 2n - 3 n + 1
Bài 13:
	a, Tính tổng:
	b, CMR: 
	c, Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n thì: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hết cho 10
Bài 14 Tìm n là số tự nhiên để : 
Bài 15:
	a. Tính A = 
	b. Tìm số nguyên n, biết: 2-1.2n + 4.2n = 9.25
	c. Chứng minh với mọi n nguyên dương thì: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hết cho 10
Bài 16:	Thực hiện phép tính:
	A=